Numere Bernoulli

Jakob Bernoulli. Summae Potestatum în Ars Conjectandi, 1713

În matematică , numerele lui Bernoulli $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ ^[1] constituie o succesiune de numere raționale care joacă un rol important în diverse probleme. Alături de acestea, este convenabil să se ia în considerare polinoamele Bernoulli care pot fi considerate generalizarea lor.

Geneza istorică

Aceste numere au fost identificate aproape simultan dar independent de Kōwa Seki în 1712 și de Jakob Bernoulli în 1713 ^[2] . Bernoulli le tratează în lucrarea sa Arsem Conjectandi , în raport cu formele închise pentru sumele de puteri ale numerelor întregi succesive.

\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + \ cdots + n ^ {m}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} k ^ {m} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + \ cdots + n ^ {m}

pentru numere întregi pozitive fixe de $m .$ ${\ displaystyle m.}$ ${\ displaystyle m.}$

Aceste forme închise fuseseră deja identificate în 1631 de Johann Faulhaber ^{[3] la} care se referă Bernoulli. După moartea sa, în 1721, Abraham de Moivre și Euler au dat numerele $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ numele cu care sunt încă cunoscuți ^[2] .

Sumele anterioare pot fi exprimate pentru fiecare $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ca polinoame în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de grad $m+1.$ ${\ displaystyle m + 1.}$ ${\ displaystyle m + 1.}$ Formula dezvăluită și probabil descoperită ^[4], dar nedovedită de Jakob Bernoulli , scrisă în notație modernă folosind notația factorială descrescătoare , este:

 $\sum _{k=1}^{n}k^{m}={\frac {1}{m+1}}n^{m+1}+{\frac {1}{2}}n^{m}+\sum _{k=2}^{n}{\frac {m^{\underline {k-1}}}{k!}}B_{k}n^{m-k+1}.$  $\sum$   $k$   $=$   $1$   $n$   $k$   $m$   $=$   $1$   $m$   $+$   $1$   $n$   $m$   $+$   $1$   $+$   $1$   $2$   $n$   $m$   $+$   $\sum$   $k$   $=$   $2$   $n$   $m$   $k$   $-$   $1$   $_$   $k$   $!$   $B.$   $k$   $n$   $m$   $-$   $k$   $+$   $1$   $.$   ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} n ^ {m + 1} + {\ frac {1} {2} } n ^ {m} + \ sum _ {k = 2} ^ {n} {\ frac {m ^ {\ underline {k-1}}} {k!}} B_ {k} n ^ {mk +1 }.}$   ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = {\ frac {1} {m + 1}} n ^ {m + 1} + {\ frac {1} {2} } n ^ {m} + \ sum _ {k = 2} ^ {n} {\ frac {m ^ {\ underline {k-1}}} {k!}} B_ {k} n ^ {mk +1 }.}$

Cu toate acestea, Bernoulli nu a luat în considerare ceea ce astăzi pentru noi sunt primele două numere ale secvenței numerice care îi poartă numele, așa că astăzi preferăm să exprimăm aceeași formulă în felul următor

\sum _{k=1}^{n}k^{m}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose {k}}B_{k}n^{m-k+1},

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = {1 \ over {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m + 1 \ choose { k}} B_ {k} n ^ {mk + 1},}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = {1 \ over {m + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m + 1 \ choose { k}} B_ {k} n ^ {mk + 1},}

unde s-a folosit varianta $B_{1}=1/2$ ${\ displaystyle B_ {1} = 1/2}$ ${\ displaystyle B_ {1} = 1/2}$ a numerelor Bernoulli.

Exemple

(B_{0}=1,~B_{1}=1/2,~B_{2}=1/6,~B_{3}=0,~B_{4}=-1/30).

{\ displaystyle (B_ {0} = 1, ~ B_ {1} = 1/2, ~ B_ {2} = 1/6, ~ B_ {3} = 0, ~ B_ {4} = - 1/30) .}

{\ displaystyle (B_ {0} = 1, ~ B_ {1} = 1/2, ~ B_ {2} = 1/6, ~ B_ {3} = 0, ~ B_ {4} = - 1/30) .}

In caz $m=1$ ${\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$ avem

1+2+\ldots +n\,=\,{1 \over {2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}n^{1})\,=\,{n(n+1) \over {2}}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n.

{\ displaystyle 1 + 2 + \ ldots + n \, = \, {1 \ over {2}} (B_ {0} n ^ {2} + 2B_ {1} n ^ {1}) \, = \, {n (n + 1) \ over {2}} = {\ frac {1} {2}} n ^ {2} + {\ frac {1} {2}} n.}

{\ displaystyle 1 + 2 + \ ldots + n \, = \, {1 \ over {2}} (B_ {0} n ^ {2} + 2B_ {1} n ^ {1}) \, = \, {n (n + 1) \ over {2}} = {\ frac {1} {2}} n ^ {2} + {\ frac {1} {2}} n.}

In caz $m=4$ ${\ displaystyle m = 4}$ ${\ displaystyle m = 4}$ avem

1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={1 \over 5}\sum _{j=0}^{4}{5 \choose j}B_{j}n^{5-j}=

{\ displaystyle 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + n ^ {4} = {1 \ peste 5} \ sum _ {j = 0} ^ {4} {5 \ alege j} B_ {j} n ^ {5-j} =}

{\ displaystyle 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + n ^ {4} = {1 \ peste 5} \ sum _ {j = 0} ^ {4} {5 \ alege j} B_ {j} n ^ {5-j} =}

={1 \over 5}\left(B_{0}n^{5}+5B_{1}n^{4}+10B_{2}n^{3}+10B_{3}n^{2}+5B_{4}n\right)=

{\ displaystyle = {1 \ peste 5} \ left (B_ {0} n ^ {5} + 5B_ {1} n ^ {4} + 10B_ {2} n ^ {3} + 10B_ {3} n ^ { 2} + 5B_ {4} n \ dreapta) =}

{\ displaystyle = {1 \ peste 5} \ left (B_ {0} n ^ {5} + 5B_ {1} n ^ {4} + 10B_ {2} n ^ {3} + 10B_ {3} n ^ { 2} + 5B_ {4} n \ dreapta) =}

={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n.

{\ displaystyle = {\ frac {1} {5}} n ^ {5} + {\ frac {1} {2}} n ^ {4} + {\ frac {1} {3}} n ^ {3 } - {\ frac {1} {30}} n.}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {5}} n ^ {5} + {\ frac {1} {2}} n ^ {4} + {\ frac {1} {3}} n ^ {3 } - {\ frac {1} {30}} n.}

Definiție recursivă

Numerele Bernoulli, în variantă $B_{1}=-1/2$ ${\ displaystyle B_ {1} = - 1/2}$ ${\ displaystyle B_ {1} = - 1/2}$ , poate fi calculat folosind următoarea formulă de recurență :

\sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=0,\quad {\text{ con la condizione iniziale }}B_{0}=1,

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {m} {m + 1 \ alege {j}} B_ {j} = 0, \ quad {\ text {cu condiția inițială}} B_ {0} = 1 ,}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {m} {m + 1 \ alege {j}} B_ {j} = 0, \ quad {\ text {cu condiția inițială}} B_ {0} = 1 ,}

care este echivalent cu:

\sum _{j=0}^{m-1}{m+1 \choose {j}}B_{j}+(m+1)B_{m}=0,

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {m-1} {m + 1 \ alege {j}} B_ {j} + (m + 1) B_ {m} = 0,}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {m-1} {m + 1 \ alege {j}} B_ {j} + (m + 1) B_ {m} = 0,}

de aici și forma explicită:

B_{m}=-{1 \over {m+1}}\sum _{j=0}^{m-1}{m+1 \choose {j}}B_{j}.

{\ displaystyle B_ {m} = - {1 \ peste {m + 1}} \ sum _ {j = 0} ^ {m-1} {m + 1 \ alege {j}} B_ {j}.}

{\ displaystyle B_ {m} = - {1 \ peste {m + 1}} \ sum _ {j = 0} ^ {m-1} {m + 1 \ alege {j}} B_ {j}.}

Algoritmul Ada Lovelace

În nota G a notelor Ada Lovelace despre motorul analitic din 1842 ^{[5] a} fost descris pentru prima dată un algoritm pentru construirea numerelor Bernoulli cu o mașină capabilă să efectueze calcule automate. Algoritmul Ada Lovelace pentru numerele Bernoulli se bazează pe formula recursivă pe care am văzut-o chiar dacă pentru a o recunoaște trebuie să ținem cont că nici în timpul său, ca și în cele ale lui Bernoulli, primele două numere ale secvenței nu au fost luate în considerare. ^[6] .

Tabelul numeric Bernoulli

Se poate arăta că $B_{n}=0$ ${\ displaystyle B_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle B_ {n} = 0}$ pentru toți $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ impar mai mare de 1.

Primele valori, altele decât 0, sunt următoarele:

n	0	1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
B _n	1	± 1/2 ^[7]	1/6	-1/30	1/42	-1/30	5/66	-691/2730	7/6	-3617/510	43867/798	-174611/330

Numerele Bernoulli apar și în expansiunile seriei Taylor ale tangentei și tangentei hiperbolice , în formula Euler-Maclaurin și în expresiile anumitor valori ale funcției zeta Riemann .

Generarea de funcții

Numerele Bernoulli pot fi de asemenea definite folosind funcții de generare exponențiale dezvoltate în seria Maclaurin pentru varianta secvenței Bernoulli cu $B_{1}=-1/2$ ${\ displaystyle B_ {1} = - 1/2}$ ${\ displaystyle B_ {1} = - 1/2}$ avem:

{\frac {x}{e^{x}-1}}=:\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}},

{\ displaystyle {\ frac {x} {e ^ {x} -1}} =: \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} {\ frac {x ^ {n}} {n !}},}

{\ displaystyle {\ frac {x} {e ^ {x} -1}} =: \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} {\ frac {x ^ {n}} {n !}},}

în timp ce adăugați $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la cei doi membri ai ^[8] anterioare, găsim funcția generatoare a variantei cu $B_{1}=1/2$ ${\ displaystyle B_ {1} = 1/2}$ ${\ displaystyle B_ {1} = 1/2}$

{\frac {-x}{e^{-x}-1}}=:\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.

{\ displaystyle {\ frac {-x} {e ^ {- x} -1}} =: \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}.}

{\ displaystyle {\ frac {-x} {e ^ {- x} -1}} =: \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}.}

Acestea pot fi considerate egalități între seriile formale de putere; în acest caz pentru convergența seriei cerem că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ are o valoare absolută mai mică de $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ( raza de convergență a seriei în sine).

Numere Bernoulli obținute din triunghiul Tartaglia

B_{n}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}},

{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {| A_ {n} |} {(n + 1)!}},}

{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {| A_ {n} |} {(n + 1)!}},}

unde este $|A_{n}|$ ${\ displaystyle | A_ {n} |}$ ${\ displaystyle | A_ {n} |}$ este determinantul unei matrici de ordine Hessenberg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coincizând parțial cu triunghiul Tartaglia ale cărui elemente sunt definite de

a_{i,k}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{se }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle a_ {i, k} = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ mbox {se}} k> 1 + i \\ {i + 1 \ choose k-1} & {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle a_ {i, k} = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ mbox {se}} k> 1 + i \\ {i + 1 \ choose k-1} & {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

Pentru demonstrație, consultați bibliografia ^[9] . Exemplu:

B_{6}={\frac {\begin{vmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\\\end{vmatrix}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}.

{\ displaystyle B_ {6} = {\ frac {\ begin {vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 0 \\ 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 \\ 1}} {7 & 21 \\ 35 & 35 \\ 1}} { 7 & 21 \ 35 & 35 {120} {5040}} = {\ frac {1} {42}}.}

{\ displaystyle B_ {6} = {\ frac {\ begin {vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 0 \\ 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 \\ 1}} {7 & 21 \\ 35 & 35 \\ 1}} { 7 & 21 \ 35 & 35 {120} {5040}} = {\ frac {1} {42}}.}

Notă

^ Avertisment: notația $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ este, de asemenea, utilizat pentru a indica numerele Bell ; pentru a le deosebi de acestea din urmă, uneori se folosesc notații pentru numerele Bernoulli $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ .
^ ^a ^b florentini .
^ MAA .
^ Ars Conjectandi 1713 , în bibliografie p.97 .
^ Nota G , în bibliografie .
^ Maecla 2017 , capitolul „Identificarea formulei” .
^ Sunt luate în considerare ambele secvențe. Cel cu semnul negativ dă naștere „primelor numere Bernoulli” ( numărător / numitor ), cel cu semnul pozitiv caracterizează „al doilea număr Bernoulli” ( numărător / numitor ) numit și „numerele originale Bernoulli” . Deoarece pentru n> 1 valorile indicilor impari se anulează, multiplicarea $B_{n}*(-1)^{n}$ ${\ displaystyle B_ {n} * (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle B_ {n} * (- 1) ^ {n}}$ vă permite să comutați cu ușurință de la o secvență la alta
^ Maecla 2017 , capitolul: " Dovadă analitică" .
^ Maecla 2008 .

Bibliografie

( LA ) Jacob Bernoulli , Ars Conjectandi , Internet Archive, 1713.
( EN ) Frank J. Swetz și Victor J. Katz Johann, Faulhaber's Accademiae Algebrae , Mathematical Association of America.
( EN ) Luigi Menabrea, Ada Lovelace, „Schițează motorul analitic inventat de Charles Babbage” , Geneva, 1842.
G.Pietrocola, algoritmul Ada Byron ( PDF ), pe maecla.it , Maecla, 2017. Adus 1 iulie 2017 .
Mauro Fiorentini, Istorie , pe numerele lui Bernoulli , bitman.name . Adus la 26 iunie 2017 .
Giorgio Pietrocola, Corolarul 2B , despre Explorarea unei căi antice: teoreme privind suma puterilor numerelor întregi succesive , maecla.it , Maecla, 2008. Accesat la 4 aprilie 2017 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe numărul lui Bernoulli

linkuri externe

Numărul lui Bernoulli în MathWorld
Pagina numărului Bernoulli , pe bernoulli.org .
Primele 498 numere Bernoulli din Proiectul Gutenberg
Sucesión de Bernoulli și program în Java

Controlul autorității	Tezaur BNCF 37195 · LCCN (EN) sh85013375 · GND (DE) 4276648-5 · BNF (FR) cb12286125h (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Avertisment: notația $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ este, de asemenea, utilizat pentru a indica numerele Bell ; pentru a le deosebi de acestea din urmă, uneori se folosesc notații pentru numerele Bernoulli $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ .

[Mauro-2] rentini .

[3] MAA .

[4] Ars Conjectandi 1713 , în bibliografie p.97 .

[5] Nota G , în bibliografie .

[6] Maecla 2017 , capitolul „Identificarea formulei” .

[7] Sunt luate în considerare ambele secvențe. Cel cu semnul negativ dă naștere „primelor numere Bernoulli” ( numărător / numitor ), cel cu semnul pozitiv caracterizează „al doilea număr Bernoulli” ( numărător / numitor ) numit și „numerele originale Bernoulli” . Deoarece pentru n> 1 valorile indicilor impari se anulează, multiplicarea $B_{n}*(-1)^{n}$ ${\ displaystyle B_ {n} * (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle B_ {n} * (- 1) ^ {n}}$ vă permite să comutați cu ușurință de la o secvență la alta

[8] Maecla 2017 , capitolul: " Dovadă analitică" .

[9] Maecla 2008 .

[1]

[2]

[3] la

[4],

[5] a

[6]

[7]

[8]

[9]