Teorema Weierstrass

O funcție continuă în intervalul [a, b] admite un maxim și un minim, respectiv c și d

În analiza matematică , teorema Weierstrass este un rezultat important al existenței maximului și minimului funcțiilor variabile reale . Teorema poate fi extinsă și la funcții reale definite în general pe spații topologice (și deci și pe orice spațiu metric).

Instrucțiune, pentru funcții reale cu o singură variabilă reală

Este $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ un interval închis și delimitat nu gol și ambele $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ o funcție continuă . Atunci $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ admite (cel puțin) un punct de maxim absolut și un punct de minim absolut în interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ .

Demonstrație cu noțiunea de compactitate

Atâta timp cât $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție continuă, transformă seturile compacte în seturi compacte. De cand $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ este un interval închis și limitat , deoarece teorema lui Heine-Borel este un compact; de aici și imaginea sa prin intermediul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ va fi un compact de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , și, prin urmare, este prevăzut cu maxim și minim, adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ presupune o valoare maximă și minimă în ea. Contra-imaginile lor în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ acestea sunt, respectiv, un punct maxim absolut și minim.

Dovadă cu secvențe de puncte

Sa spunem $s=\sup f([a,b])$ ${\ displaystyle s = \ sup f ([a, b])}$ ${\ displaystyle s = \ sup f ([a, b])}$ și identificăm o succesiune $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ , $y_{n}\in f[a,b]$ ${\ displaystyle y_ {n} \ în f [a, b]}$ $y_n \ în f [a, b]$ , astfel încât $y_{n}\rightarrow s$ ${\ displaystyle y_ {n} \ rightarrow s}$ $y_n \ rightarrow s$ pentru $n\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ $n \ rightarrow \ infty$ . Această succesiune există cu siguranță: de fapt, din definiția limitei superioare rezultă că:

de sine $s\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$ , asa de $\forall n\in \mathbb {N} \;\exists y_{n}\in f([a,b])$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \ există y_ {n} \ în f ([a, b])}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \ există y_ {n} \ în f ([a, b])}$ astfel încât $s-{\frac {1}{n}}\leq y_{n}\leq s$ ${\ displaystyle s - {\ frac {1} {n}} \ leq y_ {n} \ leq s}$ $s- \ frac1n \ leq y_n \ leq s$ .
de sine $s=+\infty$ ${\ displaystyle s = + \ infty}$ ${\ displaystyle s = + \ infty}$ , asa de $\forall n\in \mathbb {N} \;\exists y_{n}\in f([a,b])$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \ există y_ {n} \ în f ([a, b])}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \; \ există y_ {n} \ în f ([a, b])}$ astfel încât $n\leq y_{n}$ ${\ displaystyle n \ leq y_ {n}}$ ${\ displaystyle n \ leq y_ {n}}$ .

Pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ hai să alegem acum $t_{n}\in [a,b]$ ${\ displaystyle t_ {n} \ în [a, b]}$ $t_n \ în [a, b]$ astfel încât $f(t_{n})=y_{n}$ ${\ displaystyle f (t_ {n}) = y_ {n}}$ $f (t_n) = y_n$ . De cand $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ succesiunea este limitată $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (t_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (t_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ este limitată, deci teorema lui Bolzano - Weierstrass admite o subsecvență $(t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (t_ {n_ {k}}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (t_ {n_ {k}}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ convergent; este $x_{2}\in [a,b]$ ${\ displaystyle x_ {2} \ în [a, b]}$ $x_2 \ în [a, b]$ limita sa pentru $k\to \infty .$ ${\ displaystyle k \ to \ infty.}$ ${\ displaystyle k \ to \ infty.}$ Pentru continuitatea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , avem $y_{n_{k}}=f(t_{n_{k}})\rightarrow f(x_{2})$ ${\ displaystyle y_ {n_ {k}} = f (t_ {n_ {k}}) \ rightarrow f (x_ {2})}$ $y_ {n_k} = f (t_ {n_k}) \ rightarrow f (x_2)$ pentru $k\rightarrow \infty .$ ${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty.}$ ${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty.}$ Pe de altă parte $y_{n_{k}}\to s$ ${\ displaystyle y_ {n_ {k}} \ to s}$ $y_ {n_k} \ to s$ pentru $k\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ $k \ rightarrow \ infty$ . Prin teorema „ unicității limitei aveți asta $s\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$ Și $s=f(x_{2})$ ${\ displaystyle s = f (x_ {2})}$ $s = f (x_2)$ . Prin urmare, am arătat că funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ presupune în $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ valoarea sa maximă.

În mod similar, este demonstrată și existența unui punct $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ unde funcția își asumă valoarea minimă absolută.

Necesitatea ipotezelor

În mod clar, faptul că o funcție nu îndeplinește ipotezele teoremei lui Weierstrass nu implică faptul că nu există maxim sau minim al funcției; pur și simplu, prin renunțarea la condițiile Weierstrass, existența lor nu este garantată. Mai mult, așa cum se va vedea în contraexemple, acestea sunt cele mai largi ipoteze posibile pentru care se menționează afirmația. Teorema nu se menține dacă doar una dintre cele trei ipoteze eșuează.

Contraexemplu nr. 1. Functia

y=|x|

{\ displaystyle y = | x |}

y = | x |

în interval

[-1,1]

{\ displaystyle [-1,1]}

[-1,1]

redefinit în

x=0

{\ displaystyle x = 0}

x = 0

nu este continuu. Prin urmare, teorema Weierstrass nu este validă.

$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu continuă: Luați în considerare $f:[-1,1]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: [- 1,1] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: [- 1,1] \ to \ mathbb {R}}$ astfel încât $f(x)=|x|$ ${\ displaystyle f (x) = | x |}$ $f (x) = | x |$ pentru $x\not =0$ ${\ displaystyle x \ not = 0}$ $x \ not = 0$ Și $f(0)=1$ ${\ displaystyle f (0) = 1}$ $f (0) = 1$ , care nu este continuu în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ . Teorema nu se aplică, de fapt nu are un minim, ci doar o limită inferioară egală cu.
Gama nu este închisă: Luați în considerare $f:[0,1)\to \mathbb {R} ,x\mapsto x$ ${\ displaystyle f: [0,1) \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto x}$ ${\ displaystyle f: [0,1) \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto x}$ . Este continuu în intervalul limitat $[0,1)$ ${\ displaystyle [0,1)}$ $[0,1)$ , care însă nu este închis. Teorema nu se aplică, de fapt nu are un maxim, ci doar o limită superioară egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .
Gama nu este limitată: ia în considerare $f:[0,+\infty )\to \mathbb {R} ,x\mapsto \arctan(x)$ ${\ displaystyle f: [0, + \ infty) \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto \ arctan (x)}$ ${\ displaystyle f: [0, + \ infty) \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto \ arctan (x)}$ . Este continuu $[0,+\infty )$ ${\ displaystyle [0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty)}$ cu toate acestea, intervalul este nelimitat. Teorema nu se aplică, de fapt nu are un maxim, ci doar o limită superioară egală cu $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ .

Spații topologice

Teorema în contextul spațiilor topologice are următoarea formă:

Este $(X,{\mathcal {T}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ $(X, \ mathcal {T})$ un spațiu topologic și ambele $f\colon X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R}}$ continuați în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Atunci dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu compact ^[1] , $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ admite maxim și minim absolut în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În mod echivalent, teorema este valabilă pentru subseturi compacte de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Dovada este cea dată mai sus folosind noțiunea de compactitate.

Consecință importantă

Teorema a făcut necesară modificarea definiției inițiale a maximului / minimului absolut, care a declarat inițial „ $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este punctul maxim absolut al unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de sine $f(x)<f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x) <f (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (x) <f (x_ {0})}$ pentru orice valoare de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ excluzând $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ "și în mod similar pentru minimul absolut. Conform acestei definiții, funcții precum $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ este posibil să nu aibă valori maxime sau minime absolute într-o gamă suficient de largă, deoarece pot exista mai multe valori $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care are ca imagine extremitatea superioară sau inferioară a intervalului. Plecând de la formularea teoremei lui Weierstrass, toate valorile $x_{0},x_{1},x_{2},\dots$ ${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dots}$ care au aceeași valoare ca o imagine $y_{max}$ ${\ displaystyle y_ {max}}$ ${\ displaystyle y_ {max}}$ extremă a gamei, toate punctele de maxim și minim absolut sunt considerate în mod egal, astfel încât noua definiție, încă adoptată acum, este „ $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un maxim absolut al unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de sine $f(x)\leq f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0})}$ pentru orice valoare de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ „și în mod similar pentru minimul absolut.

Notă

^ PM Soardi , p.183 .

Bibliografie

Paul Marcellini și Carlo Sbordone , Calcul A , Liguori, 1998, ISBN 88-207-2819-2 ,OCLC 848639831 . Adus pe 5 februarie 2020 .
Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 41697

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] PM Soardi , p.183 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy