Teorema lui Fermat asupra punctelor staționare

Teorema lui Fermat asupra punctelor staționare (care nu trebuie confundată cu ultima teoremă a lui Fermat, teorema mică a lui Fermat sau teorema lui Fermat asupra sumelor a două pătrate ) este o teoremă a analizei matematice , care își ia numele de la Pierre de Fermat . Teorema oferă o metodă pentru găsirea punctelor maxime și minime ale unei funcții diferențiate , arătând că fiecare punct extrem local este un punct staționar al funcției (adică prima derivată a funcției dispare în acel punct). În acest fel, folosind teorema lui Fermat, problema găsirii punctelor extreme ale unei funcții se reduce la soluția unei ecuații .

Este important să rețineți că teorema lui Fermat oferă doar o condiție necesară pentru valoarea extremelor funcției: este adevărat că toate punctele extreme sunt staționare, dar există și unele puncte staționare care nu sunt puncte extreme, dar pot fi inflexiune puncte (sau, în cazul unei funcții multi-variabile, puncte de șa sau puncte de altă natură). Pentru a evalua dacă un punct staționar este o valoare extremă și pentru a distinge dacă acest punct este de maxim sau minim, este în general necesar să se analizeze a doua derivată a funcției (dacă există).

Enunțarea teoremei

Este $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: (a, b) \ to \ mathbb {R}}$ $f: (a, b) \ to {\ mathbb {R}}$ o funcție și presupuneți că $x_{0}\in (a,b)$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$ $x_ {0} \ in (a, b)$ este un punct local extrem de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Este diferențiat la acest punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , asa de $f^{\prime }(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0}) = 0}$ $f ^ {{\ prime}} (x_ {0}) = 0$ . ^[1]

Demonstrație

Demonstrație intuitivă

Următoarea este ideea pe care se bazează dovada teoremei pentru punctele maxime ale funcției (dar raționamentul este valid, cu modificările adecvate, de asemenea, pentru punctele minime ). De sine $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ este un maxim local, apoi există un cartier (oricât de mic vă place) de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât funcția crește înainte de punct și scade după. Deoarece derivata este pozitivă în intervalele în care funcția crește și este negativă în intervalele în care funcția scade, $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ este pozitiv înainte $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și negativ după. $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ trebuie să își asume toate valorile în mod continuu ( conform teoremei lui Darboux ), deci trebuie să își asume în mod necesar o valoare zero în punctul în care se schimbă de la pozitiv la negativ. Singurul punct în care acest lucru este posibil $f'(x)=0$ ${\ displaystyle f '(x) = 0}$ $f '(x) = 0$ este deci $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Rețineți că teorema, precum și dovada sa, sunt mai generale decât intuiția, deoarece nu necesită ca funcția să fie diferențiată într-un vecinătate a $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Așa cum este afirmat de teoremă, este suficient ca funcția să fie diferențiată doar în punctul extrem.

Demonstrație riguroasă

Asuma ca $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct maxim local (dovada se aplică și în cazul în care $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este minim). Atunci:

\exists \delta >0\ :\ x\in \left(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta \right)\cap (a,b)\Rightarrow f(x_{0})\geq f(x)

{\ displaystyle \ există \ delta> 0 \: \ x \ in \ left (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta \ right) \ cap (a, b) \ Rightarrow f (x_ {0 }) \ geq f (x)}

\ există \ delta> 0 \: \ x \ in \ left (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta \ right) \ cap (a, b) \ Rightarrow f (x_ {0}) \ geq f (x)

Prin urmare, pentru fiecare $h\in (0,\delta )$ ${\ displaystyle h \ in (0, \ delta)}$ $h \ in (0, \ delta)$ relația merită

{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.

{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}} \ leq 0.}

\ frac {f (x_0 + h) - f (x_0)} {h} \ le 0.

Întrucât limita acestui raport pentru $h\to 0^{+}$ ${\ displaystyle h \ to 0 ^ {+}}$ $h \ la 0 ^ {+}$ există și este egal cu $f^{\prime }(x_{0})$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0})}$ $f ^ {{\ prime}} (x_ {0})$ ( limita raportului incremental ), atunci se poate concluziona ( permanența semnului ) că $f^{\prime }(x_{0})\leq 0$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0}) \ leq 0}$ $f ^ {{\ prime}} (x_ {0}) \ leq 0$ . Pe de altă parte, pentru $h\in (-\delta ,0)$ ${\ displaystyle h \ in (- \ delta, 0)}$ $h \ in (- \ delta, 0)$ am notat asta

{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0

{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}} \ geq 0}

\ frac {f (x_0 + h) - f (x_0)} {h} \ ge 0

;

din nou, limita pentru $h\to 0^{-}$ ${\ displaystyle h \ to 0 ^ {-}}$ $h \ la 0 ^ {-}$ merita $f^{\prime }(x_{0})$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0})}$ $f ^ {{\ prime}} (x_ {0})$ , din care avem $f^{\prime }(x_{0})\geq 0$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0}) \ geq 0}$ $f ^ {{\ prime}} (x_ {0}) \ geq 0$ .

Combinând rezultatele obținute se poate concluziona că $f^{\prime }(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0}) = 0}$ $f ^ {{\ prime}} (x_ {0}) = 0$ , CVD

Comportamentul local al funcției

O subtilă concepție greșită care apare adesea în contextul teoremei lui Fermat este presupunerea că face o afirmație mai puternică despre comportamentul local decât pretinde de fapt. Notă, teorema lui Fermat nu spune că funcțiile (monotone) „cresc spre” sau „scad de la” un maxim local. Acest lucru este foarte asemănător cu neînțelegerea conform căreia o limită înseamnă „apropierea monotonă de un punct”. Pentru „funcții bune” (care aici înseamnă diferențiat continuu), se păstrează o anumită intuiție, dar în general funcțiile ar putea fi patologice, așa cum se ilustrează mai jos. Morala este că derivatele determină un comportament infinitesimal și că derivatele continue determină un comportament local.

Funcții care pot fi diferențiate cu continuitate

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se poate diferenția cu continuitate (adică dacă este $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ ) într-un cartier deschis al punctului $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , asa de $f'(x_{0})>0$ ${\ displaystyle f '(x_ {0})> 0}$ ${\ displaystyle f '(x_ {0})> 0}$ înseamnă că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ crește într-un cartier al $x_{0},$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$ după cum urmează.

De sine $f'(x_{0})=K>0$ ${\ displaystyle f '(x_ {0}) = K> 0}$ ${\ displaystyle f '(x_ {0}) = K> 0}$ Și $f\in C^{1},$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {1},}$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {1},}$ apoi, din continuitatea derivatului, ele există $\varepsilon _{0}>0$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}> 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}> 0}$ astfel încât $f'(x)>K/2$ ${\ displaystyle f '(x)> K / 2}$ ${\ displaystyle f '(x)> K / 2}$ $\forall x\in \left(x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0}\right)$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ left (x_ {0} - \ varepsilon _ {0}, x_ {0} + \ varepsilon _ {0} \ right)}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ left (x_ {0} - \ varepsilon _ {0}, x_ {0} + \ varepsilon _ {0} \ right)}$ . Atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ crește în acest interval. Din teorema lui Lagrange : panta fiecărei secante este cel puțin $K/2,$ ${\ displaystyle K / 2,}$ ${\ displaystyle K / 2,}$ întrucât este egal cu panta unei tangente.

Cu toate acestea, în ipotezele generale ale teoremei lui Fermat, unde se dă doar derivatul „în” $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este pozitiv, putem concluziona doar că liniile secante „prin” $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ vor avea o pantă pozitivă, pentru secante între $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și puncte suficient de apropiate.

În schimb, dacă derivatul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ într-un punct este 0 ( $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct staționar ), în general nu se poate concluziona nimic despre comportamentul local al funcției: ar putea crește pe ambele părți (ca în $x^{3}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$ $x ^ {3}$ ), scade pe o parte și crește pe cealaltă (ca pentru $x^{4}$ ${\ displaystyle x ^ {4}}$ ${\ displaystyle x ^ {4}}$ ), crește și apoi scade (ca în $-x^{4}$ ${\ displaystyle -x ^ {4}}$ ${\ displaystyle -x ^ {4}}$ ), sau se comportă într-un mod mai complicat, cum ar fi swinging (cum ar fi $x^{2}(\sin(1/x))$ ${\ displaystyle x ^ {2} (\ sin (1 / x))}$ ${\ displaystyle x ^ {2} (\ sin (1 / x))}$ , așa cum este discutat mai jos).

Tendința locală poate fi analizată testând derivatele secundare și derivatele de ordin superior. Dacă funcția este suficient de diferențiată și dacă prima derivată nu este nulă în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este o funcție continuă, putem deduce apoi comportamentul local (adică dacă $f^{(k)}(x_{0})\neq 0$ ${\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) \ neq 0}$ ${\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) \ neq 0}$ este prima derivată diferită de zero, e $f^{(k)}$ ${\ displaystyle f ^ {(k)}}$ ${\ displaystyle f ^ {(k)}}$ este continuu, așa $f\in C^{k}$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {k}}$ $f \ în C ^ {k}$ ). În acest caz, poate fi tratat $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ca local apropiat de un polinom de grad $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , deoarece se comportă aproximativ ca. $f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},$ ${\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) (x-x_ {0}) ^ {k},}$ ${\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) (x-x_ {0}) ^ {k},}$ dar dacă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -a derivată nu este continuă, nu se pot trage anumite concluzii și se poate avea o tendință destul de diferită.

Funcții patologice

Luați în considerare funcția $\sin(1/x),$ ${\ displaystyle \ sin (1 / x),}$ ${\ displaystyle \ sin (1 / x),}$ oscilează crescând rapid între $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ abordari. Luați în considerare atunci $f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2},$ ${\ displaystyle f (x) = (1+ \ sin (1 / x)) x ^ {2},}$ ${\ displaystyle f (x) = (1+ \ sin (1 / x)) x ^ {2},}$ aceasta oscilează în creștere rapidă între și $2x^{2}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Tinde să $0.$ ${\ displaystyle 0.}$ ${\ displaystyle 0.}$ Dacă extindeți această funcție cu $f(0):=0,$ ${\ displaystyle f (0): = 0,}$ ${\ displaystyle f (0): = 0,}$ atunci este continuu și oriunde derivabil (este derivabil în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ cu derivat nul), dar are un comportament destul de ciudat aproape de el: în fiecare vecinătate a acestuia dispare infinit de ori, dar devine și egal cu $2x^{2}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$ (un număr pozitiv) frecvent.

Continuând pe această linie, $f(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = (2+ \ sin (1 / x)) x ^ {2}}$ ${\ displaystyle f (x) = (2+ \ sin (1 / x)) x ^ {2}}$ oscilează între $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ Și $3x^{2}$ ${\ displaystyle 3x ^ {2}}$ $3x ^ {2}$ , $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ este minim atât local, cât și global, dar în niciun cartier funcția nu crește sau scade: oscilează sălbatic aproape de $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Această patologie poate fi înțeleasă deoarece, deși funcția poate fi diferențiată peste tot, nu poate fi diferențiată cu continuitate: limita $f'(x)$ ${\ displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ cu $x\to 0$ ${\ displaystyle x \ to 0}$ $x \ la 0$ nu există, prin urmare derivatul nu este continuu în $0.$ ${\ displaystyle 0.}$ ${\ displaystyle 0.}$ Aceasta reflectă oscilațiile dintre valorile crescătoare și descrescătoare pe măsură ce vă apropiați de punctul critic $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Extindere la mai multe variabile

Există o versiune a teoremei lui Fermat care privește funcțiile variabile vectoriale, adică funcțiile de tip

f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle f: \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}

f: \ Omega \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}

(care se reduce la declarația anterioară pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ ). Teorema oferă o condiție necesară (insuficientă) pe care trebuie să o îndeplinească punctele staționare interioare $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ (nu poate fi aplicat pentru a căuta extreme „legate”, adică aparținând limitei întregului).

Afirmație

Este $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ Omega \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n}$ una deschisă și fie ea $f:\Omega \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ Omega \ to {\ mathbb {R}}$ ; este $\mathbf {x_{0}} \in \Omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}} \ în \ Omega}$ ${\ mathbf {x_ {0}}} \ în \ Omega$ un punct de maxim local sau minim pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , și așa să fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ diferențiat în $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ . Apoi gradientul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ calculat în $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ este vectorul nul, adică

\nabla f(\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ nabla f (\ mathbf {x_ {0}}) = \ mathbf {0}}

\ nabla f ({\ mathbf {x_ {0}}}) = {\ mathbf {0}}

.

Demonstrație

Dovada se folosește de teorema pentru care sa dovedit deja $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ ; teorema va fi dovedită în caz $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ este un punct de minim local, dar dovada este complet analogă pentru punctele de maxim.

Este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ a versor (i.e. $\|\mathbf {v} \|$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ |}$ $\ | {\ mathbf {v}} \ |$ = 1), și lăsați-l să fie $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ funcția care măsoară creșterea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de-a lungul direcției de $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ , sau:

g:(-\delta ,\delta )\to \mathbb {R}

{\ displaystyle g: (- \ delta, \ delta) \ to \ mathbb {R}}

g: (- \ delta, \ delta) \ to {\ mathbb {R}}

g:t\to f(\mathbf {x_{0}} +t\mathbf {v} )

{\ displaystyle g: t \ to f (\ mathbf {x_ {0}} + t \ mathbf {v})}

{\ displaystyle g: t \ to f (\ mathbf {x_ {0}} + t \ mathbf {v})}

( $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este definit într-un cartier al $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ , deoarece acesta este un punct interior al $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ). Functia $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ admite minim în $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , deoarece prin ipoteză $f(\mathbf {x} )\geq f(\mathbf {x_{0}} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) \ geq f (\ mathbf {x_ {0}})}$ $f ({\ mathbf {x}}) \ geq f ({\ mathbf {x_ {0}}})$ pentru toți $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ într-un cartier al $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ . În plus, $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este diferențiat în $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , deoarece

g^{\prime }(0)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x_{0}} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x_{0}} )}{t}}={\frac {\partial {f}}{\partial \mathbf {v} }}(\mathbf {x_{0}} )

{\ displaystyle g ^ {\ prime} (0) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x_ {0}} + t \ mathbf {v}) -f (\ mathbf { x_ {0}})} {t}} = {\ frac {\ partial {f}} {\ partial \ mathbf {v}}} (\ mathbf {x_ {0}})}

g ^ {{\ prime}} (0) = \ lim _ {{t \ to 0}} {\ frac {f ({\ mathbf {x_ {0}}} + t {\ mathbf {v}}) - f ({\ mathbf {x_ {0}}})} {t}} = {\ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ mathbf {v}}}} ({\ mathbf {x_ {0} }})

,

și derivata direcțională a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ lung $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ exista ( $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este diferențiat în $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ , deci admite toate derivatele direcționale în acel moment). Teorema lui Fermat pentru funcțiile variabilelor reale garantează în acest moment că $g^{\prime }(0)={\frac {\partial {f}}{\partial \mathbf {v} }}(\mathbf {x_{0}} )=0$ ${\ displaystyle g ^ {\ prime} (0) = {\ frac {\ partial {f}} {\ partial \ mathbf {v}}} (\ mathbf {x_ {0}}) = 0}$ $g ^ {{\ prime}} (0) = {\ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ mathbf {v}}}} ({\ mathbf {x_ {0}}}) = 0$ ; deoarece toate derivatele direcționale din punct sunt zero, în special derivatele de-a lungul axelor de coordonate (derivate parțiale) vor fi și, prin urmare, $\nabla f(\mathbf {x_{0}} )=0$ ${\ displaystyle \ nabla f (\ mathbf {x_ {0}}) = 0}$ $\ nabla f ({\ mathbf {x_ {0}}}) = 0$ . QED

Contrapunct la demonstrație

Din dovadă vedem că ipoteza diferențialității a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ nu este indispensabil (este necesară doar existența derivatelor parțiale); enunțul ar putea fi reformulat astfel: dacă $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ este un punct extrem pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , și dacă există o derivată direcțională a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens $\mathbf {x_{0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}$ ${\ mathbf {x_ {0}}}$ , atunci acest derivat este nul în acesta.

Notă

^ PM Soardi , p. 220 .

Bibliografie

Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] PM Soardi , p. 220 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy