Constantele Zeta

În matematică, funcția zeta Riemann este o funcție care are o mare importanță pentru teoria numerelor , datorită relației sale cu distribuția numerelor prime . De asemenea, găsește aplicații în alte discipline, de exemplu în fizică . Acest articol oferă o serie de reprezentări în serie ale valorilor funcției zeta pentru argumentele întregi.

Majoritatea acestor identități au fost furnizate de Simon Plouffe . Sunt foarte utile, deoarece oferă convergență rapidă, oferind garanția a aproape trei zecimale noi cu fiecare nouă iterație; prin urmare, fac ușor calculele de înaltă precizie.

ζ (3)

ζ (3) este cunoscută sub numele de constanta Apéry .

ζ (5)

Simon Plouffe oferă identitățile

\zeta (5)={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}

{\ displaystyle \ zeta (5) = {\ frac {1} {294}} \ pi ^ {5} - {\ frac {72} {35}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} -1)}} - {\ frac {2} {35}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} +1)}}}

{\ displaystyle \ zeta (5) = {\ frac {1} {294}} \ pi ^ {5} - {\ frac {72} {35}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} -1)}} - {\ frac {2} {35}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} +1)}}}

Și

\zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}

{\ displaystyle \ zeta (5) = 12 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {5} \ sinh (\ pi n)}} - {\ frac {39 } {20}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} -1)}} - {\ frac {1 } {20}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} +1)}}}

{\ displaystyle \ zeta (5) = 12 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {5} \ sinh (\ pi n)}} - {\ frac {39 } {20}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} -1)}} - {\ frac {1 } {20}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 \ pi n} +1)}}}

ζ (7)

\zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}

{\ displaystyle \ zeta (7) = {\ frac {19} {56700}} \ pi ^ {7} -2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ { 7} (e ^ {2 \ pi n} -1)}}}

{\ displaystyle \ zeta (7) = {\ frac {19} {56700}} \ pi ^ {7} -2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ { 7} (e ^ {2 \ pi n} -1)}}}

Rețineți că reprezentarea ia forma unei serii Lambert .

ζ (2n + 1)

Dacă definiți cantitățile

S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}

{\ displaystyle S _ {\ pm} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s} (e ^ {2 \ pi n} \ pm 1 )}}}

{\ displaystyle S _ {\ pm} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s} (e ^ {2 \ pi n} \ pm 1 )}}}

,

obținem o serie de relații ale formei

0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)

{\ displaystyle 0 = A_ {n} \ zeta (n) -B_ {n} \ pi ^ {n} + C_ {n} S _ {-} (n) + D_ {n} S _ {+} (n )}}

{\ displaystyle 0 = A_ {n} \ zeta (n) -B_ {n} \ pi ^ {n} + C_ {n} S _ {-} (n) + D_ {n} S _ {+} (n )}}

unde este $A_{n},B_{n},C_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}$ Și $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ se presupune a fi numere întregi pozitive. Plouffe oferă un tabel de valori:

Coeficienți
n	LA	B.	C.	D.
3	180	7	360	0
5	1470	5	3024	84
7	56700	19	113400	0
9	18523890	625	37122624	74844
11	425675250	1453	851350500	0
13	257432175	89	514926720	62370
15	390769879500	13687	781539759000	0
17	1904417007743250	6758333	3808863131673600	29116187100
19	21438612514068750	7708537	42877225028137500	0
21	1881063815762259253125	68529640373	3762129424572110592000	1793047592085750

Dacă există o relație de recurență, nu pare deloc evidentă.

Există diferite rezultate care arată că nu toate numerele dintr-o familie de ζ (2n + 1) pot fi raționale. În ceea ce privește ζ (5), cel mai bun rezultat, după cum se dovedește, afirmă că cel puțin unul dintre numerele ζ (5), ζ (7), ζ (9) și ζ (11) este irațional.

ζ (2n)

Pe de altă parte, pentru valorile corespunzătoare argumentelor pare, ele pot fi exprimate prin intermediul numerelor Bernoulli :

\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}

{\ displaystyle \ zeta (2n) = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {B_ {2n} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}

{\ displaystyle \ zeta (2n) = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {B_ {2n} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}

Numeratorii și numitorii sunt dați de succesiunea numerelor întregi înregistrate în OEIS cu abrevierile A046988 și A002432 . Unele dintre aceste valori sunt reproduse mai jos.

Coeficienți
2n	LA	B.
2	6	1
4	90	1
6	945	1
8	9450	1
10	93555	1
12	638512875	691
14	18243225	2
16	325641566250	3617
18	38979295480125	43867
20	1531329465290625	174611
22	13447856940643125	155366
24	201919571963756521875	236364091
26	11094481976030578125	1315862
28	564653660170076273671875	6785560294
30	5660878804669082674070015625	6892673020804
32	62490220571022341207266406250	7709321041217
34	12130454581433748587292890625	151628697551

Dacă notăm cu $\eta _{n}$ ${\ displaystyle \ eta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ age _ {n}}$ coeficientul $B/A$ ${\ displaystyle B / A}$ ${\ displaystyle B / A}$ de mai sus,