Integrală de volum

În matematică , în special în calculul cu variabile variabile , o integrală de volum este integrala de suprafață a funcției constante $f=1$ ${\ displaystyle f = 1}$ $f = 1$ , și dă volumul suprafeței luate în considerare.

Definiție

Se numește element de volum în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ forma k :

d\mathbf {V} =dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}

{\ displaystyle d \ mathbf {V} = dx_ {1} \ wedge dx_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {k}}

{\ displaystyle d \ mathbf {V} = dx_ {1} \ wedge dx_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {k}}

Este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o suprafață k orientată pozitiv în $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ Și $f=1$ ${\ displaystyle f = 1}$ ${\ displaystyle f = 1}$ funcția constantă definită pe imaginea de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Atunci:

\int _{S}f(\mathbf {x} )dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}fd\mathbf {V} _{k}

{\ displaystyle \ int _ {S} f (\ mathbf {x}) dx_ {1} \ wedge dx_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {k} = \ int _ {S} fd \ mathbf {V} _ {k}}

{\ displaystyle \ int _ {S} f (\ mathbf {x}) dx_ {1} \ wedge dx_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {k} = \ int _ {S} fd \ mathbf {V} _ {k}}

Este $D\in \mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle D \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ displaystyle D \ in \ mathbb {R} ^ {k}}$ domeniul de parametrizare al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $S:D\to \mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle S: D \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ displaystyle S: D \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$ injectiv și diferențiat cu o matrice iacobiană $J_{S}$ ${\ displaystyle J_ {S}}$ $J_ {S}$ pozitiv. Apoi volumul suprafeței este dat de: ^[1]

\int _{S}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}J_{S}(\mathbf {u} )d\mathbf {u} =\int _{S(D)}d\mathbf {x}

{\ displaystyle \ int _ {S} dx_ {1} \ wedge dx_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {k} = \ int _ {S} J_ {S} (\ mathbf {u}) d \ mathbf {u} = \ int _ {S (D)} d \ mathbf {x}}

{\ displaystyle \ int _ {S} dx_ {1} \ wedge dx_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {k} = \ int _ {S} J_ {S} (\ mathbf {u}) d \ mathbf {u} = \ int _ {S (D)} d \ mathbf {x}}

Volumul în trei dimensiuni

Integrala de volum este o integrală triplă a funcției constante 1, care returnează volumul regiunii $D\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}}$ , acesta este:

\operatorname {Vol} (D)=\iiint \limits _{D}dx\,dy\,dz

{\ displaystyle \ operatorname {Vol} (D) = \ iiint \ limits _ {D} dx \, dy \, dz}

{\ displaystyle \ operatorname {Vol} (D) = \ iiint \ limits _ {D} dx \, dy \, dz}

Integrala triplă calculată în regiune este, de asemenea, identificată cu "integrală de volum" $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ a unei funcții $f(x,y,z),$ ${\ displaystyle f (x, y, z),}$ ${\ displaystyle f (x, y, z),}$ și este scris în general:

\iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}

Un volum integral în coordonate cilindrice este:

\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz,

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} f (r, \ theta, z) \, r \, dr \, d \ theta \, dz,}

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} f (r, \ theta, z) \, r \, dr \, d \ theta \, dz,}

în timp ce o integrală de volum în coordonate sferice are forma:

\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\phi )\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} f (r, \ theta, \ phi) \, r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ phi}

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {D} f (r, \ theta, \ phi) \, r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ phi}

Exemplu

Prin integrarea funcției $f(x,y,z)=1$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = 1}$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = 1}$ pe un cub cu o margine unitară, se obține următorul rezultat:

\iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}1\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}(1-0)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}(1-0)dz=1-0=1

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {0 \ 0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1 \ 1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ iint \ limits _ {0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1} (1-0) \, dy \, dz = \ int \ limits _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {0 \ 0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1 \ 1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ iint \ limits _ {0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1} (1-0) \, dy \, dz = \ int \ limits _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}

Deci volumul cubului unității este 1 așa cum era de așteptat. În realitate, integralul de volum vă permite să rezolvați probleme mult mai complexe. De exemplu, dacă avem o funcție scalară $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ care descrie densitatea cubului într-un punct atribuit $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ din $f=x+y+z$ ${\ displaystyle f = x + y + z}$ ${\ displaystyle f = x + y + z}$ masa totală a cubului poate fi calculată prin calcularea volumului integral:

\iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}\left(x+y+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}\left(1+z\right)\,dz={\frac {3}{2}}

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {0 \ 0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1 \ 1} \ left (x + y + z \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iint \ Limite _ {0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1} \ left ({\ frac {1} {2}} + y + z \ right) \, dy \, dz = \ int \ limits _ {0 } ^ {1} \ left (1 + z \ right) \, dz = {\ frac {3} {2}}}

{\ displaystyle \ iiint \ limits _ {0 \ 0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1 \ 1} \ left (x + y + z \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iint \ Limite _ {0 \ 0} ^ {\ \ \ 1 \ 1} \ left ({\ frac {1} {2}} + y + z \ right) \, dy \, dz = \ int \ limits _ {0 } ^ {1} \ left (1 + z \ right) \, dz = {\ frac {3} {2}}}

Notă

^ W. Rudin , pagina 286 .

Bibliografie

Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

Articol MathWorld despre volumul integral , la mathworld.wolfram.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 286 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy