Continuitate separată

În analiza matematică, se spune că o funcție a mai multor variabile reale este continuă separat față de una dintre variabilele sale într-un anumit punct, dacă este văzută continuu ca fiind singura funcție a variabilei implicate (adică luând în considerare celelalte constante).

În mod oficial funcția $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabilele reale- evaluate sunt continue separat la punct ${\bar {x}}=({\bar {x_{1}}},\ldots ,{\bar {x_{n}}})$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} = ({\ bar {x_ {1}}}, \ ldots, {\ bar {x_ {n}}})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} = ({\ bar {x_ {1}}}, \ ldots, {\ bar {x_ {n}}})}$ în ceea ce privește variabila $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ dacă funcția unei variabile reale

x_{i}\mapsto g(x_{i})=f({\bar {x_{1}}},{\bar {x_{2}}},\ldots ,x_{i},{\overline {x_{i+1}}},\ldots ,{\bar {x_{n}}})

{\ displaystyle x_ {i} \ mapsto g (x_ {i}) = f ({\ bar {x_ {1}}}, {\ bar {x_ {2}}}, \ ldots, x_ {i}, { \ overline {x_ {i + 1}}}, \ ldots, {\ bar {x_ {n}}})}

{\ displaystyle x_ {i} \ mapsto g (x_ {i}) = f ({\ bar {x_ {1}}}, {\ bar {x_ {2}}}, \ ldots, x_ {i}, { \ overline {x_ {i + 1}}}, \ ldots, {\ bar {x_ {n}}})}

este continuu în ${\bar {x_{i}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x_ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x_ {i}}}}$ . Observați că în argumentul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , la indici $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ ≠ $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ apar cantitățile ${\bar {x_{j}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x_ {j}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x_ {j}}}}$ , care sunt constante, ca coordonate ale punctului ${\bar {x}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ .

Continuitatea separată este o condiție mai slabă decât continuitatea obișnuită formulată în funcție de vecinătăți , numită aici pentru a distinge „continuitatea globală”. O funcție globală continuă este în schimb continuă separat de toate variabilele. De exemplu:

f(x,y)={\begin{cases}1&xy\neq 0\\0&xy=0\end{cases}}

{\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} 1 & xy \ neq 0 \\ 0 & xy = 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} 1 & xy \ neq 0 \\ 0 & xy = 0 \ end {cases}}}

este continuu separat în origine $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ în ceea ce privește ambele variabile, deoarece ambele funcții $f(0,\cdot )$ ${\ displaystyle f (0, \ cdot)}$ ${\ displaystyle f (0, \ cdot)}$ Și $f(\cdot ,0)$ ${\ displaystyle f (\ cdot, 0)}$ ${\ displaystyle f (\ cdot, 0)}$ sunt constante la 0, dar nu este continuu la nivel global în acest punct.

Continuitatea separată față de o variabilă este o condiție care este implicată de diferențialitatea parțială a funcției față de acea variabilă, deoarece intră în implicația existentă între funcțiile unei singure variabile. Diferențialitatea totală a unei funcții implică, prin urmare, continuitate separată față de fiecare variabilă, în timp ce nu implică continuitate, care este dată în schimb de diferențialitate .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy