Funcția zeta Riemann

Graficul funcției Riemann

\zeta (a+ib)

{\ displaystyle \ zeta (a + ib)}

\ zeta (a + ib)

pentru

0\leq a\leq 3

{\ displaystyle 0 \ leq a \ leq 3}

0 \ leq a \ leq 3

Și

0,1\leq b\leq 200

{\ displaystyle 0,1 \ leq b \ leq 200}

0,1 \ leq b \ leq 200

.

În matematică , funcția zeta Riemann este o funcție care are o importanță fundamentală în teoria analitică a numerelor și are implicații semnificative în fizică , teoria probabilităților și statistică .

Primele rezultate referitoare la această funcție au fost obținute de Leonhard Euler în secolul al XVIII-lea, dar numele provine de la Bernhard Riemann , care în textul Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse , publicat în 1859 , a arătat că există o relație între zerouri ale funcției și distribuției numerelor prime observând că o presupunere pe poziția zerourilor (celebra ipoteză Riemann ) ar implica faptul că primii sunt distribuiți cu o anumită regularitate. ^[1]

Definiție și primele proprietăți

Funcția zeta Riemann este definită prin prelungirea analitică a seriei Dirichlet

\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {1 ^ {s}}} + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s }}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}

\ zeta (s) = {\ frac 1 {1 ^ {s}}} + {\ frac 1 {2 ^ {s}}} + {\ frac 1 {3 ^ {s}}} + \ cdots = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}},

convergent pentru orice număr complex $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ din partea reală $\mathrm {Re} (s)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)}$ ${\ mathrm {Re}} (s)$ mai mare ca $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Prin extensia găsită de Riemann, seria Dirichlet este extinsă la o funcție holomorfă pe întregul plan complex, cu excepția $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , unde are un stâlp simplu .

Funcția zeta are zerouri simple în numerele întregi negative, numite zerouri banale , în timp ce toate celelalte zerouri sunt dispuse simetric față de linie $\mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s) = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ mathrm {Re}} (s) = {\ frac {1} {2}}$ , numită linie critică , și toate sunt conținute în bandă $0<\mathrm {Re} (s)<1$ ${\ displaystyle 0 <\ mathrm {Re} (s) <1}$ $0 <{\ mathrm {Re}} (s) <1$ , numită banda critică . Toate zerourile funcției zeta Riemann apar în perechi conjugate , deci sunt și simetrice față de axa abscisei.

Istorie

Bernhard Riemann a fost primul care a evidențiat legătura dintre zerourile funcției zeta Riemann și distribuția numerelor prime.

Primul care a observat importanța funcției zeta în studiul numerelor prime a fost Euler care, în 1737 , a dovedit identitatea, cunoscut sub numele de produsul lui Euler :

\zeta (x):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-x}}},

{\ displaystyle \ zeta (x): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}} = \ prod _ {p {\ text {prime}} } {\ frac {1} {1-p ^ {- x}}},}

\ zeta (x): = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac 1 {n ^ {x}}} = \ prod _ {{p {\ text {first}}}} {\ frac 1 {1-p ^ {{- x}}}},

Unde $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un număr real mai mare decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Datorită acestei formule, Euler a dedus că seria

\sum _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{p}}

{\ displaystyle \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {p}}}

\ sum _ {{p {\ text {first}}}} {\ frac 1p}

divergă și, prin urmare, numerele prime sunt destul de dense în setul numerelor naturale , mai mult decât pătrate perfecte ; de exemplu, se poate observa că raționamentul lui Euler oferă și o altă dovadă a teoremei infinității numerelor prime , demonstrată deja elegant de matematica greacă .

În secolul următor, Čebyšëv și alți matematicieni s-au dedicat studiului înțelegerii distribuției numerelor prime , folosind mai ales metode combinatorii și formula produsului Euler, fără a fi totuși capabili să demonstreze relația asimptotică.

\pi (x):={\text{ numero di primi minori o uguali a }}x\sim {\frac {x}{\ln x}},

{\ displaystyle \ pi (x): = {\ text {număr de valori mai mici sau egale cu}} x \ sim {\ frac {x} {\ ln x}},}

\ pi (x): = {\ text {număr de numere prime mai mici sau egale cu}} x \ sim {\ frac x {\ ln x}},

conjecturat de Legendre și cunoscut acum ca teorema numărului prim .

Cu toate acestea, cu Bernhard Riemann funcția zeta a început să capete un rol central în teoria numerelor . În singurul său articol despre acest subiect, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse , Riemann a considerat că funcția zeta nu mai este doar pentru o variabilă reală $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , dar pentru o variabilă complexă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , și a studiat-o folosind metode complexe de analiză . Principalele rezultate obținute de Riemann au fost: ^[2]

demonstrarea faptului că funcția $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ poate fi extins analitic pe întregul plan complex, cu excepția $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , unde funcția are un pol simplu;
descoperirea unei ecuații funcționale (demonstrată în două moduri diferite) care permite raportarea valorilor funcției zeta la dreapta și la stânga liniei drepte Re ( s ) = 1/2; ^[3]
o formulă exactă care arată dependența funcției enumerative a primilor de zerourile funcției zeta.
Introducerea unei noi funcții holomorfe întregi , ξ ( s ), strâns legată de ζ ( s ) și o dovadă a unei formule produse pentru ξ (s) (această formulă a fost dovedită riguros abia 34 de ani mai târziu, de Jacques Hadamard ).

În plus față de aceste rezultate, Riemann a dat câteva formule nedovedite, inclusiv o formulă cu o estimare asimptotică a numărului de zerouri netriviale ale funcției zeta și a scris că este „foarte probabil” ca toate aceste zerouri să aibă o parte reală egală cu 1/2. Această presupunere a luat numele ipotezei Riemann și este încă una dintre cele mai importante probleme deschise din toată matematica, datorită consecințelor pe care le-ar implica asupra distribuției numerelor prime. ^[1]

În anii care au urmat, diverși matematicieni au dezvoltat în continuare ideile lui Riemann și au oferit dovezi riguroase pentru unele dintre formulele sale. În special, cele mai importante rezultate au fost obținute de von Mangoldt și mai ales de Hadamard și de la Vallée Poussin . Acesta din urmă a reușit de fapt să demonstreze că funcția zeta nu are zerouri în linie $\mathrm {Re} (s)=1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s) = 1}$ ${\ mathrm {Re}} (s) = 1$ și din aceasta obțineți teorema numărului prim ca corolar. ^[4]

De atunci, s-au făcut mari eforturi pentru a demonstra ipoteza Riemann, dar au fost obținute doar rezultate parțiale care rămân foarte departe de ceea ce a prezis Riemann. În imposibilitatea de a face progrese suplimentare în această direcție, efortul teoreticienilor numerelor s-a mutat către alte probleme importante legate de funcția zeta: studiul creșterii funcției zeta de-a lungul liniei critice , studiul momentelor sale și pe transcendența sau raționalitatea valorilor sale asupra numerelor naturale impare.

Principalele proprietăți

Graficul cartezian al funcției zeta pentru numere reale cuprinse între -18,5 și 10

Produsul Euler

Același subiect în detaliu: formula produsului Euler .

Una dintre proprietățile fundamentale ale funcției zeta Riemann este produsul Euler,

\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},

{\ displaystyle \ zeta (s): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p {\ text {prime}} } {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}},}

\ zeta (s): = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac 1 {n ^ {s}}} = \ prod _ {{p {\ text {first}}}} {\ frac {1} {1-p ^ {{- s}}}},

valabil pentru $\mathrm {Re} (s)>1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> 1}$ ${\ mathrm {Re}} (s)> 1$ , și unde produsul este realizat pe toate numerele prime $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Dovada acestei identități folosește doar formula pentru suma seriei geometrice și teorema fundamentală a aritmeticii . De fapt, pentru $\mathrm {Re} (s)>0$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> 0}$ ${\ mathrm {Re}} (s)> 0$ , se poate calcula suma geometrică

\sum _{m=0}^{\infty }\left(p^{-s}\right)^{m}={\frac {1}{1-p^{-s}}},

{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} \ left (p ^ {- s} \ right) ^ {m} = {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} ,}

\ sum _ {{m = 0}} ^ {\ infty} \ left (p ^ {{- s}} \ right) ^ {m} = {\ frac {1} {1-p ^ {{- s} }}},

pentru fiecare primă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Înmulțind aceste identități împreună pentru toate cele dintâi $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , pentru $\mathrm {Re} (s)>1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> 1}$ ${\ mathrm {Re}} (s)> 1$ (această restricție suplimentară servește pentru a asigura convergența) avem:

${\begin{aligned}\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&=\prod _{p{\text{ primo}}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }\left(p^{-s}\right)^{m}\right)\\&=\left(1+2^{-s}+(2^{2})^{-s}+(2^{3})^{-s}+\cdots \right)\cdot \left(1+3^{-s}+(3^{2})^{-s}+(3^{3})^{-s}+\cdots \right)\cdot \left(1+5^{-s}+(5^{2})^{-s}+(5^{3})^{-s}+\cdots \right)\cdots \\&=1+2^{-s}+3^{-s}+(2^{2})^{-s}+5^{-s}+(2\cdot 3)^{-s}+\cdots \\&=\zeta (s),\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ prod _ {p {\ text {first}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} & = \ prod _ {p {\ text { first}}} \ left (\ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} \ left (p ^ {- s} \ right) ^ {m} \ right) \\ & = \ left (1 + 2 ^ {-s} + (2 ^ {2}) ^ {- s} + (2 ^ {3}) ^ {- s} + \ cdots \ right) \ cdot \ left (1 + 3 ^ {- s} + (3 ^ {2}) ^ {- s} + (3 ^ {3}) ^ {- s} + \ cdots \ right) \ cdot \ left (1 + 5 ^ {- s} + (5 ^ {2 }) ^ {- s} + (5 ^ {3}) ^ {- s} + \ cdots \ right) \ cdots \\ & = 1 + 2 ^ {- s} +3 ^ {- s} + (2 ^ {2}) ^ {- s} +5 ^ {- s} + (2 \ cdot 3) ^ {- s} + \ cdots \\ & = \ zeta (s), \ end {align}}}$ ${\ begin {align} \ prod _ {{p {\ text {prime}}}} {\ frac {1} {1-p ^ {{- s}}}} & = \ prod _ {{p {\ text {first}}}} \ left (\ sum _ {{m = 0}} ^ {\ infty} \ left (p ^ {{- s}} \ right) ^ {m} \ right) \\ & = \ left (1 + 2 ^ {{- s}} + (2 ^ {2}) ^ {{- s}} + (2 ^ {3}) ^ {{- s}} + \ cdots \ right) \ cdot \ left (1 + 3 ^ {{- s}} + (3 ^ {2}) ^ {{- s}} + (3 ^ {3}) ^ {{- s}} + \ cdots \ right) \ cdot \ left (1 + 5 ^ {{- s}} + (5 ^ {2}) ^ {{- s}} + (5 ^ {3}) ^ {{- s}} + \ cdots \ right ) \ cdots \\ & = 1 + 2 ^ {{- s}} + 3 ^ {{- s}} + (2 ^ {2}) ^ {{- s}} + 5 ^ {{- s}} + (2 \ cdot 3) ^ {{- s}} + \ cdots \\ & = \ zeta (s), \ end {align}}$

întrucât prin teorema fundamentală a aritmeticii fiecare număr natural poate fi descompus într-un mod unic ca produs al puterilor primilor.

Este interesant de observat că formula lui Euler are consecința că există numere prime infinite . De fapt, dacă ar exista doar un număr finit de numere prime, atunci produsul Euler ar fi un produs finit și, prin urmare, ar fi definit și pentru $s=1$ ${\ displaystyle s = 1}$ $s = 1$ , în timp ce în acest moment funcția zeta are un pol. Deși poate părea prea complicat pentru o teoremă a cărei dovezi elementare există, această dovadă este foarte importantă deoarece o generalizare a acesteia a fost folosită de Dirichlet pentru a demonstra teorema infinității numerelor prime în progresii aritmetice .

Acest produs se află la originea legăturii dintre funcția zeta și numerele prime .

Câteva serii înrudite

În plus față de seria care este de obicei utilizată pentru a o defini, funcția zeta Riemann este, de asemenea, strâns legată de alte serii Dirichlet . Dintre acestea, seria pentru derivatul logaritmic al funcției zeta are o importanță fundamentală,

{\frac {\zeta '}{\zeta }}(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},\qquad \mathrm {Re} (s)>1,

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta '} {\ zeta}} (s) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {n ^ {s} }}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta '} {\ zeta}} (s) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {n ^ {s} }}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

care se obține prin derivarea logaritmului produsului Euler. Functia $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este funcția von Mangoldt , o funcție care este diferită de zero numai în puterile numerelor prime. Din această identitate formula poate fi ușor obținută, prin utilizarea sumei pe părți

{\frac {\zeta '}{\zeta }}(s)=-s\int _{1}^{+\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx,\qquad \mathrm {Re} (s)>1,

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta '} {\ zeta}} (s) = - s \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ psi (x)} {x ^ {s + 1}}} \, dx, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta '} {\ zeta}} (s) = - s \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ psi (x)} {x ^ {s + 1}}} \, dx, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

unde este

\psi (x):=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)

{\ displaystyle \ psi (x): = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n)}

\ psi (x): = \ sum _ {{n \ leq x}} \ Lambda (n)

este funcția ψ a lui Čebyšëv , practic o versiune ponderată a funcției enumerative a primilor , $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ .

Alte serii importante Dirichlet legate de funcția zeta sunt

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},\qquad \mathrm {Re} (s)>1,

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este funcția Möbius și

\zeta ^{k}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d_{k}(n)}{n^{s}}},\qquad \mathrm {Re} (s)>1,

{\ displaystyle \ zeta ^ {k} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d_ {k} (n)} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

{\ displaystyle \ zeta ^ {k} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d_ {k} (n)} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 1,}

unde este $d_{k}(n)$ ${\ displaystyle d_ {k} (n)}$ $d_ {k} (n)$ este numărul de reprezentări ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ca produs al $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ numere întregi mai mari decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . În special,

\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}},\qquad \mathrm {Re} (s)>1,

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n)} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re } (s)> 1,}

{\ displaystyle \ zeta ^ {2} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n)} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re } (s)> 1,}

unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este funcția divizor .

De asemenea, funcția Dirichlet eta

\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}},\qquad \mathrm {Re} (s)>0,

{\ displaystyle \ eta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 0,}

{\ displaystyle \ eta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {s}}}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> 0,}

este legat de funcția zeta Riemann, prin relația

\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s),

{\ displaystyle \ eta (s) = \ left (1-2 ^ {1-s} \ right) \ zeta (s),}

\ eta (s) = \ left (1-2 ^ {{1-s}} \ right) \ zeta (s),

și poate fi folosit pentru a extinde analitic funcția zeta pe jumătate de plan $\mathrm {Re} (s)>0$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> 0}$ ${\ mathrm {Re}} (s)> 0$ .

Ecuația funcțională

Una dintre cele mai importante proprietăți ale funcției zeta Riemann este aceea că îndeplinește următoarea ecuație funcțională :

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s),

{\ displaystyle \ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) \ zeta (1-s),}

\ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {{s-1}} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) \ zeta (1 s),

Unde $\Gamma (s)$ ${\ displaystyle \ Gamma (s)}$ $\ Gamma (s)$ este funcția Gamma . Această formulă este o egalitate între funcțiile meromorfe valabile pe întregul plan complex . Pentru $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ cu partea reală negativă, toate funcțiile din dreapta egalității nu au poli și în numere întregi, funcția sinus are zero simple ; de aici rezultă că funcția zeta are zerouri simple (numite zerouri banale ) în numerele întregi negative. ^[5]

Această ecuație poate fi văzută ca o formulă de reflecție față de s = 1/2 și ne permite să exprimăm funcția zeta în stânga liniei Re ( s ) = 1/2 în funcție de funcția zeta din dreapta acestei linie și a unor funcții bine cunoscute. Funcția zeta Riemann poate fi „completată”, formând funcția Riemann Xi ,

\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s),

{\ displaystyle \ xi (s) = {\ frac {1} {2}} s (s-1) \ pi ^ {- {\ frac {s} {2}}} \ Gamma \ left ({\ frac { s} {2}} \ right) \ zeta (s),}

\ xi (s) = {\ frac {1} {2}} s (s-1) \ pi ^ {{- {\ frac {s} {2}}}} Gamma \ left ({\ frac {s } {2}} \ right) \ zeta (s),

care este întreg holomorf , are aceleași zerouri ca și funcția zeta, cu excepția zerourilor banale și satisface ecuația funcțională simetrică

\xi (s)=\xi (1-s).

{\ displaystyle \ xi (s) = \ xi (1-s).}

\ xi (s) = \ xi (1-s).

^[6]

Zerourile și ipoteza Riemann

Același subiect în detaliu: Ipoteza Riemann .

În afară de zerourile „banale”, prezente în numere întregi negative, funcția zeta nu are zerouri în dreapta lui σ = 1 și în stânga lui σ = 0 (nici nu pot exista zerouri „apropiate” de aceste două linii). Mai mult, zerourile non-banale sunt simetrice în raport cu liniile σ = 1/2 și t = 0 și, conform ipotezei Riemann, toate aparțin liniei σ = 1/2.

Produsul Euler are consecința imediată că funcția zeta nu are zerouri în jumătatea planului Re ( s )> 1. Mai mult, datorită ecuației funcționale, rezultă că singurele zerouri pe care funcția zeta le are în jumătatea planului Re ( s ) <0 sunt zerouri banale. Prin urmare, zerourile rămase pot fi doar în banda 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 și, din nou grație ecuației funcționale, sunt simetrice față de s = 1/2 și, de asemenea, cu privire la linia Im ( s ) = 0. ^[7] prin urmare, pentru fiecare netriviala zero , σ + l este altul in σ - ea și alți doi din 1 -σ ± ea (aceste zerouri coincid cu cele anterioare , dacă σ = 1/2). Mai mult, în demonstrațiile teoremei numerelor prime , Hadamard și de la Vallée Poussin au arătat că funcția zeta nu are zerouri chiar și în linia dreaptă Re ( s ) = 1 (și, prin urmare, pentru ecuația funcțională, nici măcar în Re ( s ) = 0). În special, toate zerourile non-banale ale funcției zeta se află în banda 0 <Re ( s ) <1, care este, prin urmare, numită bandă critică . În memoriile sale din 1859 , Riemann și-a exprimat convingerea că zerourile sunt dispuse chiar în centrul acestei benzi, în linia dreaptă Re ( s ) = 1/2 ( linia critică ); această presupunere este încă deschisă și a luat numele ipotezei Riemann (în engleză Riemann hypothesis sau RH ).

Valorile absolute ale funcției zeta în planul complex . Cu cât valoarea este mai întunecată, cu atât valoarea absolută este mai mică

Ipoteza Riemann este foarte departe de a fi dovedită și nu se știe încă dacă există un ε> 0 astfel încât toate zerourile σ + it din ζ să fie în σ <1-ε (ipoteza Riemann corespunde ε = 1/2 și, datorită teoremei lui Hadamard și de la Vallée Poussin, afirmația se dovedește a fi adevărată pentru ε = 0). Cu toate acestea, au fost obținute unele rezultate parțiale; primul care a extins regiunea fără zero a fost de la Vallée Poussin, care în 1899 a dovedit că zerourile funcției zeta Riemann satisfac inegalitatea

\sigma <1-{\frac {C}{\log(|t|+2)}},

{\ displaystyle \ sigma <1 - {\ frac {C} {\ log (| t | +2)}},}

\ sigma <1 - {\ frac {C} {\ log (| t | +2)}},

pentru o constantă $C>0$ ${\ displaystyle C> 0}$ $C> 0$ . Acest rezultat a fost ușor îmbunătățit de-a lungul anilor, cu avansuri aduse de John Edensor Littlewood , Nikolai Chudakov , Nikolai Mikhailovich Korobov și Ivan Matveevič Vinogradov . Acesta din urmă în 1958 a dovedit că

\sigma <1-{\frac {C}{(\log |t|)^{\frac {2}{3}}(\log \log |t|)^{\frac {1}{3}}}},

{\ displaystyle \ sigma <1 - {\ frac {C} {(\ log | t |) ^ {\ frac {2} {3}} (\ log \ log | t |) ^ {\ frac {1} { 3}}}},}

\ sigma <1 - {\ frac {C} {(\ log | t |) ^ {{\ frac 23}} (\ log \ log | t |) ^ {{\ frac 13}}}},

pentru $t>3$ ${\ displaystyle t> 3}$ ${\ displaystyle t> 3}$ și pentru o constantă $C>0.$ ${\ displaystyle C> 0.}$ ${\ displaystyle C> 0.}$ Cu excepția unor îmbunătățiri la constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ (cea mai recentă dintre acestea se datorează lui Ford, care a dovedit că poate fi luat $C={\tfrac {1}{57,54}}$ ${\ displaystyle C = {\ tfrac {1} {57,54}}}$ ${\ displaystyle C = {\ tfrac {1} {57,54}}}$ ), Teorema lui Vinogradov este încă cea mai cunoscută inegalitate pentru regiunea zero-zero. ^[8]

Formula Riemann-von Mangoldt

În memoria lui Riemann există o estimare asimptotică a numărului de zerouri non-banale cu parte imaginară între și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ care tinde spre infinit. Definit

N(T):=\#\left\{\sigma +it\mid \ \zeta (\sigma +it)=0,\ 0<t<T,0<\sigma <1\right\},

{\ displaystyle N (T): = \ # \ left \ {\ sigma + it \ mid \ \ zeta (\ sigma + it) = 0, \ 0 <t <T, 0 <\ sigma <1 \ right \} ,}

N (T): = \ # \ left \ {\ sigma + it \ mid \ \ zeta (\ sigma + it) = 0, \ 0 <t <T, 0 <\ sigma <1 \ right \},

unde este $\#$ ${\ displaystyle \ #}$ $\ #$ denotă cardinalitatea întregului, avem

N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}+{\frac {7}{8}}+S(T)+O\left({\frac {1}{T}}\right),

{\ displaystyle N (T) = {\ frac {T} {2 \ pi}} \ log {\ frac {T} {2 \ pi e}} + {\ frac {7} {8}} + S (T ) + O \ left ({\ frac {1} {T}} \ right),}

N (T) = {\ frac {T} {2 \ pi}} \ log {\ frac T {2 \ pi e}} + {\ frac 78} + S (T) + O \ left ({\ frac 1T } \ dreapta),

unde este $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ denotă simbolul Landau e

S(T):={\frac {1}{\pi }}\arg \left(\zeta \left({\frac {1}{2}}+iT\right)\right)=O(\log T)

{\ displaystyle S (T): = {\ frac {1} {\ pi}} \ arg \ left (\ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + iT \ right) \ right) = O (\ log T)}

S (T): = {\ frac 1 \ pi} \ arg \ left (\ zeta \ left ({\ frac 12} + iT \ right) \ right) = O (\ log T)

Și $\arg$ ${\ displaystyle \ arg}$ $\ arg$ indică subiectul . Această formulă, enunțată de Riemann, a fost dovedită de von Mangoldt în 1905 și este cunoscută sub numele de formula Riemann-von Mangoldt .

Este clar că ipoteza Riemann este adevărată dacă și numai dacă $N(T)$ ${\ displaystyle N (T)}$ $N (T)$ coincide cu

N_{0}(T):=\#\left\{{\frac {1}{2}}+it\mid \ \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=0,\ 0<t<T\right\}.

{\ displaystyle N_ {0} (T): = \ # \ left \ {{\ frac {1} {2}} + it \ mid \ \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right) = 0, \ 0 <t <T \ right \}.}

N_ {0} (T): = \ # \ left \ {{\ frac 12} + it \ mid \ \ zeta \ left ({\ frac 12} + it \ right) = 0, \ 0 <t <T \ dreapta \}.

Au fost obținute unele rezultate parțiale în această direcție, dintre care cele mai importante se datorează lui Hardy și Littlewood , care au dovedit acest lucru

N_{0}(T)\gg T,

{\ displaystyle N_ {0} (T) \ gg T,}

N_ {0} (T) \ gg T,

lui Selberg care a dovedit asta

N_{0}(T)\geq \kappa N(T)

{\ displaystyle N_ {0} (T) \ geq \ kappa N (T)}

N_ {0} (T) \ geq \ kappa N (T)

pentru o constantă κ > 0, și pentru Levinson și Conrey care au îmbunătățit această constantă, aducând-o la 1/3 și puțin mai mult de 2/5. ^[9] ^[10]

O altă conjectură importantă a funcției zeta Riemann ( conjectura cunoscută a simplelor sau, în engleză zerouri, Simple Zero Conjecture) afirmă că toate zerourile funcției sunt simple . Rezultatele obținute în ceea ce privește procentul de zerouri simple sunt foarte similare cu cele pentru procentul de zerouri pe linia critică și, de asemenea, în acest caz s-a dovedit că

N_{0}^{*}(T):=\#\left\{{\frac {1}{2}}+it\mid \ \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=0,\zeta '\left({\frac {1}{2}}+it\right)\neq 0,\ 0<t<T\right\}\geq \kappa ^{*}N_{0}(T).

{\ displaystyle N_ {0} ^ {*} (T): = \ # \ left \ {{\ frac {1} {2}} + it \ mid \ \ zeta \ left ({\ frac {1} {2 }} + it \ right) = 0, \ zeta '\ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right) \ neq 0, \ 0 <t <T \ right \} \ geq \ kappa ^ {*} N_ {0} (T).}

N_ {0} ^ {*} (T): = \ # \ left \ {{\ frac 12} + it \ mid \ \ zeta \ left ({\ frac 12} + it \ right) = 0, \ zeta ' \ left ({\ frac 12} + it \ right) \ neq 0, \ 0 <t <T \ right \} \ geq \ kappa ^ {*} N_ {0} (T).

pentru o constantă κ *> 2/5. ^[9] ^[11]

Corelația dintre zerouri

Din formula asimptotică pentru N ( T ) este ușor de arătat că, presupunând ipoteza Riemann, distanța medie între două zerouri consecutive de ζ ( s ) la înălțimea T este de 2Π / log T. Cu toate acestea, pot exista intervale neobișnuit de lungi și neobișnuit de scurte fără zerouri și, de fapt, presupunând ipoteza Riemann și indicând cu ${\frac {1}{2}}+\gamma _{n}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + \ gamma _ {n}}$ ${\ frac 12} + \ gamma _ {{n}}$ al n - lea zero non-trivial (al părții imaginare pozitive) a funcției zeta Riemann, avem două constante λ ₁ <1 și λ ₂ > 1 astfel încât

\liminf {\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi /\log \gamma _{n}}}<\lambda _{1}

{\ displaystyle \ liminf {\ frac {\ gamma _ {n + 1} - \ gamma _ {n}} {2 \ pi / \ log \ gamma _ {n}}} <\ lambda _ {1}}

\ liminf {\ frac {\ gamma _ {{n + 1}} - \ gamma _ {n}} {2 \ pi / \ log \ gamma _ {n}}} <\ lambda _ {1}

Și

\limsup {\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi /\log \gamma _{n}}}>\lambda _{2}.

{\ displaystyle \ limsup {\ frac {\ gamma _ {n + 1} - \ gamma _ {n}} {2 \ pi / \ log \ gamma _ {n}}}> \ lambda _ {2}.}

\ limsup {\ frac {\ gamma _ {{n + 1}} - \ gamma _ {n}} {2 \ pi / \ log \ gamma _ {n}}}> \ lambda _ {2}.

^[12] ^[13]

O presupunere importantă pe zerourile funcției zeta Riemann este conjectura de corelarea perechilor de Hugh Montgomery (în limba engleză, perechea de corelare presupuneri ). Această presupunere afirmă că, pentru fiecare β> α> 0, avem

\left\{\gamma ,\gamma '\in [0,T]\mid \zeta \left({\frac {1}{2}}+\gamma \right)=0,\zeta \left({\frac {1}{2}}+\gamma '\right)=0,\ {\frac {2\pi \alpha }{\log T}}\leq \gamma -\gamma '\leq {\frac {2\pi \beta }{\log T}}\right\}\sim N(T)\int _{\alpha }^{\beta }\left(1-\left({\frac {\sin \pi u}{u}}\right)^{2}\right)\,du,

{\ displaystyle \ left \ {\ gamma, \ gamma '\ în [0, T] \ mid \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + \ gamma \ right) = 0, \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + \ gamma '\ right) = 0, \ {\ frac {2 \ pi \ alpha} {\ log T}} \ leq \ gamma - \ gamma' \ leq {\ frac {2 \ pi \ beta} {\ log T}} \ right \} \ sim N (T) \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ left (1- \ left ({\ frac {\ sin \ pi u} {u}} \ right) ^ {2} \ right) \, du,}

\ left \ {\ gamma, \ gamma '\ în [0, T] \ mid \ zeta \ left ({\ frac 12} + \ gamma \ right) = 0, \ zeta \ left ({\ frac 12} + \ gamma '\ right) = 0, \ {\ frac {2 \ pi \ alpha} {\ log T}} \ leq \ gamma - \ gamma' \ leq {\ frac {2 \ pi \ beta} {\ log T} } \ right \} \ sim N (T) \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ left (1- \ left ({\ frac {\ sin \ pi u} {u}} \ right) ^ { 2} \ dreapta) \, du,

pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ care tinde spre infinit. ^[14]

Seria Laurent

Funcția Riemann zeta are un pol simplu în $s=1,$ ${\ displaystyle s = 1,}$ ${\ displaystyle s = 1,}$ seria lui Laurent în acel moment este

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(s-1)^{n}},

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} { n!}} \ gamma _ {n} (s-1) ^ {n}},}

\ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ gamma _ {n} (s-1) ^ {n}},

unde constantele sunt numite constante Stieltjes și sunt definite ca:

\gamma _{k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}\lim _{N\rightarrow \infty }\left(\sum _{m\leq N}{\frac {\ln ^{k}m}{m}}-{\frac {\ln ^{k+1}N}{k+1}}\right).

{\ displaystyle \ gamma _ {k} = {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {m \ leq N} {\ frac {\ ln ^ {k} m} {m}} - {\ frac {\ ln ^ {k + 1} N} {k + 1}} \ right).}

{\ displaystyle \ gamma _ {k} = {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {m \ leq N} {\ frac {\ ln ^ {k} m} {m}} - {\ frac {\ ln ^ {k + 1} N} {k + 1}} \ right).}

Constanta $\gamma _{0}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$ este deci constanta Euler-Mascheroni .

Produsul lui Hadamard

Pe bazateoremei factorizării Weierstrass , Jacques Hadamard a demonstrat că:

\zeta (s)={\frac {e^{s\left(\ln(2\pi )-1+{\frac {\gamma }{2}}\right)}}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\cdot \prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{s/\rho },

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {e ^ {s \ left (\ ln (2 \ pi) -1 + {\ frac {\ gamma} {2}} \ right)}} {2 (s -1) \ Gamma (1 + s / 2)}} \ cdot \ prod _ {\ rho} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) și ^ {s / \ rho} ,}

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {e ^ {s \ left (\ ln (2 \ pi) -1 + {\ frac {\ gamma} {2}} \ right)}} {2 (s -1) \ Gamma (1 + s / 2)}} \ cdot \ prod _ {\ rho} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) și ^ {s / \ rho} ,}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni e $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ sunt zerourile non-banale ale funcției zeta.

Relația cu funcția digamă

Funcția zeta apare în seria de expansiune a lui Taylor a funcției digamma :

\psi _{0}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}.

{\ displaystyle \ psi _ {0} (z + 1) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} \ zeta (k + 1) z ^ {k} .}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (z + 1) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} \ zeta (k + 1) z ^ {k} .}

Relația cu transformata Mellin

Același subiect în detaliu: transformarea lui Mellin .

Transformarea Mellin a unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este definit ca:

\{{\mathcal {M}}f\}(s)=\int _{0}^{+\infty }f(x)x^{s-1}dx.

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {M}} f \} (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (x) x ^ {s-1} dx.}

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {M}} f \} (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (x) x ^ {s-1} dx.}

Este legat de funcția zeta. Intr-adevar:

\Gamma (s)\zeta (s)=\left\{{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{e^{x}-1}}\right)\right\}(s).

{\ displaystyle \ Gamma (s) \ zeta (s) = \ left \ {{\ mathcal {M}} \ left ({\ frac {1} {e ^ {x} -1}} \ right) \ right \ } (s).}

\ Gamma (s) \ zeta (s) = \ left \ {{\ mathcal {M}} \ left ({\ frac {1} {e ^ {{x}} - 1}} \ right \} (s).

unde este $\Gamma (s)$ ${\ displaystyle \ Gamma (s)}$ $\ Gamma (s)$ este funcția Gamma a lui Euler.

Acest lucru este echivalent cu a spune că:

\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx.

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {e ^ {x} -1}} dx.}

\ zeta (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {{0}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {x ^ {{s-1}}} {e ^ {x} -1}} dreapta.

Această reprezentare converge pentru $\mathrm {Re} (s)>1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)> 1}$ ${\ mathrm {Re}} (s)> 1$ și, prin urmare, nu poate fi utilizat pentru a extinde domeniul funcției.

Dacă π ( x ) este numărul de numere prime dintre și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ atunci putem scrie că:

\ln \zeta (s)=s\int _{0}^{+\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,dx.

{\ displaystyle \ ln \ zeta (s) = s \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x (x ^ {s} -1)}} \, dx .}

\ ln \ zeta (s) = s \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ pi (x)} {x (x ^ {s} -1)}} \, dx.

Și luând în considerare funcția $J(x)$ ${\ displaystyle J (x)}$ $J (x)$ ca $J(x)=\sum {\frac {\pi (x^{1/n})}{n}}$ ${\ displaystyle J (x) = \ sum {\ frac {\ pi (x ^ {1 / n})} {n}}}$ $J (x) = \ sum {\ frac {\ pi (x ^ {{1 / n}})} {n}}$ avem asta:

{\frac {\ln \zeta (s)}{s}}=\left\{{\mathcal {M}}J\right\}(-s).

{\ displaystyle {\ frac {\ ln \ zeta (s)} {s}} = \ left \ {{\ mathcal {M}} J \ right \} (- s).}

{\ frac {\ ln \ zeta (s)} {s}} = \ left \ {{\ mathcal {M}} J \ right \} (- s).

Valorile funcției zeta

Același subiect în detaliu: constantele Zeta .

Imaginea arată valorile pentru partea reală și imaginară a

\zeta (1/2+iy)

{\ displaystyle \ zeta (1/2 + iy)}

\ zeta (1/2 + iy)

cu y variind între 0 și 50.

Calculul valorilor exacte ale funcției zeta a fost o sarcină destul de dificilă: Euler a reușit în 1735 să aibă o formulă exactă pentru funcția zeta a $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Metoda sa ar putea fi aplicată tuturor $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ chiar :

\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1,645

{\ displaystyle \ zeta (2) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ aproximativ 1.645}

\ zeta (2) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2 }} {6}} \ aproximativ 1.645

; la dimostrazione di questo fatto è la soluzione del problema di Basilea .

\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1,0823

\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1,0823

\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1,0823

\zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1,0173

\zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1,0173

\zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1,0173

Più in generale è stato dimostrato che:

\zeta (2n)={\frac {2^{2n-1}\pi ^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}},

\zeta (2n)={\frac {2^{2n-1}\pi ^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}},

\zeta (2n)={\frac {2^{{2n-1}}\pi ^{{2n}}|B_{{2n}}|}{(2n)!}},

dove $B_{n}$ $B_{n}$ $B_{n}$ è l' $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -esimo numero di Bernoulli . Non sono note formule analoghe, per i valori della funzione zeta in corrispondenza di $s=3$ ${\displaystyle s=3}$ $s=3$ né per altri valori dispari (e maggiori di $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ ) di $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ . Sommando i primi termini della serie che definisce la funzione zeta si possono però ottenere valori approssimati:

\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1,202,

\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1,202,

\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1,202,

\zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \approx 1,0369,

\zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \approx 1,0369,

\zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \approx 1,0369,

\zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots \approx 1,0083.

\zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots \approx 1,0083.

\zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots \approx 1,0083.

La razionalità e la trascendenza di questi valori è da molti anni al centro dell'interesse di molti studiosi di teoria dei numeri trascendenti . Al 2014 , non è noto se essi siano trascendenti o meno, mentre l'irrazionalità è stata dimostrata solo per la costante di Apéry ζ(3) da Roger Apéry nel 1978 . Ci sono inoltre altri risultati parziali sull'irrazionalità di queste costanti; ad esempio, è stato dimostrato che almeno uno tra ζ(5), ζ(7), ζ(9), e ζ(11) è irrazionale. ^[15]

Altri valori

\zeta (3/2)\approx 2,612

\zeta (3/2)\approx 2,612

\zeta (3/2)\approx 2,612

\zeta (5/2)\approx 1,341

\zeta (5/2)\approx 1,341

\zeta (5/2)\approx 1,341

\zeta (7/2)\approx 1,127

\zeta (7/2)\approx 1,127

\zeta (7/2)\approx 1,127

\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}

\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}

\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}

\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}

\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}

\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}

Il lavoro di Riemann

Molto prima che Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrassero il teorema dei numeri primi , Bernhard Riemann pubblicò nel 1859 (come accennato) un articolo in cui trattava la funzione zeta. Oltre a estendere il dominio della funzione tramite prolungamenti analitici Riemann, partendo dal prodotto di Eulero , dimostrò una formula straordinaria che esprimeva appieno la correlazione tra numeri primi e funzione zeta

\pi (x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\mu (m){\frac {J(x^{1/m})}{m}}},

\pi (x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\mu (m){\frac {J(x^{1/m})}{m}}},

\pi (x)=\sum _{{m=1}}^{\infty }{\mu (m){\frac {J(x^{{1/m}})}{m}}},

dove

J(x)=\mathrm {li} (x)-\sum _{\rho }{\mathrm {li} (x^{\rho })}-\log 2+\int _{x}^{+\infty }{{\frac {1}{u^{2}-1}}\cdot {\frac {du}{u\ln u}}},

J(x)=\mathrm {li} (x)-\sum _{\rho }{\mathrm {li} (x^{\rho })}-\log 2+\int _{x}^{+\infty }{{\frac {1}{u^{2}-1}}\cdot {\frac {du}{u\ln u}}},

J(x)=\mathrm {li} (x)-\sum _{\rho }{\mathrm {li} (x^{\rho })}-\log 2+\int _{x}^{+\infty }{{\frac {1}{u^{2}-1}}\cdot {\frac {du}{u\ln u}}},

con $\mathrm {li} (x)$ $\mathrm {li} (x)$ $\mathrm {li} (x)$ che è il logaritmo integrale e la serie sulla destra è sommata su tutti gli zeri non banali $\rho$ $\rho$ $\rho$ della funzione zeta di Riemann. La formula dà sempre un valore numerico reale anche se i $\rho$ $\rho$ $\rho$ sono numeri complessi . Questo è dovuto al fatto che le parti immaginarie degli zeri sono simmetriche rispetto all'origine. In altre parole se $\zeta (a+bi)=0$ $\zeta (a+bi)=0$ $\zeta (a+bi)=0$ anche $\zeta (a-bi)=0$ $\zeta (a-bi)=0$ $\zeta (a-bi)=0$ e questa proprietà si estende anche a $\mathrm {li} (x^{\rho })$ $\mathrm {li} (x^{\rho })$ $\mathrm {li} (x^{\rho })$ . Sommando dunque queste quantità la parte immaginaria si annulla.

Note

^ ^a ^b Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis - official problem description ( PDF ), su claymath.org , Clay Mathematics Institute . URL consultato il 25 ottobre 2008 (archiviato dall' url originale il 30 ottobre 2008) .
^ Edwards , Appendice .
^ Un'equazione funzionale equivalente a quella ottenuta da Riemann era stata congetturata oltre un secolo prima da Eulero per la funzione eta di Dirichlet .
^ Titchmarsh , Capitolo 3 .
^ Si noti che negli interi positivi la funzione Γ(1- s ) ha poli semplici; in s = 1 questo polo corrisponde al polo della zeta nell'altro lato dell'equazione, mentre per gli interi maggiori di 1 i poli sono cancellati dagli zeri del seno e dagli zeri banali di ζ(1- s ) a seconda che l'intero sia, rispettivamente, pari o dispari.
^ Si noti che anche la funzione ottenuta rimuovendo ${\frac {1}{2}}s(s-1)$ ${\frac {1}{2}}s(s-1)$ ${\frac {1}{2}}s(s-1)$ dalla definizione di ξ(s) soddisfa l'equazione funzionale nella forma simmetrica. La funzione ottenuta tuttavia non è intera avendo due poli semplici in s = 1 e s = 0.
^ Ciò è conseguenza del fatto che ${\overline {\zeta (s)}}=\zeta ({\overline {s}})$ ${\overline {\zeta (s)}}=\zeta ({\overline {s}})$ $\overline {\zeta (s)}=\zeta (\overline {s})$ , ove ${\overline {a}}$ ${\overline {a}}$ $\overline {a}$ indica il complesso coniugato di a .
^ ( EN ) Kevin Ford, Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function , in Proceedings of the London Mathematical Society . Third Series , vol. 85, n. 3, 2002, pp. 565–633, DOI : 10.1112/S0024611502013655 .
^ ^a ^b ( EN ) Brian Conrey , More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line , in Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 399, 1989, pp. 1-26.
^ Il valore di κ è stato successivamente leggermente migliorato, si vedano Zeros of the Riemann zeta function on the critical line di Shaoji Feng e More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line di Brian Conrey, Hung Bui e Matthew Young .
^ Si vedano Zeros of the Riemann zeta function on the critical line di Shaoji Feng e More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line di Brian Conrey, Hung Bui e Matthew Young .
^ Titchmarsh , pp. 385-3866 .
^ I migliori valori noti per λ ₁ e λ ₂ (assumendo l'ipotesi di Riemann), sono λ ₁ = 0,5155 e λ ₂ = 2,6950. Si veda ( EN ) HM Bui, MB Milinovich; NC Ng, A note on the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function , in Proc. Amer. Math. Soc. , vol. 138, n. 12, 2010.
^ Titchmarsh , sezione 14.34 .
^ W. Zudilin, One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, in Russ. Math. Surv. , vol. 56, n. 4, 2001, pp. 774–776.

Bibliografia

( EN ) Milton Abramowitz , Irene Stegun , 23 , in Handbook of Mathematical Functions , New York, Dover, 1964.
( EN ) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9 .
( EN ) HM Edwards , Riemann's Zeta Function , Academic Press, 1974, ISBN 0-486-41740-9 .
( EN ) Albert Edward Ingham , The Distribution of Prime Numbers , New York, Cambridge Mathematical Library, 1932, ISBN 0-521-39789-8 .
( EN ) Edward Charles Titchmarsh , riveduto e corretto da Roger Heath-Brown , The theory of the Riemann zeta-function , 2ª ed., New York, Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853369-1 . ( Edizione originale )

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione zeta di Riemann

Collegamenti esterni

( EN ) Funzione zeta di Riemann , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 28839 · LCCN ( EN ) sh85052354 · GND ( DE ) 4308419-9 · BNF ( FR ) cb12287377j (data) · BNE ( ES ) XX533372 (data) · NDL ( EN , JA ) 00574618

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[Bombieri-1] Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis - official problem description ( PDF ), su claymath.org , Clay Mathematics Institute . URL consultato il 25 ottobre 2008 (archiviato dall' url originale il 30 ottobre 2008) .

[2] Edwards , Appendice .

[3] Un'equazione funzionale equivalente a quella ottenuta da Riemann era stata congetturata oltre un secolo prima da Eulero per la funzione eta di Dirichlet .

[4] Titchmarsh , Capitolo 3 .

[5] Si noti che negli interi positivi la funzione Γ(1- s ) ha poli semplici; in s = 1 questo polo corrisponde al polo della zeta nell'altro lato dell'equazione, mentre per gli interi maggiori di 1 i poli sono cancellati dagli zeri del seno e dagli zeri banali di ζ(1- s ) a seconda che l'intero sia, rispettivamente, pari o dispari.

[6] Si noti che anche la funzione ottenuta rimuovendo ${\frac {1}{2}}s(s-1)$ ${\frac {1}{2}}s(s-1)$ ${\frac {1}{2}}s(s-1)$ dalla definizione di ξ(s) soddisfa l'equazione funzionale nella forma simmetrica. La funzione ottenuta tuttavia non è intera avendo due poli semplici in s = 1 e s = 0.

[7] Ciò è conseguenza del fatto che ${\overline {\zeta (s)}}=\zeta ({\overline {s}})$ ${\overline {\zeta (s)}}=\zeta ({\overline {s}})$ $\overline {\zeta (s)}=\zeta (\overline {s})$ , ove ${\overline {a}}$ ${\overline {a}}$ $\overline {a}$ indica il complesso coniugato di a .

[8] ( EN ) Kevin Ford, Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function , in Proceedings of the London Mathematical Society . Third Series , vol. 85, n. 3, 2002, pp. 565–633, DOI : 10.1112/S0024611502013655 .

[percentage-9] ( EN ) Brian Conrey , More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line , in Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 399, 1989, pp. 1-26.

[10] Il valore di κ è stato successivamente leggermente migliorato, si vedano Zeros of the Riemann zeta function on the critical line di Shaoji Feng e More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line di Brian Conrey, Hung Bui e Matthew Young .

[11] Si vedano Zeros of the Riemann zeta function on the critical line di Shaoji Feng e More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line di Brian Conrey, Hung Bui e Matthew Young .

[12] Titchmarsh , pp. 385-3866 .

[13] I migliori valori noti per λ ₁ e λ ₂ (assumendo l'ipotesi di Riemann), sono λ ₁ = 0,5155 e λ ₂ = 2,6950. Si veda ( EN ) HM Bui, MB Milinovich; NC Ng, A note on the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function , in Proc. Amer. Math. Soc. , vol. 138, n. 12, 2010.

[14] Titchmarsh , sezione 14.34 .

[15] W. Zudilin, One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, in Russ. Math. Surv. , vol. 56, n. 4, 2001, pp. 774–776.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]