Inegalitatea lui Hölder

În matematică , inegalitatea lui Hölder este un rezultat de bază al analizei funcționale . A fost adesea folosit în studiul spațiilor funcționale cunoscute sub numele de spații L ^p .

Inegalitatea a fost dovedită într-o formă ușor diferită de Leonard James Rogers în 1888 și redescoperită independent de Otto Hölder în 1889, după care își ia numele. ^[1]

Inegalitate

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un spațiu de măsură cu măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $p\geq 1$ ${\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ . Este $p'\geq 1$ ${\ displaystyle p '\ geq 1}$ $p '\ geq 1$ exponentul conjugat al $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , sau acel număr astfel încât

{1 \over p}+{1 \over p'}=1

{\ displaystyle {1 \ over p} + {1 \ over p '} = 1}

{1 \ peste p} + {1 \ peste p '} = 1

sau echivalent astfel încât

p+p'=pp'

{\ displaystyle p + p '= pp'}

p + p '= pp'

De asemenea, se definește pe sine $p'=\infty$ ${\ displaystyle p '= \ infty}$ ${\ displaystyle p '= \ infty}$ de sine $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ .

Inegalitatea afirmă că, având în vedere două funcții măsurabile $f\in L^{p}(\Omega )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {p} (\ Omega)}$ $f \ în L ^ {p} (\ Omega)$ Și $g\in L^{p'}(\Omega )$ ${\ displaystyle g \ in L ^ {p '} (\ Omega)}$ $g \ în L ^ {{p '}} (\ Omega)$ , avem asta $fg\in L^{1}(\Omega )$ ${\ displaystyle fg \ în L ^ {1} (\ Omega)}$ $fg \ în L ^ {1} (\ Omega)$ și: ^[2]

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}

{\ displaystyle \ | fg \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {p '}}

\ | fg \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {{p '}}

Explicând regula a p-a în cauză $p>1$ ${\ displaystyle p> 1}$ $p> 1$ ai scris

\int _{\Omega }|fg|d\mu \leq \left[\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{\Omega }|g|^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | fg | d \ mu \ leq \ left [\ int _ {\ Omega} | f | ^ {p} d \ mu \ right] ^ {1 \ over p} \ left [\ int _ {\ Omega} | g | ^ {p '} d \ mu \ right] ^ {1 \ over {p'}}}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | fg | d \ mu \ leq \ left [\ int _ {\ Omega} | f | ^ {p} d \ mu \ right] ^ {1 \ over p} \ left [\ int _ {\ Omega} | g | ^ {p '} d \ mu \ right] ^ {1 \ over {p'}}}

Inegalitatea coincide cu inegalitatea Cauchy-Schwarz pentru $p=p'=2$ ${\ displaystyle p = p '= 2}$ $p = p '= 2$ . Numarul $p^{'}$ ${\ displaystyle p '}$ $p '$ se mai numește conjugat Hölder din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Se arată că inegalitatea devine o egalitate dacă și numai dacă există două constante $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , nu ambele nule, astfel încât:

a|f|^{p}=b|g|^{p'}

{\ displaystyle a | f | ^ {p} = b | g | ^ {p '}}

{\ displaystyle a | f | ^ {p} = b | g | ^ {p '}}

aproape peste tot în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Demonstrație

Dacă unul dintre cei doi factori ai celui de-al doilea membru (de exemplu $\|f\|_{p}$ ${\ displaystyle \ | f \ | _ {p}}$ $\ | f \ | _ {p}$ ) este zero, atunci înseamnă că $f=0$ ${\ displaystyle f = 0}$ $f = 0$ aproape peste tot ; prin urmare, de asemenea $fg=0$ ${\ displaystyle fg = 0}$ $fg = 0$ aproape peste tot și de aceea $\|fg\|_{1}=0$ ${\ displaystyle \ | fg \ | _ {1} = 0}$ $\ | fg \ | _ {1} = 0$ iar rezultatul se menține cu semnul egalității. Dacă unul dintre cei doi indici (de exemplu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ) Și $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , atunci este $p'=1$ ${\ displaystyle p '= 1}$ $p '= 1$ Și:

|fg|\leq \|f\|_{\infty }|g|

{\ displaystyle | fg | \ leq \ | f \ | _ {\ infty} | g |}

| fg | \ leq \ | f \ | _ {{\ infty}} | g |

de aceea rezultatul vine din monotonia integralei Lebesgue .

În caz contrar, pentru inegalitatea lui Young se menține că:

{\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\cdot {\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {1}{p}}\left({\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\right)^{p}+{\frac {1}{p'}}\left({\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\right)^{p'}

{\ displaystyle {\ frac {| f (x) |} {\ | f \ | _ {p}}} \ cdot {\ frac {| g (x) |} {\ | g \ | _ {p '} }} \ leq {\ frac {1} {p}} \ left ({\ frac {| f (x) |} {\ | f \ | _ {p}}} \ right) ^ {p} + {\ frac {1} {p '}} \ left ({\ frac {| g (x) |} {\ | g \ | _ {p'}}} \ right) ^ {p '}}

{\ frac {| f (x) |} {\ | f \ | _ {p}}} \ cdot {\ frac {| g (x) |} {\ | g \ | _ {{p '}}} } \ leq {\ frac {1} {p}} \ left ({\ frac {| f (x) |} {\ | f \ | _ {p}}} \ right) ^ {p} + {\ frac {1} {p '}} \ left ({\ frac {| g (x) |} {\ | g \ | _ {{p'}}} \ right) ^ {{p '}}

pentru aproape fiecare $x\in \Omega$ ${\ displaystyle x \ in \ Omega}$ $x \ in \ Omega$ . Prin integrarea ambilor membri obțineți:

{\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\int _{\Omega }|fg|d\mu ={\frac {\|fg\|_{1}}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {\|g\|_{p'}^{p'}}{p'\|g\|_{p'}^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {p '}}} \ int _ {\ Omega} | fg | d \ mu = {\ frac {\ | fg \ | _ {1}} {\ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {p '}}} \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {p} ^ {p} } {p \ | f \ | _ {p} ^ {p}}} + {\ frac {\ | g \ | _ {p '} ^ {p'}} {p '\ | g \ | _ {p '} ^ {p'}}} = {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {p '}} = 1}

{\ frac {1} {\ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {{p '}}}} \ int _ {{\ Omega}} | fg | d \ mu = {\ frac { \ | fg \ | _ {1}} {\ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {{p '}}}} \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {p} ^ {p}} {p \ | f \ | _ {p} ^ {p}}} + {\ frac {\ | g \ | _ {{p '}} ^ {{p'}}} {p '\ | g \ | _ {{p '}} ^ {{p'}}} = {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {p '}} = 1

Inegalitatea lui Hölder pentru numerele reale

În cazul foarte particular al spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , inegalitatea ia următoarea formă:

\sum _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} y_ {i} | \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ { p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | y_ {i} | ^ {p '} \ right) ^ {\ frac { 1} {p '}}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} y_ {i} | \ leq \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {{\ frac 1 {p}}} \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | y_ {i} | ^ {{p '}} \ right) ^ {{\ frac 1 {p '}}}

Dovadă alternativă

Locuri:

a_{i}={\frac {|x_{i}|}{\left(\sum |x_{j}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}}

{\ displaystyle a_ {i} = {\ frac {| x_ {i} |} {\ left (\ sum | x_ {j} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}} }}

a_ {i} = {\ frac {| x_ {i} |} {\ left (\ sum | x_ {j} | ^ {p} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}} }}

Și:

b_{i}={\frac {|y_{i}|}{\left(\sum |y_{j}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}}}

{\ displaystyle b_ {i} = {\ frac {| y_ {i} |} {\ left (\ sum | y_ {j} | ^ {p '} \ right) ^ {\ frac {1} {p'} }}}}

b_ {i} = {\ frac {| y_ {i} |} {\ left (\ sum | y_ {j} | ^ {{p '}} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p' }}}}}}

inegalitatea este:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq 1

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ leq 1}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ leq 1

Din concavitatea funcției logaritmice avem:

\ln(a_{i}b_{i})={\frac {1}{p}}\ln \left(a_{i}^{p}\right)+{\frac {1}{p'}}\ln \left(b_{i}^{p'}\right)\leq \ln \left({\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}\right)

{\ displaystyle \ ln (a_ {i} b_ {i}) = {\ frac {1} {p}} \ ln \ left (a_ {i} ^ {p} \ right) + {\ frac {1} { p '}} \ ln \ left (b_ {i} ^ {p'} \ right) \ leq \ ln \ left ({\ frac {1} {p}} a_ {i} ^ {p} + {\ frac {1} {p '}} b_ {i} ^ {p'} \ right)}

\ ln (a_ {i} b_ {i}) = {\ frac {1} {p}} \ ln \ left (a_ {i} ^ {p} \ right) + {\ frac {1} {p '} } \ ln \ left (b_ {i} ^ {{p '}} \ right) \ leq \ ln \ left ({\ frac {1} {p}} a_ {i} ^ {p} + {\ frac { 1} {p '}} b_ {i} ^ {{p'}} \ dreapta)

prin urmare, pentru monotonie :

a_{i}b_{i}\leq {\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}.

{\ displaystyle a_ {i} b_ {i} \ leq {\ frac {1} {p}} a_ {i} ^ {p} + {\ frac {1} {p '}} b_ {i} ^ {p '}.}

{\ displaystyle a_ {i} b_ {i} \ leq {\ frac {1} {p}} a_ {i} ^ {p} + {\ frac {1} {p '}} b_ {i} ^ {p '}.}

Rezumând pe index $the,$ ${\ displaystyle i,}$ $,$ atâta timp cât $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {p} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {p} = 1}$ Și $\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{p'}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {p '} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {p '} = 1}$ , obțineți teza.

Generalizare

Rezultatul poate fi generalizat cu o tehnică demonstrativă similară, luând orice număr finit de factori, cu indici corespunzători: sunt $f_{1},\dots ,f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}}$ $f_ {1}, \ dots, f_ {k}$ astfel încât $f_{i}\in L^{p_{i}}$ ${\ displaystyle f_ {i} \ în L ^ {p_ {i}}}$ $f_ {i} \ în L ^ {{p_ {i}}}$ , cu:

{\frac {1}{p}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\leq 1

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {1} {p_ {i}}} \ leq 1}

{\ frac {1} {p}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} {\ frac {1} {p_ {i}}} \ leq 1

Atunci:

f=f_{1}f_{2}\dots f_{k}\in L^{p}

{\ displaystyle f = f_ {1} f_ {2} \ dots f_ {k} \ în L ^ {p}}

f = f_ {1} f_ {2} \ dots f_ {k} \ în L ^ {p}

și avem:

\|f\|_{p}\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}\|f_{2}\|_{p_{2}}\dots \|f_{k}\|_{p_{k}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} \ leq \ | f_ {1} \ | _ {p_ {1}} \ | f_ {2} \ | _ {p_ {2}} \ dots \ | f_ { k} \ | _ {p_ {k}}}

\ | f \ | _ {p} \ leq \ | f_ {1} \ | _ {{p_ {1}}} \ | f_ {2} \ | _ {{p_ {2}}} \ dots \ | f_ {k} \ | _ {{p_ {k}}}

Generalizare în număr real

Lasa-i sa fie $(a_{11},\ldots ,a_{1n}),(a_{21},\ldots ,a_{2n}),\ldots ,(a_{m1},\ldots ,a_{mn})$ ${\ displaystyle (a_ {11}, \ ldots, a_ {1n}), (a_ {21}, \ ldots, a_ {2n}), \ ldots, (a_ {m1}, \ ldots, a_ {mn}) }$ $(a _ {{11}}, \ ldots, a _ {{1n}}), (a _ {{21}}, \ ldots, a _ {{2n}}), \ ldots, (a _ {{ m1}}, \ ldots, a _ {{mn}})$ m n-tuplul numerelor reale și let $p_{1},\ldots ,p_{m}$ ${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {m}}$ $p_ {1}, \ ldots, p_ {m}$ dintre regale astfel încât:

{\frac {1}{p_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{p_{m}}}=1

{\ displaystyle {\ frac {1} {p_ {1}}} + \ ldots + {\ frac {1} {p_ {m}}} = 1}

{\ frac {1} {p_ {1}}} + \ ldots + {\ frac {1} {p_ {m}}} = 1

Atunci:

\left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\cdot \ldots \cdot a_{mi}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}^{p_{1}}\right)^{\frac {1}{p_{1}}}\cdot \ldots \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}a_{mi}^{p_{m}}\right)^{\frac {1}{p_{m}}}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {1i} \ cdot \ ldots \ cdot a_ {mi} \ right) \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ { n} a_ {1i} ^ {p_ {1}} \ right) ^ {\ frac {1} {p_ {1}}} \ cdot \ ldots \ cdot \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n } a_ {mi} ^ {p_ {m}} \ right) ^ {\ frac {1} {p_ {m}}}}

\ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} a _ {{1i}} \ cdot \ ldots \ cdot a _ {{mi}} \ right) \ leq \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} a _ {{1i}} ^ {{p_ {1}}} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p_ {1}}}}} \ cdot \ ldots \ cdot \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} a _ {{mi}} ^ {{p_ {m}}} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p_ {m}}}}}

O consecință importantă a acestei generalizări duce la un prim rezultat al scufundării între spații $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ , inegalitatea de interpolare. De sine:

f\in L^{p}\cap L^{q}

{\ displaystyle f \ in L ^ {p} \ cap L ^ {q}}

f \ in L ^ {p} \ cap L ^ {q}

asa de $f\in L^{r}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {r}}$ $f \ în L ^ {r}$ pentru fiecare $p\leq r\leq q$ ${\ displaystyle p \ leq r \ leq q}$ $p \ leq r \ leq q$ Și:

\|f\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{\alpha }\|f\|_{q}^{1-\alpha }

{\ displaystyle \ | f \ | _ {r} \ leq \ | f \ | _ {p} ^ {\ alpha} \ | f \ | _ {q} ^ {1- \ alpha}}

\ | f \ | _ {r} \ leq \ | f \ | _ {p} ^ {{\ alpha}} \ | f \ | _ {q} ^ {{1- \ alpha}}

cu $\alpha \in [0,1]$ ${\ displaystyle \ alpha \ in [0,1]}$ $\ alpha \ în [0,1]$ astfel încât:

{\frac {1}{r}}={\frac {\alpha }{p}}+{\frac {1-\alpha }{q}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ frac {\ alpha} {p}} + {\ frac {1- \ alpha} {q}}}

{\ frac {1} {r}} = {\ frac {\ alpha} {p}} + {\ frac {1- \ alpha} {q}}

Notă

^ (EN) Leonard James Rogers în The MacTutor History of Mathematics , of www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Adus pe 19 iunie 2013 .
^ W. Rudin , pagina 62 .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Brezis, Analiza funcțională. Teorie și aplicații , Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) LP Kuptsov, Hölder inequality , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Kenneth Kuttler, An Introduction to Linear Algebra ( PDF ), E-book online în format PDF, Brigham Young University, 2007.
(EN) Arthur Lohwater, Introducere în inegalități (PDF), 1982.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Leonard James Rogers în The MacTutor History of Mathematics , of www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Adus pe 19 iunie 2013 .

[2] W. Rudin , pagina 62 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy