Serie

În matematică , o serie este suma elementelor unei succesiuni , aparținând în general unui spațiu vector topologic . Este o generalizare a operației de adăugare, care poate fi astfel extinsă la cazul în care participă termeni infiniti (particularitatea seriei este că poate converge, precum și divergența, în ciuda faptului că este o sumă de termeni infiniti).

Seriile se disting în primul rând pe baza naturii obiectelor adăugate, care pot fi de exemplu numere ( reale sau complexe ) sau funcții , dar serii formale de puteri , serii de vectori , de matrice și, mai abstract, sunt folosit de asemenea.de operatori . În cadrul teoriei limbajelor formale există seria de variabile necomutative, adică serii de șiruri.

Printre seriile de interes deosebit se numără seria aritmetică , caracterizată prin faptul că diferența dintre fiecare termen și cel precedent este constantă , iar seria geometrică , în care raportul fiecărui termen cu cel precedent este o funcție constantă. În cel mai general caz, în care relația dintre termenii succesivi este o funcție rațională, seria se numește hipergeometrică .

O importanță deosebită în analiza complexă sunt seria de funcții care sunt serii de putere , cum ar fi seria geometrică și seria Taylor . Seria de funcții este, de asemenea, instrumente eficiente pentru studiul funcțiilor speciale și pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale .

Definiție

Luați în considerare o succesiune de elemente $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ . Este definită serie asociată cu $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ suma formală:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots}

\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots

Pentru fiecare index $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ a succesiunii este definită succesiunea sumelor parțiale (sau reduse) $\{S_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {S_ {k} \}}$ $\ {S_ {k} \}$ asociat cu $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ suma termenilor succesiunii $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ din $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ la $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ :

S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.

{\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + \ cdots + a_ {k}.}

{\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + \ cdots + a_ {k}.}

Se spune că seria $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n}$ tinde sau converge la limită $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ dacă succesiunea relativă a sumelor parțiale $S_{k}$ ${\ displaystyle S_ {k}}$ $S_k$ converge la $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Adică:

L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

{\ displaystyle L = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}

L = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n}

dacă și numai dacă:

L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.

{\ displaystyle L = \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} S_ {k}.}

{\ displaystyle L = \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} S_ {k}.}

Această limită se numește suma seriei .

Mai general, fie el $f\colon I\to G$ ${\ displaystyle f \ colon I \ to G}$ ${\ displaystyle f \ colon I \ to G}$ o funcție dintr-un set de indici $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ la un set $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Apoi seria asociată cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este suma formală:

\sum _{x\in I}f(x)\quad f(x)\in G

{\ displaystyle \ sum _ {x \ in I} f (x) \ quad f (x) \ in G}

\ sum _ {{x \ in I}} f (x) \ quad f (x) \ in G

De sine $I=\mathbb {N}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ $I = {\ mathbb {N}}$ , functia $f\colon \mathbb {N} \to G$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {N} \ to G}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {N} \ to G}$ este o succesiune, cu $f(n)=f_{n}$ ${\ displaystyle f (n) = f_ {n}}$ $f (n) = f_ {n}$ . În cazul în care $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un semigrup , succesiunea sumelor parțiale $\{S_{k}\}\subset G$ ${\ displaystyle \ {S_ {k} \} \ subset G}$ $\ {S_ {k} \} \ subset G$ asociat cu $\{f_{n}\}\subset G$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} \ subset G}$ $\ {f_ {n} \} \ subset G$ este definit pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ca suma succesiunii $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ din $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ la $f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$ $f_ {k}$ :

S_{k}=\sum _{n=0}^{k}f_{n}=f_{0}+f_{1}+\cdots +f_{k}.

{\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} f_ {n} = f_ {0} + f_ {1} + \ cdots + f_ {k}.}

{\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} f_ {n} = f_ {0} + f_ {1} + \ cdots + f_ {k}.}

Dacă mai mult decât atât semigrupul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un spațiu topologic , apoi seria $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} f_ {n}$ converge la $L\in G$ ${\ displaystyle L \ în G}$ $L \ în G$ dacă și numai dacă succesiunea relativă a sumelor parțiale $\{S_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {S_ {k} \}}$ $\ {S_ {k} \}$ converge la $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ .

În simboluri: $L=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\iff L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}=\lim _{k\rightarrow \infty }(f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{k}).$ ${\ displaystyle L = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} \ if L = \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} S_ {k} = \ lim _ {k \ rightarrow \ infty } (f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {k}).}$ ${\ displaystyle L = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} \ if L = \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} S_ {k} = \ lim _ {k \ rightarrow \ infty } (f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {k}).}$

În cazul în care termenul general este o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , domeniul de convergență al seriei de funcții este definit ca setul de valori ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ deci seria converge. Observați că prin evaluarea funcției $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ intr-un loc $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ seria devine o serie numerică.

Personajul seriei

Același subiect în detaliu: Seria convergentă și seria divergentă .

Stabilirea caracterului unei serii înseamnă stabilirea dacă este convergentă , divergentă sau nedeterminată ^[1] .

O serie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n}$ este o serie convergentă la limită $-\infty <L<\infty$ ${\ displaystyle - \ infty <L <\ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty <L <\ infty}$ dacă succesiunea relativă a sumelor parțiale converge la $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , adică apare:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ { n = 0} ^ {N} a_ {n}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ { n = 0} ^ {N} a_ {n}.}

Dacă limita $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este infinit, seria se numește serie divergentă , în timp ce, dacă limita nu există, seria se numește serie nedeterminată sau serie oscilantă . Mai mult, dacă seria converge sau diverg, se numește serie obișnuită .

Pentru a determina caracterul unei serii, au fost dezvoltate diverse criterii de convergență care leagă convergența seriei de studiul limitei secvențelor asociate seriei. O condiție necesară, dar nu suficientă, pentru ca o serie să convergă este aceea că:

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = 0.}

Un contraexemplu al suficienței este dat de seria armonică . Pentru a afișa starea anterioară, fie:

s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}

{\ displaystyle s_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + \ dots + a_ {n}}

{\ displaystyle s_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + \ dots + a_ {n}}

a n-a sumă parțială. Convergența seriei înseamnă că există limita finită:

\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=L.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n-1} = L.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n-1} = L.}

Atâta timp cât $a_{n}=s_{n}-s_{n-1}$ ${\ displaystyle a_ {n} = s_ {n} -s_ {n-1}}$ $a_ {n} = s_ {n} -s _ {{n-1}}$ , avem:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{s_{n}-s_{n-1}}=L-L=0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} {s_ {n} -s_ {n-1}} = LL = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} {s_ {n} -s_ {n-1}} = L-L = 0.}

Serii numerice

În serii numerice termenul general al seriei $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este un număr, real sau complex, care depinde doar de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și nu din alte variabile.

Pentru determinarea convergenței sau nu a seriei numerice este recomandabil să se identifice trei tipuri pentru care criteriile de convergență sunt adesea simple și eficiente.

Criteriul de convergență Cauchy

Același subiect în detaliu: criteriul de convergență Cauchy .

O serie numerică converge dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $m\in N$ ${\ displaystyle m \ in N}$ $m \ in N$ astfel încât pentru toți $n\geq m$ ${\ displaystyle n \ geq m}$ $n \ geq m$ și pentru fiecare $p\geq 1$ ${\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ apare:

\left|\sum _{j=n+1}^{n+p}a_{j}\right|<\varepsilon .

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = n + 1} ^ {n + p} a_ {j} \ right | <\ varepsilon.}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = n + 1} ^ {n + p} a_ {j} \ right | <\ varepsilon.}

Afirmația este în esență criteriul de convergență Cauchy aplicat succesiunii sumelor parțiale.

Seria cu termeni pozitivi

O serie se spune în termeni pozitivi atunci când toți termenii ei sunt real pozitivi, adică având în vedere seria:

\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n}}

numarul $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este real pozitiv. Rețineți că astfel de serii pot să divergă sau să convergă doar, iar sumele curente sunt monotone nedescrescând:

s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}\geq s_{n}

{\ displaystyle s_ {n + 1} = s_ {n} + a_ {n + 1} \ geq s_ {n}}

s _ {{n + 1}} = s_ {n} + a _ {{n + 1}} \ geq s_ {n}

prin urmare, pentru teorema existenței limitei în cazul secvențelor monotone, acest tip de serie converge, dacă sumele parțiale n-sunt limitate sau sunt divergente, dar nu pot fi nedeterminate.

Caracterul unei serii cu termeni de semn constant se obține prin aplicarea diferitelor metode, cum ar fi criteriul de comparație asimptotică, criteriul rădăcină, criteriul raportului și criteriul de comparație. Dacă condiția necesară de convergență nu este îndeplinită, atunci prin teorema regularității seriei cu termeni de semn constant, seria cu siguranță divergă.

Seriile cu termeni ai oricărui semn sunt, de asemenea, definiți ca serii cu termeni reali care au atât termeni negativi pozitivi, cât și infiniti negativi.

Suma seriei

Suma a două serii este seria:

\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}+\sum _{n=0}^{+\infty }b_{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }(a_{n}+b_{n}).

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} + \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} b_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} (a_ {n} + b_ {n}).}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} + \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} b_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} (a_ {n} + b_ {n}).}

Dacă seriile a _n și b _n sunt convergente, suma celor două serii va fi convergentă. Dacă una dintre cele două serii diverg, suma seriei va fi, de asemenea, divergentă. În plus:

\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (a_ {k} -b_ {k}) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} - \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} b_ {k}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (a_ {k} -b_ {k}) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} - \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} b_ {k}.}

Produs de serie

Produsul Cauchy din două serii este definit ca seria:

\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}*\sum _{n=0}^{+\infty }b_{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n},

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} * \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} b_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} * \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} b_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n},}

unde este:

c_{n}=(a_{n}b_{0}+a_{n-1}b_{1}+\dots +a_{0}b_{n})=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}.

{\ displaystyle c_ {n} = (a_ {n} b_ {0} + a_ {n-1} b_ {1} + \ dots + a_ {0} b_ {n}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {nk} b_ {k}.}

{\ displaystyle c_ {n} = (a_ {n} b_ {0} + a_ {n-1} b_ {1} + \ dots + a_ {0} b_ {n}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {nk} b_ {k}.}

Dacă cele două serii cu termeni pozitivi sunt convergente atunci produsul este convergent și suma sa este produsul sumelor seriei date. Acest rezultat se extinde la orice serie de termeni, presupunând că cel puțin unul dintre serii este absolut convergent. Dacă ambele serii converg, dar nu absolut, succesiunea $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ este posibil să nu fie infinitesimal și produsul să nu convergă, așa cum este cazul $a_{n}=b_{n}=(-1)^{n}(n+1)^{-1/2}$ ${\ displaystyle a_ {n} = b_ {n} = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- 1/2}}$ $a_ {n} = b_ {n} = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {{- 1/2}}$ . Cu toate acestea, în general:

\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}*b_{k})\neq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}*\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (a_ {k} * b_ {k}) \ neq \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} * \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (a_ {k} * b_ {k}) \ neq \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} * \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k}.}

Convergență absolută

Serialul $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} a_ {n}$ în ceea ce privește orice semn, se spune că este absolut convergent dacă seria valorilor absolute $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} |}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} | a_ {n} |$ este convergent. Convergența absolută implică convergența (obișnuită), numită și convergență simplă . Trebuie subliniat faptul că nu toate seriile care converg pur și simplu converg și în mod absolut: dacă acest lucru nu se întâmplă, se spune că seria este convergentă condiționat . De exemplu, seria:

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} {\ frac {1} {n}}}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} (- 1) ^ {{n-1}} {\ frac 1n}

converge pur și simplu (a $\ln 2$ ${\ displaystyle \ ln 2}$ $\ ln 2$ ), dar nu converge deloc, deoarece seria asociată cu acesta este cea armonică.

Convergență necondiționată

Având în vedere o serie, ne putem gândi să schimbăm ordinea addendelor sale: în timp ce o sumă finită se bucură de proprietatea comutativă , acest lucru nu este în general adevărat pentru o serie infinită de addende. De exemplu, o serie ai cărei termeni pari sunt -1, iar termenii impari 1 sunt oscilanți, dar dacă suplimentele sunt dezordonate, seria rezultată poate fi divergentă.

Având în vedere orice funcție unu-la-unu $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$ $\ sigma: {\ mathbb {N}} \ to {\ mathbb {N}}$ , este definită o permutare (numită și rearanjare sau permutare ) a seriei $\sum {a_{n}}$ ${\ displaystyle \ sum {a_ {n}}}$ $\ sum {a_ {n}}$ fiecare obiect al formei $\sum {a_{\sigma (n)}}$ ${\ displaystyle \ sum {a _ {\ sigma (n)}}}$ $\ sum {a _ {{\ sigma (n)}}}$ . Acum, dacă seria originală converge, se spune că este convergentă necondiționat dacă toate seriile sale permutate converg.

O teoremă remarcabilă (demonstrată de Riemann ) ne spune că: ^[2]

O serie este convergentă necondiționată dacă și numai dacă este absolut convergentă ; în acest caz, fiecare permutare a seriei originale (și a seriei în sine) converge la aceeași sumă.
Dacă o serie este convergentă, dar nu absolut convergentă , atunci pentru fiecare $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},\alpha \leq \beta$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}, \ alpha \ leq \ beta}$ $\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}, \ alpha \ leq \ beta$ , există o permutare $\sigma :\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {N} \ longrightarrow \ mathbb {N}}$ $\ sigma: \ mathbb {N} \ longrightarrow \ mathbb {N}$ astfel încât:

\liminf _{n\rightarrow \infty }{\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}}=\alpha \qquad \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}}=\beta .

{\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sum _ {k = 0} ^ {n} u _ {\ sigma (k)}} = \ alpha \ qquad \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty } {\ sum _ {k = 0} ^ {n} u _ {\ sigma (k)}} = \ beta.}

{\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sum _ {k = 0} ^ {n} u _ {\ sigma (k)}} = \ alpha \ qquad \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty } {\ sum _ {k = 0} ^ {n} u _ {\ sigma (k)}} = \ beta.}

Mai exact, dacă alegeți

\alpha =\beta

{\ displaystyle \ alpha = \ beta}

\ alpha = \ beta

seria permutată converge la această limită (sau divergă dacă acest număr este infinit).

Serie complexă

O serie infinită cu termeni complecși este definită ca o sumă de tipul:

z_{1}+z_{2}+\dots +z_{n}+\dots ,

{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + \ dots + z_ {n} + \ dots,}

{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + \ dots + z_ {n} + \ dots,}

sau mai pe scurt:

\sum _{n=0}^{\infty }z_{n},

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z_ {n},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z_ {n},}

unde este $z_{i}=(a_{i}+ib_{i})$ ${\ displaystyle z_ {i} = (a_ {i} + ib_ {i})}$ $z_ {i} = (a_ {i} + ib_ {i})$ și, prin urmare, scriem:

(a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2})+\dots +(a_{n}+ib_{n})+\dots

{\ displaystyle (a_ {1} + ib_ {1}) + (a_ {2} + ib_ {2}) + \ dots + (a_ {n} + ib_ {n}) + \ dots}

(a_ {1} + ib_ {1}) + (a_ {2} + ib_ {2}) + \ dots + (a_ {n} + ib_ {n}) + \ dots

Se spune că această serie este convergentă dacă suma primei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termeni:

S_{n}=(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})+i(b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n})

{\ displaystyle S_ {n} = (a_ {1} + a_ {2} + \ dots + a_ {n}) + i (b_ {1} + b_ {2} + \ dots + b_ {n})}

S_ {n} = (a_ {1} + a_ {2} + \ dots + a_ {n}) + i (b_ {1} + b_ {2} + \ dots + b_ {n})

tinde spre o limită finită spre a tinde spre $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ . Se poate deduce că seria este convergentă la $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ dacă cele două serii sunt convergente, partea reală și partea imaginară respectiv la puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și, în acest caz, seria generală converge la subiect $S=A+iB$ ${\ displaystyle S = A + iB}$ $S = A + iB$ , care se numește suma seriei .

O condiție necesară pentru convergența seriei este că:

\lim _{n\to \infty }z_{n}=0,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} z_ {n} = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} z_ {n} = 0,}

adică termenii seriei sunt infinitezimali. Dacă seria complexă obținută prin luarea valorilor absolute ale termenilor unei serii:

{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}+{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+\dots +{\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }|z_{n}|

{\ displaystyle {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2}}} + {\ sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}}} + \ dots + {\ sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}} + \ dots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | z_ {n} | }

{\ sqrt {a _ {{1}} ^ {{2}} + b _ {{1}} ^ {{2}}}} + {\ sqrt {a _ {{2}} ^ {{2} } + b_ {{2}} ^ {{2}}}} + \ dots + {\ sqrt {a _ {{n}} ^ {{2}} + b _ {{n}} ^ {{2} }}} + \ dots = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} | z_ {n} |

este convergent, apoi seria inițială este, de asemenea, convergentă. Într-adevăr, din inegalități:

{\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\geq |a_{n}|\qquad {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\geq |b_{n}|

{\ displaystyle {\ sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}} \ geq | a_ {n} | \ qquad {\ sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}} \ geq | b_ {n} |}

{\ sqrt {a _ {{n}} ^ {{2}} + b _ {{n}} ^ {{2}}}} \ geq | a_ {n} | \ qquad {\ sqrt {a _ { {n}} ^ {{2}} + b _ {{n}} ^ {{2}}}} \ geq | b_ {n} |

rezultă că ambele serii $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ Și $\{b_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ converg.

O condiție necesară și suficientă pentru convergență este în loc de pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $N>0$ ${\ displaystyle N> 0}$ $N> 0$ astfel încât pentru $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ oricare număr întreg pozitiv avem:

\left|\sum _{j=n+1}^{n+p}(a_{j}+ib_{j})\right|<\varepsilon \qquad n>N.

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = n + 1} ^ {n + p} (a_ {j} + ib_ {j}) \ right | <\ varepsilon \ qquad n> N.}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = n + 1} ^ {n + p} (a_ {j} + ib_ {j}) \ right | <\ varepsilon \ qquad n> N.}

În general, pentru seriile numerice complexe se păstrează toate proprietățile seriilor numerice reale.

O serie de funcții complexe:

v_{1}(z)+v_{2}(z)+\dots

{\ displaystyle v_ {1} (z) + v_ {2} (z) + \ dots}

v_ {1} (z) + v_ {2} (z) + \ dots

este uniform convergent dacă există $N>0$ ${\ displaystyle N> 0}$ $N> 0$ astfel încât pentru fiecare $z\in A$ ${\ displaystyle z \ în A}$ $z \ în A$ avem:

\left|\sum _{i=n+1}^{n+p}v_{i}(z)\right|<\varepsilon ,

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = n + 1} ^ {n + p} v_ {i} (z) \ right | <\ varepsilon,}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = n + 1} ^ {n + p} v_ {i} (z) \ right | <\ varepsilon,}

pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ și pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ număr întreg pozitiv. Dacă termenii seriei sunt funcții continue într-un domeniu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar seria este uniform convergentă, atunci suma seriei este continuă și în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

O condiție necesară și suficientă pentru convergența absolută și uniformă a seriei este aceea pentru toate valorile $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ termenii seriei sunt limitați în domeniu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Teoreme Weierstrass

Prima teoremă a lui Weierstrass afirmă că dacă termenii unei serii sunt funcții analitice într-un domeniu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pur și simplu conectat , suma ei $S(z)$ ${\ displaystyle S (z)}$ $S (z)$ este o funcție analitică în același domeniu. De fapt, în ipotezele teoremei, funcția sumă este cu siguranță continuă și se poate schimba seria cu integralul :

\int _{\gamma }S(z)dz=\int dz\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma }f_{k}(z)dz,

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} S (z) dz = \ int dz \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ int _ {\ gamma} f_ {k} (z) dz,}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} S (z) dz = \ int dz \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ int _ {\ gamma} f_ {k} (z) dz,}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este orice curbă închisă aparținând domeniului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Rezultă că:

\oint _{\gamma }dz\ S(z)=0

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} dz \ S (z) = 0}

\ oint _ {{\ gamma}} dz \ S (z) = 0

și după teorema lui Morera , $S(z)$ ${\ displaystyle S (z)}$ $S (z)$ este analitic.

A doua teoremă Weierstrass afirmă în schimb că dacă o serie de funcții analitice într-un domeniu conectat și închis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este uniform convergent, apoi poate fi derivat termen la termen $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori.

Serie de puteri

Același subiect în detaliu: seria Power .

În matematică, în special în analiza complexă , este de o importanță deosebită pentru seriile de putere . Acestea sunt serii particulare de funcții ale formei:

\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}(x-c)^{n},

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (xc) ^ {n},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x-c) ^ {n},}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este numit centrul seriei. Se poate arăta că pentru fiecare serie de putere există un număr $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , cu $0\leq r\leq \infty$ ${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq \ infty}$ $0 \ leq r \ leq \ infty$ astfel încât seria converge când $|x-c|<r$ ${\ displaystyle | xc | <r}$ $| x-c | <r$ și diverg când $|x-c|>r$ ${\ displaystyle | xc |> r}$ $| x-c |> r$ . Numarul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este raza de convergență a seriei de putere. Există câteva criterii care facilitează căutarea razei de convergență a seriei.

O serie complexă de puteri pozitive este de tipul:

\sum _{k=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\dots

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (z-z_ {0}) + a_ {2} (z-z_ {0}) ^ {2} + \ dots}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (z-z_ {0}) + a_ {2} (z-z_ {0}) ^ {2} + \ dots

Din teoremele lui Weierstrass și Abel rezultă că suma unei serii de puteri întregi din cercul său de convergență este o funcție analitică și că fiecare serie de puteri este o serie Taylor a funcției sumă. Teorema lui Abel oferă o caracterizare a regiunii de convergență, în timp ce formula Cauchy-Hadamard arată cum se poate stabili valoarea exactă a razei de convergență.

Teorema lui Abel

Același subiect în detaliu: teorema lui Abel .

Dacă seria de putere pozitivă converge într-un punct $z=z_{0}$ ${\ displaystyle z = z_ {0}}$ $z = z_ {0}$ apoi converge uniform în fiecare punct:

|z-z'|<|z_{0}-z'|,

{\ displaystyle | z-z '| <| z_ {0} -z' |,}

{\ displaystyle | z-z '| <| z_ {0} -z' |,}

adică în fiecare cerc de rază:

R\leq |z_{0}-z'|.

{\ displaystyle R \ leq | z_ {0} -z '|.}

{\ displaystyle R \ leq | z_ {0} -z '|.}

De fapt, conform ipotezelor teoremei, seria converge în $z=z_{0}$ ${\ displaystyle z = z_ {0}}$ $z = z_ {0}$ , și vrem să-i dovedim convergența într-un cerc întreg de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Dacă rescrieți:

c_{n}(z-z')^{n}=c_{n}(z_{0}-z')^{n}\left({\frac {z-z'}{z_{0}-z'}}\right)^{n}

{\ displaystyle c_ {n} (z-z ') ^ {n} = c_ {n} (z_ {0} -z') ^ {n} \ left ({\ frac {z-z '} {z_ {0} -z '}} \ right) ^ {n}}

c_ {n} (z-z ') ^ {n} = c_ {n} (z_ {0} -z') ^ {n} \ left ({\ frac {z-z '} {z_ {0} - z'}} \ dreapta) ^ {n}

iar această serie converge în $z=z_{0}$ ${\ displaystyle z = z_ {0}}$ $z = z_ {0}$ , atunci puteți crește:

\left|\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z')^{n}\right|\leq M\sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {z-z'}{z_{0}-z'}}\right|^{n}\leq M\cdot \sum _{n=0}^{\infty }k^{n}={\frac {M}{1-k}}.

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z ') ^ {n} \ right | \ leq M \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {zz '} {z_ {0} -z'}} \ right | ^ {n} \ leq M \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} k ^ {n} = {\ frac {M} {1-k}}.}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z ') ^ {n} \ right | \ leq M \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {zz '} {z_ {0} -z'}} \ right | ^ {n} \ leq M \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} k ^ {n} = {\ frac {M} {1-k}}.}

Convergența este deci absolută și uniformă.

Formula Cauchy-Hadamard

Același subiect în detaliu: teorema lui Cauchy-Hadamard .

Raza de convergență a unei serii de puteri întregi pozitive este egală cu:

R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|

{\ displaystyle R = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} \ right |}

R = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left | {\ frac {c_ {n}} {c _ {{n + 1}}}} right |

sau:

{\frac {1}{R}}=\lim _{n\to \infty }\left(|c_{n}|\right)^{1/n}

{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (| c_ {n} | \ right) ^ {1 / n}}

{\ frac {1} {R}} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left (| c_ {n} | \ right) ^ {{1 / n}}

dacă o astfel de limită există și este finită. În această rază, seria este uniform și absolut convergentă. Pe circumferință poate converge sau nu și se evaluează caz cu caz și seria divergă în afara acestui cerc. Se poate întâmpla ca seria să convergă într-un singur punct, apoi seria este în mod necesar compusă dintr-un singur termen.

Seria Taylor

Același subiect în detaliu: seria Taylor .

Seria Taylor este dezvoltarea unei funcții (în cercul său de convergență) într-o serie de puteri într-un punct în care funcția este analitică . Această dezvoltare este unică și are forma:

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k},

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k},}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k},}

cu:

a_{k}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}f(z)}{dz^{k}}}\right]_{z=z_{0}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\,dz.

{\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {k!}} \ left [{\ frac {d ^ {k} f (z)} {dz ^ {k}}} \ right] _ {z = z_ {0}} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} {\ frac {f (z)} {(z-z_ {0}) ^ {k + 1} }} \, dz.}

{\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {k!}} \ left [{\ frac {d ^ {k} f (z)} {dz ^ {k}}} \ right] _ {z = z_ {0}} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} {\ frac {f (z)} {(z-z_ {0}) ^ {k + 1} }} \, dz.}

De fapt, din reprezentarea Cauchy avem:

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z')}{(z'-z)}}\ dz'.

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {f (z ')} {(z'-z)}} \ dz'. }

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {f (z ')} {(z'-z)}} \ dz'. }

Dezvoltând numitorul după cum urmează:

{\frac {1}{z'-z_{0}-(z-z_{0})}}={\frac {1}{z'-z_{0}}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{0}}{z'-z_{0}}}\right)^{k}

{\ displaystyle {\ frac {1} {z'-z_ {0} - (z-z_ {0})}} = {\ frac {1} {z'-z_ {0}}} \ cdot \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {z-z_ {0}} {z'-z_ {0}}} \ right) ^ {k}}

{\ frac {1} {z'-z_ {0} - (z-z_ {0})}} = {\ frac {1} {z'-z_ {0}}} \ cdot \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {z-z_ {0}} {z'-z_ {0}}} \ right) ^ {k}

și integrând termen cu termen această serie, care este uniform convergentă, obținem:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(z-z_{0})^{k}{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z')}{(z'-z_{0})^{k+1}}}\ dz',

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (z-z_ {0}) ^ {k} {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ { C} {\ frac {f (z ')} {(z'-z_ {0}) ^ {k + 1}}} \ dz',}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (z-z_ {0}) ^ {k} {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ { C} {\ frac {f (z ')} {(z'-z_ {0}) ^ {k + 1}}} \ dz',}

unde este:

a_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z')}{(z'-z_{0})}}\ dz'={\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}},

{\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {f (z ')} {(z'-z_ {0})}} \ dz '= {\ frac {f ^ {(k)} (z_ {0})} {k!}},}

{\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {f (z ')} {(z'-z_ {0})}} \ dz '= {\ frac {f ^ {(k)} (z_ {0})} {k!}},}

cum ai vrut să arăți.

Seria este convergentă în cercul convergenței (până la cea mai apropiată singularitate izolată ) și în domeniul analiticității funcției $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ , și poate fi derivat de la un termen la altul. Deducem că analitatea unei funcții și dezvoltarea în serie a lui Taylor sunt concepte echivalente.

Seria Laurent

Același subiect în detaliu: seria Laurent .

Seria de putere a lui Laurent are în vedere și puterile negative:

\sum _{k=-\infty }^{\infty }d_{k}(z-z_{0})^{k},

{\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} d_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k},}

{\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} d_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k},}

cu:

d_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\ dz.

{\ displaystyle d_ {k} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {f (z)} {(z-z_ {0}) ^ {k + 1 }}} \ dz.}

{\ displaystyle d_ {k} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {f (z)} {(z-z_ {0}) ^ {k + 1 }}} \ dz.}

În general $d_{k}$ ${\ displaystyle d_ {k}}$ $d_ {k}$ nu este derivatul $d^{k}f(z_{0})/dz^{k}$ ${\ displaystyle d ^ {k} f (z_ {0}) / dz ^ {k}}$ $d ^ {k} f (z_ {0}) / dz ^ {k}$ .

Asumând funcția $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este holomorf în inelul central $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ format din circumferințe $C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ $C _ {{2}}$ intern e $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C _ {{1}}$ extern și pe circumferințe, pentru fiecare punct z se scrie formula integrală Cauchy :

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{1}}{\frac {f(z')}{z'-z}}dz'+{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{2}}{\frac {f(z')}{z'-z}}dz'.

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {1}} {\ frac {f (z ')} {z'-z}} dz' + {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {2}} {\ frac {f (z ')} {z'-z}} dz'.}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {1}} {\ frac {f (z ')} {z'-z}} dz' + {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C_ {2}} {\ frac {f (z ')} {z'-z}} dz'.}

Prin integrarea primei integrale pe $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C _ {{1}}$ avem: $\left|{\frac {z-b}{z'-b}}\right|<1$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {zb} {z'-b}} \ right | <1}$ $\ left | {\ frac {z-b} {z'-b}} \ right | <1$ și poate reprezenta primul membru din seria lui Taylor. Al doilea membru dă întotdeauna $\left|{\frac {z-b}{z'-b}}\right|<1$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {zb} {z'-b}} \ right | <1}$ $\ left | {\ frac {z-b} {z'-b}} \ right | <1$ și există o dezvoltare:

{\frac {1}{z'-z}}=-{\frac {1}{z-b}}{\frac {1}{1-{\frac {z'-b}{z-b}}}}=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z'-b)^{k}}{(z-b)^{k+1}}},

{\ displaystyle {\ frac {1} {z'-z}} = - {\ frac {1} {zb}} {\ frac {1} {1 - {\ frac {z'-b} {zb}} }} = - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(z'-b) ^ {k}} {(zb) ^ {k + 1}}},}

{\ displaystyle {\ frac {1} {z'-z}} = - {\ frac {1} {zb}} {\ frac {1} {1 - {\ frac {z'-b} {zb}} }} = - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(z'-b) ^ {k}} {(zb) ^ {k + 1}}},}

adică în serie de putere negativă a $(z-b)$ ${\ displaystyle (zb)}$ $(z-b)$ . Prin gruparea celor două serii obținem seria Laurent. Seria Laurent are puteri pozitive și negative, astfel încât dominația acestei serii nu include punctul $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ ceea ce ar anula puterile negative și se dovedește că regiunea de convergență nu este un cerc, ci o regiune inelară, adică o coroană circulară :

|z-z_{0}|<\rho _{2}\,e\,|z-z_{0}|>\rho _{1},

{\ displaystyle | z-z_ {0} | <\ rho _ {2} \ și \, | z-z_ {0} |> \ rho _ {1},}

{\ displaystyle | z-z_ {0} | <\ rho _ {2} \ și \, | z-z_ {0} |> \ rho _ {1},}

sau chiar mai bine:

\rho _{2}<|z-z_{0}|<\rho _{1}.

{\ displaystyle \ rho _ {2} <| z-z_ {0} | <\ rho _ {1}.}

{\ displaystyle \ rho _ {2} <| z-z_ {0} | <\ rho _ {1}.}

Estimarea sumelor

Având o funcție $f\colon N\to \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle f \ colon N \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle f \ colon N \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ , l'espressione $\sum _{k=0}^{n}f(k)$ $\sum _{k=0}^{n}f(k)$ $\sum _{{k=0}}^{n}f(k)$ rappresenta la somma:

\sum _{k=0}^{n}f(k)=f(0)+f(1)+\dots +f(n).

\sum _{k=0}^{n}f(k)=f(0)+f(1)+\dots +f(n).

\sum _{k=0}^{n}f(k)=f(0)+f(1)+\dots +f(n).

Essa definisce chiaramente una funzione $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ^{+}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ^{+}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ^{+}$ che associa ad ogni $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ $n\in \mathbb{N}$ il valore $S(n)=\sum _{k=0}^{n}f(k)$ $S(n)=\sum _{k=0}^{n}f(k)$ $S(n)=\sum _{k=0}^{n}f(k)$ .

Dall'analisi degli algoritmi si utilizza sovente la valutazione di somme di questo tipo, ad esempio nello studio in un'istruzione del tipo

 for i = 0 to n do C ( i )

per un comando C qualsiasi si ottiene la somma:

\sum _{k=0}^{n-1}c(k),

\sum _{k=0}^{n-1}c(k),

\sum _{k=0}^{n-1}c(k),

dove $c(k)$ ${\displaystyle c(k)}$ $c(k)$ è il tempo di calcolo del comando C quando la variabile $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ assume il valore $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ . L'ordine di grandezza di una somma può essere dedotto dall'ordine di grandezza dei suoi addendi.

Stima asintotica

Siano $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ e $g$ ${\displaystyle g}$ $g$ due funzioni definite su $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $\N$ a valori in $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb{R} ^{+}$ e siano $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ e $G$ ${\displaystyle G}$ $G$ le loro funzioni somma, cioè:

F(n)=\sum _{k=0}^{n}f(k)\qquad G(n)=\sum _{k=0}^{n}g(k),\qquad \forall n\in N.

F(n)=\sum _{k=0}^{n}f(k)\qquad G(n)=\sum _{k=0}^{n}g(k),\qquad \forall n\in N.

F(n)=\sum _{k=0}^{n}f(k)\qquad G(n)=\sum _{k=0}^{n}g(k),\qquad \forall n\in N.

Allora $f(n)=\theta (g(n))$ $f(n)=\theta (g(n))$ $f(n)=\theta (g(n))$ implica $F(n)=\theta (G(n))$ $F(n)=\theta (G(n))$ $F(n)=\theta (G(n))$ .

In altre parole, si può ricondurre lo studio asintotico di $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ e $G$ ${\displaystyle G}$ $G$ sapendo che la relazione esistente tra le loro funzioni $f(n)$ ${\displaystyle f(n)}$ $f(n)$ e $g(n)$ ${\displaystyle g(n)}$ $g(n)$ sono $f(n)=\theta (g(n))$ $f(n)=\theta (g(n))$ $f(n)=\theta (g(n))$ , allora si ottiene che $F(n)=\theta (G(n))$ $F(n)=\theta (G(n))$ $F(n)=\theta (G(n))$ . Da notare che il simbolo $\theta$ $\theta$ $\theta$ viene usato per indicare che due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza a meno di costanti moltiplicative.

Dimostrazione

La proprietà è una semplice conseguenza della definizione di $\theta$ $\theta$ $\theta$ . Infatti per l'ipotesi esistono due costanti positive $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ , $d$ ${\displaystyle d}$ $d$ tali che $cg(k)\leq dg(k)$ $cg(k)\leq dg(k)$ $cg(k)\leq dg(k)$ per ogni $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ abbastanza grande. Sostituendo questi valori nelle rispettive sommatorie si ottiene:

C\sum _{k=0}^{n}g(k)\leq \sum _{k=0}^{n}f(k)\leq D\sum _{k=0}^{n}g(k),

C\sum _{k=0}^{n}g(k)\leq \sum _{k=0}^{n}f(k)\leq D\sum _{k=0}^{n}g(k),

C\sum _{k=0}^{n}g(k)\leq \sum _{k=0}^{n}f(k)\leq D\sum _{k=0}^{n}g(k),

per due costanti $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ , $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ fissate e ogni $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ sufficientemente grande.

Esempio

Si vuole valutare l'ordine di grandezza della somma:

\sum _{k=1}^{n}k\log \left(1+{1 \over k}\right).

\sum _{k=1}^{n}k\log \left(1+{1 \over k}\right).

\sum _{k=1}^{n}k\log \left(1+{1 \over k}\right).

Poiché $k\log \left(1+{1 \over k}\right)=\theta (1)$ $k\log \left(1+{1 \over k}\right)=\theta (1)$ $k\log \left(1+{1 \over k}\right)=\theta (1)$ , applicando la proposizione precedente si ottiene:

\sum _{k=1}^{n}k\log \left(1+{1 \over k}\right)\geq \theta \left(\sum _{k=0}^{n}1\right)=\theta (1).

\sum _{k=1}^{n}k\log \left(1+{1 \over k}\right)\geq \theta \left(\sum _{k=0}^{n}1\right)=\theta (1).

\sum _{k=1}^{n}k\log \left(1+{1 \over k}\right)\geq \theta \left(\sum _{k=0}^{n}1\right)=\theta (1).

Serie numeriche fondamentali

È importante conoscere il carattere di alcune cosiddette "serie fondamentali", cioè serie specifiche che vengono utilizzate spesso nell'applicazione dei criteri di convergenza. Esse sono, ad esempio, la serie di Mengoli , la serie geometrica , la serie armonica o la serie resto .

Serie notevoli

Nel seguito alcuni esempi:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$ $\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$ $\sum _{{k=0}}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{{n+1}}}{1-q}}$ da cui viene per |q|<1 $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}$ $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}$ $\sum _{{k=0}}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sin z$ $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sin z$ $\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{{2k+1}}}{(2k+1)!}}=\sin z$
$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$ $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$ $\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{{2k}}}{(2k)!}}=\cos z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sinh z$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sinh z$ $\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{{2k+1}}}{(2k+1)!}}=\sinh z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cosh z$ $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cosh z$ $\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{{2k}}}{(2k)!}}=\cosh z$
$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{k+1}}{k+1}}=\log(1+x)$ $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{k+1}}{k+1}}=\log(1+x)$ $\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{{k+1}}}{k+1}}=\log(1+x)$ con $x\in \left(-1;1\right]$ $x\in \left(-1;1\right]$ $x\in \left(-1;1\right]$
$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=\arctan(x)$ $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=\arctan(x)$ $\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{{2k+1}}}{2k+1}}=\arctan(x)$ con $x\in \left[-1;1\right]$ $x\in \left[-1;1\right]$ $x\in \left[-1;1\right]$

Note

^ Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, 11 - Serie , in Elementi di Analisi Matematica uno , Prima edizione, Liguori Editore, 2002, p. 259, ISBN 88-207-3383-8 .
^ PM Soardi, Analisi matematica , Novara, Città studi edizioni, 2010, pp. 143-145. .

Bibliografia

Paolo Marcellini , Carlo Sbordone (1998): Analisi Matematica Uno , Liguori Editore, Napoli, ISBN 9788820728199
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone (2020): Lezioni di Analisi Matematica Due , Zanichelli, ISBN 9788808520203
Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare (Bologna, Zanichelli , 2000)
( FR ) E. Catalan Traité élémentaire des séries (Paris, Leiber et Faraguet, 1860)
( EN ) TJA Bromwich An introduction to the theory of infinite series (London, Macmillan, 1908)
( DE ) Konrad Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (Berlin, J. Springer, 1922)
Serie numeriche (corso di Analisi Matematica) ( PDF ), su Università di Bari , aa 2013/2014. URL consultato il 18 gennaio 2019 (archiviato dall' url originale il 18 gennaio 2019) .

Voci correlate

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario « serie »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su serie

Collegamenti esterni

( EN ) LD Kudryavtsev, Series , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
Achille, la tartaruga e la nascita delle serie ( PDF ), su ulisse.sissa.it . URL consultato il 27 aprile 2008 (archiviato dall' url originale il 15 dicembre 2013) .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 22079 · LCCN ( EN ) sh85120237 · GND ( DE ) 4049197-3 · BNF ( FR ) cb11933261z (data) · BNE ( ES ) XX526931 (data) · NDL ( EN , JA ) 00567344

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, 11 - Serie , in Elementi di Analisi Matematica uno , Prima edizione, Liguori Editore, 2002, p. 259, ISBN 88-207-3383-8 .

[2] PM Soardi, Analisi matematica , Novara, Città studi edizioni, 2010, pp. 143-145. .

[1]

[2]

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione ( di funzioni ) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite ( di una funzione · di una successione · Forma indeterminata ) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie ( di funzioni ) · Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy