Spațiul cotangent

În geometria diferențială, spațiul cotangent este un câmp vector care poate fi asociat cu orice punct al unui distribuitor diferențiat . De obicei, spațiul cotangent este definit ca spațiul dual al spațiului tangent la o varietate diferențiată, deși există și alte definiții. Elementele spațiului cotangent pot fi numite în diferite moduri, inclusiv vectori cotangenti, vectori covarianți sau covectori tangenți (mai simplu covectori).

Proprietate

Toate spațiile cotangente ale unui distribuitor au aceeași dimensiune, egală cu dimensiunea distribuitorului. Toate spațiile cotangente pot fi „lipite” pentru a forma pachetul cotangent al soiului, analog pachetului tangent .

Spațiile tangente și cotangente sunt spații vectoriale izomorfe punct cu punct prin diferite izomorfisme posibile. Introducerea unei metrice riemanniene sau a unei forme simplectice creează un izomorfism punctual natural între spațiile tangente și cotangente, asociind un vector tangent canonic fiecărui covector tangent și invers.

Definiții formale

Definiția ca funcțional liniar

Fie M o varietate diferențiată și fie x un punct al lui M. Fie T _x M spațiul tangent la x . Apoi, spațiul cotangent este definit ca spațiul dual al lui T _x M:

T_{x}^{*}M=(T_{x}M)^{*}

{\ displaystyle T_ {x} ^ {*} M = (T_ {x} M) ^ {*}}

{\ displaystyle T_ {x} ^ {*} M = (T_ {x} M) ^ {*}}

Concret, aceasta înseamnă că elementele spațiului cotangent sunt funcționale liniare care operează pe spațiul tangent T _x M : dacă $\alpha \in T_{x}^{*}M$ ${\ displaystyle \ alpha \ în T_ {x} ^ {*} M}$ ${\ displaystyle \ alpha \ în T_ {x} ^ {*} M}$ asa de:

\alpha \,:\,T_{x}M\rightarrow \mathbb {R}

{\ displaystyle \ alpha \ ,: \, T_ {x} M \ rightarrow \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ alpha \ ,: \, T_ {x} M \ rightarrow \ mathbb {R}}