Serie sumativă unitară

În matematică , seria sumativă unitară , denumită și 1 + 1 + 1 + 1 + ... este o serie divergentă . Poate fi reprezentat prin însumare ca

\sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+1+\cdots

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + \ cdots}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + \ cdots}

Trunchierea la final $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -alea avem:

\sum _{n=1}^{m}1=m.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {m} 1 = m.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {m} 1 = m.}

Următoarea egalitate este uneori utilizată informal:

$1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.$ ${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + \ cdots = - {1 \ peste 2}.}$ ${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + \ cdots = - {1 \ peste 2}.}$

Cu toate acestea, trebuie amintit că această egalitate nu este formală corectă atâta timp cât este luată în considerare definiția obișnuită a unei serii infinite , întrucât seria sumativă unitară este o serie divergentă. Unul dintre motivele acestei scrieri este următorul: dacă considerăm, în mod informal, seria sumativă unitară ca un caz particular al funcției zeta Riemann (evaluată la punctul 0)

\zeta (0)={\frac {1}{1^{0}}}+{\frac {1}{2^{0}}}+{\frac {1}{3^{0}}}+\cdots =1+1+1+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }1

{\ displaystyle \ zeta (0) = {\ frac {1} {1 ^ {0}}} + {\ frac {1} {2 ^ {0}}} + {\ frac {1} {3 ^ {0 }}} + \ cdots = 1 + 1 + 1 + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1}

{\ displaystyle \ zeta (0) = {\ frac {1} {1 ^ {0}}} + {\ frac {1} {2 ^ {0}}} + {\ frac {1} {3 ^ {0 }}} + \ cdots = 1 + 1 + 1 + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1}

.

iar extensia analitică a acestei funcții este utilizată pentru a demonstra că:

\zeta (0)=-{1 \over 2},

{\ displaystyle \ zeta (0) = - {1 \ peste 2},}

{\ displaystyle \ zeta (0) = - {1 \ peste 2},}

ajungi să scrii $1+1+1+\cdots =-{1 \over 2}.$ ${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + \ cdots = - {1 \ peste 2}.}$ ${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + \ cdots = - {1 \ peste 2}.}$ Cu toate acestea, acest raționament este incorect ca definiția lui $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ în formă de serie nu este valid în 0 (și nu este valabil în general pentru toate numerele care au o parte reală mai mică sau egală cu 1). În cel mai bun caz putem spune că există o „legătură indirectă” între seria sumativă unitară (în sensul obișnuit) și valoarea -1/2.

Fizicianul spaniol Emilio Elizalde a povestit o anecdotă despre această serie:

Într-o perioadă scurtă de mai puțin de un an, doi fizicieni distincti, A. Slavnov și F. Yndurain, au susținut seminarii la Barcelona pe diferite subiecte. A fost remarcabil cum în ambele prezentări la un moment dat vorbitorul a specificat cu aceste cuvinte: „După cum toată lumea știe 1 + 1 + 1 + ... = -1/2”; poate însemnând: „ Dacă nu știi, este inutil să asculti în continuare ”.

Elemente conexe

linkuri externe

Seria infinită , pe arxiv.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică