Integrala Riemann

Reprezentarea grafică a aproximării numerice a integralei Riemann

În analiza matematică , integralul Riemann este unul dintre cei mai folosiți operatori integrali în matematică. Formulată de Bernhard Riemann , aceasta este prima definiție riguroasă a integralei unei funcții pe un interval care a fost formulată.

Definiție

Luați în considerare o funcție continuă $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ , care pe acest interval este limitat în virtutea teoremei lui Weierstrass . Împărțiți gama printr-o partiție ${\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {x_ {0}, \ x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n-1}, \ x_ {n} | x_ {0} = a <x_ {1} <\ dots <x_ {n-1} <x_ {n} = b \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {x_ {0}, \ x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n-1}, \ x_ {n} | x_ {0} = a <x_ {1} <\ dots <x_ {n-1} <x_ {n} = b \}}$ în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ intervale $[x_{i},x_{i+1}]\subset [a,b]$ ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}] \ subset [a, b]}$ ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}] \ subset [a, b]}$ . Calibrul unei partiții este definit ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ maximul dintre amplitudinile tuturor intervalelor partiției alese, adică

c_{\mathcal {P}}:=\max _{i=1,\ldots ,n}\{x_{i+1}-x_{i}\}.

{\ displaystyle c _ {\ mathcal {P}}: = \ max _ {i = 1, \ ldots, n} \ {x_ {i + 1} -x_ {i} \}.}

{\ displaystyle c _ {\ mathcal {P}}: = \ max _ {i = 1, \ ldots, n} \ {x_ {i + 1} -x_ {i} \}.}

Pentru fiecare interval $[x_{i},x_{i+1}]$ ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ $[x_i, x_ {i + 1}]$ un element al fiecărei partiții este ales în mod arbitrar $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ ${\ displaystyle t_ {i} \ in [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ ${\ displaystyle t_ {i} \ in [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ și definiți suma Riemann ca:

\sigma _{n}=\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (t_ {i}) (x_ {i + 1} -x_ {i}).}

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (t_ {i}) (x_ {i + 1} -x_ {i}).}

Unele alegeri comune sunt

$t_{i}=x_{i},$ ${\ displaystyle t_ {i} = x_ {i},}$ ${\ displaystyle t_ {i} = x_ {i},}$ în acest caz avem o sumă Riemann stângă ;
$t_{i}=x_{i+1},$ ${\ displaystyle t_ {i} = x_ {i + 1},}$ ${\ displaystyle t_ {i} = x_ {i + 1},}$ în acest caz avem o sumă Riemann corectă ;
$t_{i}={\frac {x_{i+1}+x_{i}}{2}},$ ${\ displaystyle t_ {i} = {\ frac {x_ {i + 1} + x_ {i}} {2}},}$ ${\ displaystyle t_ {i} = {\ frac {x_ {i + 1} + x_ {i}} {2}},}$ în acest caz avem o sumă medie Riemann .

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este integrabil conform Riemann sau Riemann-integrabil în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ dacă limita există finită (ceea ce se dovedește a nu depinde de alegerea $t_{i}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ $tu$ ):

\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sigma _{n}=:\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.

{\ displaystyle \ lim _ {c _ {\ mathcal {P}} \ to 0} \ sigma _ {n} =: \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x .}

{\ displaystyle \ lim _ {c _ {\ mathcal {P}} \ to 0} \ sigma _ {n} =: \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x .}

Integrală Riemann multiplă

Același subiect în detaliu: Multiple Integral .

Este $N\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle N \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle N \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ un domeniu normal , $f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f \ colon N \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f \ colon N \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ limitat e $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură . Este ${\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {N_ {1}, \ \ dots, \ N_ {k} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {N_ {1}, \ \ dots, \ N_ {k} \}}$ o partiție de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ în domenii normale.

Suma Riemann-Darboux este definită ca:

\sigma _{k}=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.

{\ displaystyle \ sigma _ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, {\ underset {x \ in N_ {i}} {f (x)} }.}

{\ displaystyle \ sigma _ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, {\ underset {x \ in N_ {i}} {f (x)} }.}

În general funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat în $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ dacă există limita:

\lim _{\mu (N_{i})\to 0}\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}=\int _{N}\!f(x)\,\mathrm {d} x_{1}\dots \mathrm {d} x_{n}.

{\ displaystyle \ lim _ {\ mu (N_ {i}) \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, {\ underset {x \ in N_ { i}} {f (x)}} = \ int _ {N} \! f (x) \, \ mathrm {d} x_ {1} \ dots \ mathrm {d} x_ {n}.}

{\ displaystyle \ lim _ {\ mu (N_ {i}) \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu (N_ {i}) \, {\ underset {x \ in N_ { i}} {f (x)}} = \ int _ {N} \! f (x) \, \ mathrm {d} x_ {1} \ dots \ mathrm {d} x_ {n}.}

Proprietate

Același subiect în detaliu: Proprietățile integralei Riemann .

Riemman-integrabilitate și Darboux-integrabilitate

Același subiect în detaliu: integrala Darboux .

În general, o funcție este Riemann-integrabilă dacă și numai dacă este Darboux-integrabilă, iar valorile celor două integrale, dacă există, sunt egale între ele.

Linearitatea

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue definite într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și sunt $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ $\ alpha, \ beta \ în \ mathbb {R}$ . Atunci:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ beta \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx}

\ int _ {a} ^ {b} [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ beta \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx

Aditivitate

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuu și definit într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și fie $c\in [a,b]$ ${\ displaystyle c \ in [a, b]}$ $c \ in [a, b]$ . Atunci:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {c} f (x) dx + \ int _ {c} ^ {b} f (x ) \, dx}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {c} f (x) dx + \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx

Monotonie

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue definite într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ Și $f(x)\leq g(x)$ ${\ displaystyle f (x) \ leq g (x)}$ ${\ displaystyle f (x) \ leq g (x)}$ . Atunci:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} g (x) dx}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} g (x) dx}

Valoare absolută

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ integrabil într-un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , atunci noi avem:

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx

{\ displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) \ right | \, dx}

\ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) \ right | \, dx

Stieltjes integral

Același subiect în detaliu: integral Riemann-Stieltjes .

O posibilă generalizare a integralei Riemann este dată de integrala Riemann- Stieltjes , care face posibilă extinderea noțiunii de integral folosind o funcție (numită integrator ) ca variabilă de integrare sub semnul diferențialului :

\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f \, \ mathrm {d} g}

\ int _ {a} ^ {b} f \, {\ mathrm {d}} g

.

Dacă funcția $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este diferențiat , se menține formula $\mathrm {d} g(x)=g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} g (x) = g ^ {\ prime} (x) \, \ mathrm {d} x}$ ${\ mathrm {d}} g (x) = g ^ {\ prime} (x) \, {\ mathrm {d}} x$ , iar integrala Riemann-Stieltjes coincide cu cea a lui Riemann $fg^{\prime }$ ${\ displaystyle fg ^ {\ prime}}$ $fg ^ {\ prime}$ , acesta este:

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g ^ {\ prime} ( x) \, \ mathrm {d} x}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, {\ mathrm {d}} g (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g ^ {\ prime} (x ) \, {\ mathrm {d}} x

.

Cu toate acestea, integralul Riemann-Stieltjes este definit și în cazul funcțiilor de integrare mai generice, care nu au derivate sau care sunt discontinue .

Integrala Riemann-Stieltjes generalizează integrala Riemann într-un mod diferit de cel al lui Lebesgue, iar seturile de funcții care pot fi integrate prin cele două metode nu sunt suprapuse. Cu toate acestea, este posibil să se obțină o generalizare a ambelor metode prin intermediul integralei Lebesgue-Stieltjes .

Bibliografie

Giuseppe Scorza Dragoni - Elemente de analiză matematică I, II, III - Padova
Mauro Picone , Gaetano Fichera - Lecții de analiză matematică I, II - Roma
Jean Favard - Cours d'analyse I, II - Paris
Federico Cafiero - Măsură de integrare - Roma
Mauro Picone , Tullio Viola - Prelegeri despre teoria integrării moderne - Torino
Henri Lebesgue - Leçons sur intégration et la recherche de functions primitives - Paris (1904)
Guido Fubini - Lecții de analiză matematică - Torino (1920)
Ernesto Cesaro - Elemente de calcul infinitesimal - Napoli
Tom M. Apostol - Calcul, Volumul 1, Analiza 1 - Bollati Boringhieri
Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Mathematical Analysis , McGraw-Hill, Milano
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, 1998, ISBN 9788820728199 , capitolul 8.
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lessons in Mathematical Analysis Due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , capitolul 8.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse privind integrala Riemann
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe integrala Riemann

linkuri externe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 19570

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy