Formula Euler-Maclaurin

În calcul, formula Euler-Maclaurin oferă o legătură foarte utilă între calculul integralelor (a se vedea calculul ) și calculul sumelor și seriilor. Poate fi folosit pentru a aproxima integralele prin sume finite și invers pentru a evalua sume finite și sume de serii pornind de la valorile integrale definite obținute analitic sau prin aproximări obținute folosind computerul. În special, multe evoluții asimptotice sunt deduse din această formulă, iar formula lui Falhauber pentru suma puterilor întregi este o consecință imediată a acesteia.

Formula a fost descoperită independent de Leonhard Euler și Colin Maclaurin în jurul anului 1735 . Euler a găsit-o în timp ce încerca să calculeze o serie infinită care converge lent, în timp ce Maclaurin a folosit-o pentru a calcula integrale specifice. Această formulă a fost generalizată în 1886 de Gaston Darboux (vezi formula lui Darboux ).

Formula

Dacă n este un număr întreg pozitiv și f ( x ) este o funcție lină (adică o funcție care poate fi diferențiată de un număr suficient de mare de ori) definită pentru toate numerele reale x între 0 și n , atunci integralul

I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx

{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, dx}

{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, dx}

poate fi aproximat prin suma

S=f(0)/2+f(1)+\cdots +f(n-1)+f(n)/2

{\ displaystyle S = f (0) / 2 + f (1) + \ cdots + f (n-1) + f (n) / 2}

{\ displaystyle S = f (0) / 2 + f (1) + \ cdots + f (n-1) + f (n) / 2}

(vezi regula trapezului ). Formula Euler - Maclaurin oferă expresii pentru diferența dintre sumă și integral în termeni de derivate de ordin înalt f ^(k) la punctele finale ale intervalului 0 și n . Pentru orice număr natural p , avem

S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R

{\ displaystyle SI = \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} \ left (f ^ {(2k-1)} (n) -f ^ {(2k-1)} (0) \ dreapta) + R}

{\ displaystyle SI = \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} \ left (f ^ {(2k-1)} (n) -f ^ {(2k-1)} (0) \ dreapta) + R}

unde B ₂ = 1/6, B ₄ = -1/30, B ₆ = 1/42, B ₈ = -1/30 ... sunt numerele Bernoulli .

R este un termen de eroare care este în mod normal mic dacă p este suficient de mare și poate fi estimat ca

\left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}dx\,\left|f^{(2p+1)}(x)\right|.

{\ displaystyle \ left | R \ right | \ leq {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2p}}} \ int _ {0} ^ {n} dx \, \ left | f ^ {( 2p + 1)} (x) \ dreapta |.}

{\ displaystyle \ left | R \ right | \ leq {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2p}}} \ int _ {0} ^ {n} dx \, \ left | f ^ {( 2p + 1)} (x) \ dreapta |.}

Folosind regula de substituție , această formulă poate fi, de asemenea, adaptată funcțiilor care sunt definite pe un anumit interval al liniei reale, altul decât $[0,n]$ ${\ displaystyle [0, n]}$ ${\ displaystyle [0, n]}$ .

Dacă f este un polinom și p este un număr întreg suficient de mare, atunci termenul rezidual este zero. De exemplu, dacă f ( x ) = x ³ , se poate alege p = 2 după simplificare

\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2}.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2}.}

Cu funcția f ( x ) = log ( x ), formula Euler-Maclaurin poate fi utilizată pentru a obține cu precizie eroarea estimată pentru aproximarea Stirling a funcției factoriale .

Bibliografie

M. Abramowitz și I. Stegun (eds.) Handbook of Mathematical Functions (SUA Guvernul Tipografiei, 1964) p. 806

linkuri externe

Numere Bernoulli, polinoame și aplicații ale formulei Euler-Maclaurin , pe numbers.computation.free.fr .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy