Gradient (funcție)

În calculul diferențial vectorial , gradientul unei funcții cu valoare reală (adică a unui câmp scalar ) este o funcție vectorială . Gradientul unei funcții este adesea definit ca vectorul care are ca componente derivatele parțiale ale funcției, deși acest lucru este adevărat numai dacă se utilizează coordonate orteziene carteziene. În general, gradientul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , notat cu $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ (simbolul $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ citim nabla ), este definit în fiecare punct prin următoarea relație: pentru orice vector ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec {v}$ , produsul dot ${\vec {v}}\cdot \nabla f$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} \ cdot \ nabla f}$ $\ vec {v} \ cdot \ nabla f$ dă valoarea derivatei direcționale a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în comparație cu ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec {v}$ .

În fizică , gradientul unei mărimi scalare este folosit pentru a descrie modul în care variază în funcție de diferiții parametri. De exemplu, vorbim despre un gradient termic pentru a exprima schimbarea de temperatură de -a lungul unei direcții alese, sau un gradient de presiune , în mod similar, pentru a exprima schimbarea de presiune de-a lungul unei anumite direcții.

Definiție

Exemplu de gradient al unei funcții

f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}

f: \ mathbb {R} ^ 2 \ rightarrow \ mathbb {R}

.

Operatorul de gradient este de obicei definit pentru funcțiile scalare ale a trei variabile $f\equiv f(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle f \ equiv f (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ $f \ echiv f (x_1, x_2, x_3)$ , deși definiția poate fi extinsă la funcții într-un spațiu euclidian de dimensiuni arbitrare. Gradientul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un câmp vector care în orice punct al spațiului permite calcularea derivatei direcționale a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în direcția unui vector generic $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ prin intermediul produsului scalar între $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ și gradientul funcției la punct.

Câmpul vector al gradientului a două funcții afișate de densitatea culorii: negrul din ce în ce mai intens reprezintă valori treptat mai mari asumate de funcțiile care decurg din tendința gradientului reprezentat de săgețile albastre.

În cazul unui sistem ortez normal de referință cartesian, gradientul de $f(x,y,z)$ ${\ displaystyle f (x, y, z)}$ $f (x, y, z)$ este vectorul ale cărui componente sunt primele derivate parțiale calculate în punctul:

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {\mathbf {z} }}

{\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} {\ hat {\ mathbf {x}}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} {\ hat {\ mathbf {y}}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} {\ hat {\ mathbf {z}}}}

\ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ hat {\ mathbf {x}} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ hat {\ mathbf {y}} + \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ hat {\ mathbf {z}}

unde este ${\hat {\mathbf {x} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}$ $\ hat {\ mathbf {x}}$ , ${\hat {\mathbf {y} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {y}}}}$ ${\ hat {{\ mathbf {y}}}}$ Și ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ $\ hat {\ mathbf {z}}$ sunt versorii de -a lungul axelor.

Deoarece operatorul de gradient asociază un vector cu un punct în spațiu, gradientul unei funcții diferențiale scalare $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f \ colon X \ rightarrow \ mathbb {R}$ pe $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $X \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ este un câmp vector care se asociază fiecăruia $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ ${\ displaystyle x \ în X}$ vectorul $\nabla f(x)$ ${\ displaystyle \ nabla f (x)}$ $\ nabla f (x)$ .

Un câmp de gradient este conservator , adică nu există disipare de energie (munca efectuată de-a lungul unei linii închise este întotdeauna zero). De fapt, dacă calculăm integralul liniei de -a lungul oricărei curbe $\gamma \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ gamma \ colon [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ gamma \ colon [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ care este închis, adică astfel încât $\gamma (0)=\gamma (1)$ ${\ displaystyle \ gamma (0) = \ gamma (1)}$ $\ gamma (0) = \ gamma (1)$ primesti:

\int _{\gamma }\nabla f\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {s} =\int _{0}^{1}\nabla f(\gamma (t))\cdot \gamma ^{\prime }(t)\operatorname {d} \!t=f(\gamma (1))-f(\gamma (0))=0

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} \ nabla f \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {s} = \ int _ {0} ^ {1} \ nabla f (\ gamma (t)) \ cdot \ gamma ^ {\ prime} (t) \ operatorname {d} \! t = f (\ gamma (1)) - f (\ gamma (0)) = 0}

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} \ nabla f \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {s} = \ int _ {0} ^ {1} \ nabla f (\ gamma (t)) \ cdot \ gamma ^ {\ prime} (t) \ operatorname {d} \! t = f (\ gamma (1)) - f (\ gamma (0)) = 0}

De asemenea, liniile de flux ale unui câmp de gradient asociat cu o funcție scalară $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ sunt pretutindeni ortogonali față de suprafețele de nivel ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , adică hipersuprafețelor date de ecuația cartesiană $f(\mathbf {x} )=c$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = c}$ $f (\ mathbf x) = c$ dupa cum $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ . De fapt, vectorii tangenți la liniile de curgere sunt date de $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ : apoi ia în considerare un vector generic $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ tangentă la o suprafață plană într-un punct $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ , și așa să fie $\varphi (t)$ ${\ displaystyle \ varphi (t)}$ $\ varphi (t)$ o curbă astfel încât $\varphi (0)=x$ ${\ displaystyle \ varphi (0) = x}$ $\ varphi (0) = x$ , care se află în întregime pe o suprafață plană și astfel încât vectorul să fie tangent la curbă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $\varphi ^{\prime }(0)=v$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {\ prime} (0) = v}$ $\ varphi ^ \ prime (0) = v$ . De cand $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ atunci se află pe o suprafață plană $f(\varphi (t))=c$ ${\ displaystyle f (\ varphi (t)) = c}$ $f (\ varphi (t)) = c$ , adică derivând avem $\nabla f(\varphi (0))\cdot \varphi ^{\prime }(0)=\nabla f(x)\cdot v=0$ ${\ displaystyle \ nabla f (\ varphi (0)) \ cdot \ varphi ^ {\ prime} (0) = \ nabla f (x) \ cdot v = 0}$ $\ nabla f (\ varphi (0)) \ cdot \ varphi ^ \ prime (0) = \ nabla f (x) \ cdot v = 0$ .

Purtători $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $\nabla f(x)$ ${\ displaystyle \ nabla f (x)}$ $\ nabla f (x)$ sunt apoi ortogonali și afirmația de verificat urmează prin arbitrariul lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ . Derivata direcțională a unei funcții la un punct dat de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ apoi reprezintă valoarea numerică dată de limita raportului dintre variația pe care o suferă începând de la punctul din cauza unei deplasări de-a lungul direcției și direcției identificate de vectorul unitar față de care derivă și deplasarea însăși atunci când acesta din urmă tinde la zero și rezultă deci pozitiv dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ crește de-a lungul acestei direcții începând din punctul considerat, negativ sau zero altfel; pe de altă parte, derivata direcțională a gradientului, tocmai datorită legăturii sale cu produsul scalar, este maximă (și pozitivă) de-a lungul vectorului unitar care îl identifică (la fel ca produsul scalar al unui vector pentru o unitate vectorială este maxim și pozitiv atunci când unitatea vectorială are direcția și direcția vectorului). De aceea, gradientul este normal față de suprafețele de nivel și este direcționat în direcția nivelurilor în creștere; este irotațional chiar dacă viceversa nu este întotdeauna valabilă decât dacă setul pe care este definit câmpul este pur și simplu conectat.

Soiuri riemanniene

Pentru o funcție lină $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe o varietate riemanniană $(M,g)$ ${\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ gradientul este câmpul vectorial $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ astfel încât pentru orice câmp vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ avem:

g_{x}((\nabla f)_{x},X_{x})=(\partial _{X}f)(x),

{\ displaystyle g_ {x} ((\ nabla f) _ {x}, X_ {x}) = (\ partial _ {X} f) (x),}

g_ {x} ((\ nabla f) _ {x}, X_ {x}) = (\ partial _ {X} f) (x),

unde este $g_{x}(,)$ ${\ displaystyle g_ {x} (,)}$ $g_x (,)$ indică produsul interior (definit de metrica $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ) între vectori tangenți varietatea la punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , in timp ce $\partial _{X}f$ ${\ displaystyle \ partial _ {X} f}$ $\ partial _ {X} f$ este funcția care în fiecare punct $x\in M$ ${\ displaystyle x \ în M}$ $x \ în M$ asociază derivata direcțională a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ in directia $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ evaluat în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

În mod echivalent, i sa dat un card $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ definit pe un open in $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ la valori în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , functia $\partial _{X}f(x)$ ${\ displaystyle \ partial _ {X} f (x)}$ $\ partial_X f (x)$ este dat de:

\sum _{j=1}^{n}X^{j}(\varphi (x)){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Big |}_{\varphi (x)},

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} X ^ {j} (\ varphi (x)) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {j}}} (f \ circ \ varphi ^ {- 1}) {\ Big |} _ {\ varphi (x)},}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} X ^ {j} (\ varphi (x)) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {j}}} (f \ circ \ varphi ^ {- 1}) {\ Big |} _ {\ varphi (x)},}

unde este $X^{j}$ ${\ displaystyle X ^ {j}}$ $X ^ {j}$ este a j-a componentă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în cardul considerat. Deci forma locală a gradientului este:

\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.

{\ displaystyle \ nabla f = g ^ {ik} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {k}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}.}

\ nabla f = g ^ {{ik}} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {{k}}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {{i}}}} .

Generalizarea cazului $M=\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle M = \ mathbb {R} ^ {n}}$ $M = \ mathbb {R} ^ {n}$ , gradientul unei funcții se referă la derivata sa externă în felul următor:

(\partial _{X}f)(x)=\mathrm {d} f_{x}(X_{x})

{\ displaystyle (\ partial _ {X} f) (x) = \ mathrm {d} f_ {x} (X_ {x})}

{\ displaystyle (\ partial _ {X} f) (x) = \ mathrm {d} f_ {x} (X_ {x})}

Acesta este un caz special (unul în care metrica $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este cel „plat” dat de produsul interior) din următoarea definiție. Gradientul $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ este câmpul vectorial asociat cu forma diferențială 1 $\mathrm {d} f$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f}$ $\ mathrm d f$ folosind izomorfism muzical :

\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM,

{\ displaystyle \ sharp = \ sharp ^ {g} \ colon T ^ {*} M \ to TM,}

\ sharp = \ sharp ^ {g} \ colon T ^ {*} M \ to TM,

definit de metrica $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Aproximarea liniară a unei funcții

Același subiect în detaliu: Aproximarea diferențială (matematică) și liniară .

Gradientul unei funcții $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ R ^ n \ to \ R$ în fiecare moment $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x_0 \ in \ R ^ n$ caracterizează cea mai bună aproximare liniară a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la punctul:

f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})

{\ displaystyle f (x) \ approx f (x_ {0}) + (\ nabla f) _ {x_ {0}} \ cdot (x-x_ {0})}

f (x) \ approx f (x_0) + (\ nabla f) _ {x_0} \ cdot (x-x_0)

pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aproape $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , cu $(\nabla f)_{x_{0}}$ ${\ displaystyle (\ nabla f) _ {x_ {0}}}$ $(\ nabla f) _ {x_0}$ gradientul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ calculat în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Această expresie este echivalentă cu extinderea serie Taylor a unei funcții multi-variabile în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Cea mai bună aproximare liniară la o funcție $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este o hartă liniară din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ respectiva diferențială sau derivată totală a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , și notat cu $\mathrm {d} f_{x}(v)$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f_ {x} (v)}$ ${\ mathrm d} f_ {x} (v)$ . Gradientul este legat de diferențial prin relația:

(\nabla f)_{x}\cdot v=\mathrm {d} f_{x}(v)\qquad \forall v\in \mathbb {R} ^{n}.

{\ displaystyle (\ nabla f) _ {x} \ cdot v = \ mathrm {d} f_ {x} (v) \ qquad \ forall v \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}

(\ nabla f) _ {x} \ cdot v = {\ mathrm d} f_ {x} (v) \ qquad \ forall v \ in \ mathbb {R} ^ {n}.

Functia $\mathrm {d} f$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f}$ $\ mathrm d f$ ce hartă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $\mathrm {d} f_{x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f_ {x}}$ $\ mathrm d f_x$ se mai numește derivat diferențial sau extern și este o formă diferențială 1.

Gradient în diferite sisteme de coordonate

Coordonate polare

În $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ pot fi introduse alte sisteme de referință , cum ar fi cel polar:

{\begin{cases}x=x_{0}+\rho \cos \phi \\y=y_{0}+\rho \,\sin \phi \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} + \ rho \ cos \ phi \\ y = y_ {0} + \ rho \, \ sin \ phi \ end {cases}}}

{\ begin {cases} x = x_ {0} + \ rho \ cos \ phi \\ y = y_ {0} + \ rho \, \ sin \ phi \ end {cases}}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ reprezintă coordonata radială e $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ coordonata unghiulară. Pentru a calcula gradientul unei funcții $f=f(\rho ;\phi )$ ${\ displaystyle f = f (\ rho; \ phi)}$ ${\ displaystyle f = f (\ rho; \ phi)}$ este suficient să efectuați transformarea:

\nabla f(\rho ;\phi )=\left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{y}

{\ displaystyle \ nabla f (\ rho; \ phi) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} \ right) \ mathbf {e} _ {x} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} { \ partial y}} \ right) \ mathbf {e} _ {y}}

{\ displaystyle \ nabla f (\ rho; \ phi) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} \ right) \ mathbf {e} _ {x} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} { \ partial y}} \ right) \ mathbf {e} _ {y}}

.

Amintindu-mi că:

{\begin{cases}\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}\\\phi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ rho ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} \\\ phi = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \ end {cases}}}

\ begin {cases} \ rho ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 \\ \ phi = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {cases}

obținem următoarele derivate:

{\frac {\partial \rho }{\partial x}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\cos \phi

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x}} = {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} = \ cos \ phi}

\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x} = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} = \ cos \ phi

{\frac {\partial \rho }{\partial y}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\sin \phi

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial y}} = {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} = \ sin \ phi}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial y}} = {\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}} = \ sin \ phi

{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {\sin \phi }{\rho }}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} = - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = - {\ frac {\ sin \ phi } {\ rho}}}

{\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} = - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = - {\ frac {\ sin \ phi} {\ rho}}

{\frac {\partial \phi }{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\cos \phi }{\rho }}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ frac {\ cos \ phi} { \ rho}}}

\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} = \ frac {\ cos \ phi} {\ rho}

scriind vectorii bazei carteziene ca:

\mathbf {e} _{x}=\cos \phi \,\mathbf {e} _{\rho }-\sin \phi \,\mathbf {e} _{\phi }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ rho} - \ sin \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ phi}}

{\ mathbf {e}} _ {{x}} = \ cos \ phi \, {\ mathbf {e}} _ {{\ rho}} - \ sin \ phi \, {\ mathbf {e}} _ { {\ phi}}

\mathbf {e} _{y}=\sin \phi \,\mathbf {e} _{\rho }+\cos \phi \,\mathbf {e} _{\phi }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {y} = \ sin \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ phi}}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {y} = \ sin \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ phi}}

și înlocuind expresiile găsite în ecuația gradientului avem:

{\begin{aligned}\nabla f(\rho \,;\phi )=&\left(\cos \phi {\frac {\partial f}{\partial \rho }}-{\frac {\sin \phi }{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi \,\mathbf {e} _{\rho }-\sin \phi \,\mathbf {e} _{\phi }\right)\,+\\&+\,\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {\cos \phi }{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)\left(\sin \phi \,\mathbf {e} _{\rho }+\cos \phi \,\mathbf {e} _{\phi }\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla f (\ rho \ ,; \ phi) = & \ left (\ cos \ phi {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} - {\ frac { \ sin \ phi} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \ right) \ left (\ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ rho} - \ sin \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ phi} \ right) \, + \\ & + \, \ left (\ sin \ phi {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} + { \ frac {\ cos \ phi} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \ right) \ left (\ sin \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ phi} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla f (\ rho \ ,; \ phi) = & \ left (\ cos \ phi {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} - {\ frac { \ sin \ phi} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \ right) \ left (\ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ rho} - \ sin \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ phi} \ right) \, + \\ & + \, \ left (\ sin \ phi {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} + { \ frac {\ cos \ phi} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \ right) \ left (\ sin \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + \ cos \ phi \, \ mathbf {e} _ {\ phi} \ right) \ end {align}}}

Prin urmare, simplificând, gradientul în coordonate polare devine vectorul:

\nabla f(\rho ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\phi }.

{\ displaystyle \ nabla f (\ rho, \ phi) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \, \ mathbf {e} _ {\ phi}.}

\ nabla f (\ rho, \ phi) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \, {\ mathbf {e}} _ {{\ rho}} + {\ frac {1} { \ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \, {\ mathbf {e}} _ {{\ phi}}.

Coordonate sferice

În $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ puteți utiliza coordonatele sferice:

{\begin{cases}x=\rho \sin \theta \cos \phi \\y=\rho \sin \theta \sin \phi \\z=\rho \cos \theta \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = \ rho \ sin \ theta \ cos \ phi \\ y = \ rho \ sin \ theta \ sin \ phi \\ z = \ rho \ cos \ theta \ end {cases} }}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = \ rho \ sin \ theta \ cos \ phi \\ y = \ rho \ sin \ theta \ sin \ phi \\ z = \ rho \ cos \ theta \ end {cases} }}

Urmând procedura introdusă pentru coordonatele polare plane, gradientul în coordonate sferice devine vectorul:

\nabla f(\rho ,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\,\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{\rho \,\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\phi }

{\ displaystyle \ nabla f (\ rho, \ theta, \ phi) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + {\ frac {1 } {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \, \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {1} {\ rho \, \ sin \ theta} } {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \, \ mathbf {e} _ {\ phi}}

\ nabla f (\ rho, \ theta, \ phi) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \, {\ mathbf {e}} _ {{\ rho}} + {\ frac { 1} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \, {\ mathbf {e}} _ {{\ theta}} + {\ frac {1} {\ rho \, \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \, {\ mathbf {e}} _ {{\ phi}}

Gradient în coordonate cilindrice

Coordonate cilindrice

În coordonate cilindrice :

{\begin{cases}x=\rho \cos \phi \\y=\rho \sin \phi \\z=z\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = \ rho \ cos \ phi \\ y = \ rho \ sin \ phi \\ z = z \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = \ rho \ cos \ phi \\ y = \ rho \ sin \ phi \\ z = z \ end {cases}}}

urmând procedura introdusă pentru coordonatele polare plane, gradientul devine vectorul:

\nabla f(\rho ,\phi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\,\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,\mathbf {e} _{z}

{\ displaystyle \ nabla f (\ rho, \ phi, z) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \, \ mathbf {e} _ {z}}

\ nabla f (\ rho, \ phi, z) = \ frac {\ partial f} {\ partial \ rho} \, \ mathbf {e} _ {\ rho} + \ frac {1} {\ rho} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \, \ mathbf {e} _ {\ phi} + \ frac {\ partial f} {\ partial z} \, \ mathbf {e} _ {z}

Coordonate curvilinee

În coordonatele curvilinei ortogonale, când metrica este dată de $ds^{2}=g_{j}dx_{j}^{2}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {j} dx_ {j} ^ {2}}$ $ds ^ {2} = g_ {j} dx_ {j} ^ {2}$ , gradientul $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ într-un punct este vectorul:

\nabla f={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {1} {h_ {1}}} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} \ mathbf {e} _ {1} + {\ frac {1} {h_ {2}}} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {2}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ frac {1} {h_ {3}}} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {3}}} \ mathbf {e} _ {3}}

\ nabla f = \ frac {1} {h_1} \ frac {\ partial f} {\ partial x_1} \ mathbf {e} _1 + \ frac {1} {h_2} \ frac {\ partial f} {\ partial x_2 } \ mathbf {e} _2 + \ frac {1} {h_3} \ frac {\ partial f} {\ partial x_3} \ mathbf {e} _3

unde este $h_{j}={\sqrt {g_{j}^{2}}}$ ${\ displaystyle h_ {j} = {\ sqrt {g_ {j} ^ {2}}}}$ $h_j = \ sqrt {g_j ^ 2}$ si cu $\mathbf {e} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$ $\ mathbf {e} _i$ este indicat versorul direcției $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -thth (cu toate elementele nule, cu excepția $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea care este 1).

Dacă sistemul este bidimensional și coordonatele sunt curbiliniare $(u,v)$ ${\ displaystyle (u, v)}$ $(u, v)$ , gradientul funcției $f(u,v)$ ${\ displaystyle f (u, v)}$ ${\ displaystyle f (u, v)}$ devine:

{\vec {\nabla }}f={\frac {1}{EG-F^{2}}}\left[{\sqrt {E}}\left(G{\frac {\partial f}{\partial u}}-F{\frac {\partial f}{\partial v}}\right){\hat {e}}_{u}+{\sqrt {G}}\left(E{\frac {\partial f}{\partial v}}-F{\frac {\partial f}{\partial u}}\right){\hat {e}}_{v}\right]

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f = {\ frac {1} {EG-F ^ {2}}} \ left [{\ sqrt {E}} \ left (G {\ frac {\ partial f } {\ partial u}} - F {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} \ right) {\ hat {e}} _ {u} + {\ sqrt {G}} \ left (E { \ frac {\ partial f} {\ partial v}} - F {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \ right) {\ hat {e}} _ {v} \ right]}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f = {\ frac {1} {EG-F ^ {2}}} \ left [{\ sqrt {E}} \ left (G {\ frac {\ partial f } {\ partial u}} - F {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} \ right) {\ hat {e}} _ {u} + {\ sqrt {G}} \ left (E { \ frac {\ partial f} {\ partial v}} - F {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \ right) {\ hat {e}} _ {v} \ right]}

unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt intrările tensorului metric $(g_{ik})={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle (g_ {ik}) = {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle (g_ {ik}) = {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}}}$ . Într-adevăr, deoarece gradientul poate fi exprimat ca ${\vec {\nabla }}=A{\hat {e}}_{u}+B{\hat {e}}_{v}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = A {\ hat {e}} _ {u} + B {\ hat {e}} _ {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = A {\ hat {e}} _ {u} + B {\ hat {e}} _ {v}}$ (cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ de determinat), diferențialul funcției din acel sistem devine

{\begin{aligned}df&={\vec {\nabla }}f\cdot d{\vec {P}}\\&=(A{\hat {e}}_{u}+B{\hat {e}}_{v})\cdot ({\sqrt {E}}\,du\,{\hat {e}}_{u}+{\sqrt {G}}\,dv\,{\hat {e}}_{v})\\&=(A+B\cos {\alpha }){\sqrt {E}}\,du+(B+A\cos {\alpha }){\sqrt {G}}\,dv\\&={\frac {\partial f}{\partial u}}du+{\frac {\partial f}{\partial v}}dv\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} df & = {\ vec {\ nabla}} f \ cdot d {\ vec {P}} \\ & = (A {\ hat {e}} _ {u} + B {\ hat {e}} _ {v}) \ cdot ({\ sqrt {E}} \, du \, {\ hat {e}} _ {u} + {\ sqrt {G}} \, dv \ , {\ hat {e}} _ {v}) \\ & = (A + B \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {E}} \, du + (B + A \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {G}} \, dv \\ & = {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} dv \ end {align} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} df & = {\ vec {\ nabla}} f \ cdot d {\ vec {P}} \\ & = (A {\ hat {e}} _ {u} + B {\ hat {e}} _ {v}) \ cdot ({\ sqrt {E}} \, du \, {\ hat {e}} _ {u} + {\ sqrt {G}} \, dv \ , {\ hat {e}} _ {v}) \\ & = (A + B \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {E}} \, du + (B + A \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {G}} \, dv \\ & = {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} dv \ end {align} }}

.

Rezolvând astfel sistemul

{\begin{cases}{\dfrac {\partial f}{\partial u}}=(A+B\cos {\alpha }){\sqrt {E}}\\{\dfrac {\partial f}{\partial v}}=(B+A\cos {\alpha }){\sqrt {G}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial f} {\ partial u}} = (A + B \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {E}} \\ {\ dfrac {\ partial f} {\ partial v}} = (B + A \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {G}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial f} {\ partial u}} = (A + B \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {E}} \\ {\ dfrac {\ partial f} {\ partial v}} = (B + A \ cos {\ alpha}) {\ sqrt {G}} \ end {cases}}}

și amintindu-mi că $\cos {\alpha }={\frac {F}{\sqrt {EG}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ alpha} = {\ frac {F} {\ sqrt {EG}}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ alpha} = {\ frac {F} {\ sqrt {EG}}}}$ (cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ unghi între cele două direcții), se demonstrează afirmația inițială.

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lecții de analiză matematică datorate , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 .
( EN ) W. Kaplan, The Gradient Field §3.3 în Advanced Calculus , ediția a 4-a, Reading , Addison-Wesley, 1991, pp. 183–185.
( EN ) PM Morse și H. Feshbach, Gradientul în metodele fizicii teoretice Partea I , New York, McGraw-Hill, 1953, pp. 31-32.
( EN ) HM Schey, Div, Grad, Curl, and All That: Un Informal Text on Vector Calculus , ediția a 3-a, New York, WW Norton, 1997.

Elemente conexe

Derivată Covariantă
Derivată direcțională , definibilă și prin gradientul funcției
Derivată parțială
Divergenţă
Funcție diferențiată
Gradient ionic
Matrice iacobiană
Linia de rezistență minimă
Nabla
Potențial vectorial , definit până la gradientul unei funcții
Rotor (matematică)
Subgradient
Teorema gradientului

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ gradient ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu gradient

linkuri externe

( EN ) LP Kuptsov, Gradient , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Gradient , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Gradient (video) | Khan Academy , pe khanacademy.org , Khan Academy .
( RO ) IUPAC Gold Book, „gradient” , pe goldbook.iupac.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy