Izomorfism muzical

Izomorfismul muzical este un izomorfism între un spațiu vectorial real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și spațiul său dual $V^{*},$ ${\ displaystyle V ^ {*},}$ ${\ displaystyle V ^ {*},}$ care este indusă de o formă bilineară simetrică nedegenerată . În contextul geometriei riemanniene , este un izomorfism între pachetul tangent $T(M)$ ${\ displaystyle T (M)}$ ${\ displaystyle T (M)}$ a unei varietăți riemanniene $(M,g)$ ${\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ și pachetul său cotangent $T^{*}(M),$ ${\ displaystyle T ^ {*} (M),}$ ${\ displaystyle T ^ {*} (M),}$ care este indusă de metrică $g .$ ${\ displaystyle g.}$ ${\ displaystyle g.}$

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial real de dimensiune finită. Se știe că $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și dublul său $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ deși au aceeași dimensiune, nu sunt canomice izomorfe. Cu toate acestea, o formă bilineară simetrică nedegenerată este fixă $g(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle g (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle g (\ cdot, \ cdot)}$ pe $V.,$ ${\ displaystyle V,}$ ${\ displaystyle V,}$ verifică dacă harta

V\to V^{*}:{\mathbf {v} }\mapsto g({\mathbf {v} },\cdot )

{\ displaystyle V \ to V ^ {*}: {\ mathbf {v}} \ mapsto g ({\ mathbf {v}}, \ cdot)}

{\ displaystyle V \ to V ^ {*}: {\ mathbf {v}} \ mapsto g ({\ mathbf {v}}, \ cdot)}

este un izomorfism spațial vector, care se numește izomorfism muzical și este indicat de simbolul plat $\flat .$ ${\ displaystyle \ flat.}$ ${\ displaystyle \ flat.}$ Inversul său, care este un izomorfism $V^{*}\to V,$ ${\ displaystyle V ^ {*} \ to V,}$ ${\ displaystyle V ^ {*} \ to V,}$ în schimb este notat cu simbolul ascuțit $\#.$ ${\ displaystyle \ #.}$ ${\ displaystyle \ #.}$ În cazul unei varietăți riemanniene $(M,g)$ ${\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ metrica $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ definește în fiecare punct $p\in M$ ${\ displaystyle p \ în M}$ $p \ în M$ o formă bilineară simetrică nedegenerată $g_{p}(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle g_ {p} (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle g_ {p} (\ cdot, \ cdot)}$ și deci a izomorfismelor

\flat \colon T_{p}(M)\to T_{p}^{*}(M)

{\ displaystyle \ flat \ colon T_ {p} (M) \ to T_ {p} ^ {*} (M)}

{\ displaystyle \ flat \ colon T_ {p} (M) \ to T_ {p} ^ {*} (M)}

Și

\#\colon T_{p}^{*}(M)\to T_{p}(M)

{\ displaystyle \ # \ colon T_ {p} ^ {*} (M) \ to T_ {p} (M)}

{\ displaystyle \ # \ colon T_ {p} ^ {*} (M) \ to T_ {p} (M)}

între spațiul tangent $T_{p}(M)$ ${\ displaystyle T_ {p} (M)}$ $T_ {p} (M)$ și spațiul cotangent $T_{p}^{*}(M),$ ${\ displaystyle T_ {p} ^ {*} (M),}$ ${\ displaystyle T_ {p} ^ {*} (M),}$ acestea se extind la izomorfisme dintre fasciculul tangent și fasciculul cotangent al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Originea numelui

Originea numelui de izomorfism „muzical” este înțeleasă prin scrierea vectorilor în componente. Este $\{{\mathbf {e} }_{1},\ldots ,{\mathbf {e} }_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {e}} _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {e}} _ {n} \}}$ o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și fie $\{{\mathbf {e} }^{1},\ldots ,{\mathbf {e} }^{n}\}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} ^ {1}, \ ldots, {\ mathbf {e}} ^ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathbf {e}} ^ {1}, \ ldots, {\ mathbf {e}} ^ {n} \}}$ baza dual corespunzătoare a $V^{*},$ ${\ displaystyle V ^ {*},}$ ${\ displaystyle V ^ {*},}$ adică merită ${\mathbf {e} }^{i}({\mathbf {e} }_{j})=\delta _{j}^{i},$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} ^ {i} ({\ mathbf {e}} _ {j}) = \ delta _ {j} ^ {i},}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} ^ {i} ({\ mathbf {e}} _ {j}) = \ delta _ {j} ^ {i},}$ unde este $\delta _{j}^{i}$ ${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$ $\ delta _ {j} ^ {i}$ este delta Kronecker . Lasă-i să fie atunci $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ componentele formei biliniare $g(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle g (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle g (\ cdot, \ cdot)}$ decât baza ${\mathbf {e} }^{i}\otimes {\mathbf {e} }^{j}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} ^ {i} \ otimes {\ mathbf {e}} ^ {j}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {e}} ^ {i} \ otimes {\ mathbf {e}} ^ {j}}$ , sau $g=g_{ij}{\mathbf {e} }^{i}\otimes {\mathbf {e} }^{j},$ ${\ displaystyle g = g_ {ij} {\ mathbf {e}} ^ {i} \ otimes {\ mathbf {e}} ^ {j},}$ ${\ displaystyle g = g_ {ij} {\ mathbf {e}} ^ {i} \ otimes {\ mathbf {e}} ^ {j},}$ unde convenția lui Einstein a fost utilizată pentru sume peste indici repetați. Apoi pentru un vector generic ${\mathbf {v} }=v^{i}{\mathbf {e} }_{i}\in V$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} = v ^ {i} {\ mathbf {e}} _ {i} \ în V}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} = v ^ {i} {\ mathbf {e}} _ {i} \ în V}$ componentele $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ din ${\mathbf {v} }^{\flat },$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {\ flat},}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {\ flat},}$ adică scalarele care satisfac ${\mathbf {v} }^{\flat }=v_{i}{\mathbf {e} }^{i},$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {\ flat} = v_ {i} {\ mathbf {e}} ^ {i},}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {\ flat} = v_ {i} {\ mathbf {e}} ^ {i},}$ sunt date de $v_{i}=v^{j}g_{ij}.$ ${\ displaystyle v_ {i} = v ^ {j} g_ {ij}.}$ ${\ displaystyle v_ {i} = v ^ {j} g_ {ij}.}$ Această ultimă operație „scade indicii” în mod similar cu modul în care platul scade tonul notelor muzicale. În mod similar, relația $v^{i}=v_{j}g^{ij},$ ${\ displaystyle v ^ {i} = v_ {j} g ^ {ij},}$ ${\ displaystyle v ^ {i} = v_ {j} g ^ {ij},}$ unde este $g^{ij}$ ${\ displaystyle g ^ {ij}}$ $g ^ {{ij}}$ sunt componentele matricei inverse ale matricei componente $g_{ij},$ ${\ displaystyle g_ {ij},}$ ${\ displaystyle g_ {ij},}$ vă permite să "ridicați degetele arătătoare", cum ar fi $\#$ ${\ displaystyle \ #}$ $\ #$ ridică tonul notelor muzicale.

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
( EN ) RL Bishop și SI Goldberg,Tensor Analysis on Manifolds , First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6 .
( EN ) William Boothby, O introducere la varietăți diferențiate și geometria Riemanniană , Matematică pură și aplicată, volumul 120, ediția a II-a, Orlando FL, Academic Press, 1986, ISBN 0-12-116053-X .
( EN ) Pedro Martinez Gadea, Jaime Muänoz Masquâe, Analysis and Algebra on Differential Manifolds , Springer, 2009, ISBN 90-481-3564-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică