Spațiul tangent

Planul tangent la un punct al unei sfere . Spațiul tangent generalizează acest concept la varietăți de dimensiuni arbitrare.

Spațiul tangent al unui distribuitor este o entitate care permite generalizarea conceptului de plan tangent la o suprafață și extinderea definiției unui vector de la spații afine la orice distribuitor .

Intuitiv, conceptul de spațiu tangent apare în topologia diferențială ca spațiul format de toate direcțiile posibile ale curbelor care trec printr-un punct al unei varietăți diferențiate . Dimensiunea spațiului tangent este egală cu cea a varietății luate în considerare.

Definiția spațiului tangent poate fi generalizată și la structuri precum varietăți algebrice , unde dimensiunea spațiului tangent este cel puțin egală cu cea a varietății. Punctele în care cele două dimensiuni coincid se numesc non-singular , celelalte singular . De exemplu, o curbă împletită are mai multe tangente la nodurile sale.

Spațiile tangente ale unui colector pot fi „lipite” împreună pentru a forma pachetul tangent , un colector nou care este de două ori mai mare decât colectorul original.

Definiție

Există numeroase definiții echivalente pentru spațiul tangent al unei varietăți, care pornesc de la cel mai intuitiv și apropiat de conceptul de plan tangent la o suprafață, pentru a ajunge la cele mai abstracte, care prezintă o generalitate mai mare.

Soiuri scufundate

Spațiul tangent este spațiul tuturor vectorilor tangenți la curbele care trec prin punct.

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată conținută într-un spațiu euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Spațiul tangent la un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este spațiul format de vectorii tangenți la toate curbele din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ trecători pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Mai formal, este spațiul format de toți vectorii

\gamma '(0)

{\ displaystyle \ gamma '(0)}

{\ displaystyle \ gamma '(0)}

dupa cum $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ între curbele diferențiate

\gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ gamma: (- \ varepsilon, \ varepsilon) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ gamma: (- \ varepsilon, \ varepsilon) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

definit pentru unii $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ , având imagine în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ si cu $\gamma (0)=x$ ${\ displaystyle \ gamma (0) = x}$ ${\ displaystyle \ gamma (0) = x}$ . Aici $\gamma '$ ${\ displaystyle \ gamma '}$ ${\ displaystyle \ gamma '}$ indică tangenta lui $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ , acesta este vectorul derivatelor sale.

Spațiul tangent a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este indicat de obicei cu

T_{x}M.

{\ displaystyle T_ {x} M.}

{\ displaystyle T_ {x} M.}

Definiție prin direcții de curbe

Definiția tocmai dată poate fi extinsă în mod adecvat la o varietate diferențiată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ abstract, adică definit mai intrinsec ca un spațiu topologic cu hărți în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și funcții de tranziție diferențiate , de clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ cu $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ $k \ geq 1$ .

Este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un punct al soiului e

\phi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ phi: U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ phi: U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}

o carte definită într-o deschidere $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ care contine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Lasa-i sa fie

{\begin{matrix}\gamma _{1}:&\left(-\varepsilon ,\varepsilon \right)&\rightarrow M\\\gamma _{2}:&\left(-\varepsilon ,\varepsilon \right)&\rightarrow M\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ gamma _ {1}: & \ left (- \ varepsilon, \ varepsilon \ right) & \ rightarrow M \\\ gamma _ {2}: & \ left (- \ varepsilon, \ varepsilon \ right) & \ rightarrow M \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ gamma _ {1}: & \ left (- \ varepsilon, \ varepsilon \ right) & \ rightarrow M \\\ gamma _ {2}: & \ left (- \ varepsilon, \ varepsilon \ right) & \ rightarrow M \ end {matrix}}}

două curbe diferențiate, adică astfel încât $\phi \circ \gamma _{1}$ ${\ displaystyle \ phi \ circ \ gamma _ {1}}$ ${\ displaystyle \ phi \ circ \ gamma _ {1}}$ Și $\phi \circ \gamma _{2}$ ${\ displaystyle \ phi \ circ \ gamma _ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi \ circ \ gamma _ {2}}$ sunt derivabile în 0. Curbele $\gamma _{1}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1}$ Și $\gamma _{2}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ se numesc tangente în 0 dacă coincid în 0 și derivatele lor coincid și prin hartă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ :

{\begin{matrix}\gamma _{1}(0)&=&\gamma _{2}(0)&=&x\\(\phi \circ \gamma _{1})'(0)&=&(\phi \circ \gamma _{2})'(0)\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ gamma _ {1} (0) & = & \ gamma _ {2} (0) & = & x \\ (\ phi \ circ \ gamma _ {1}) '( 0) & = & (\ phi \ circ \ gamma _ {2}) '(0) \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ gamma _ {1} (0) & = & \ gamma _ {2} (0) & = & x \\ (\ phi \ circ \ gamma _ {1}) '( 0) & = & (\ phi \ circ \ gamma _ {2}) '(0) \ end {matrix}}}

Tangenta dintre curbe este o relație de echivalență ; clasele de echivalență se numesc vectori tangenți ai varietății $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în sens $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și sunt scrise ca $\gamma '(0)$ ${\ displaystyle \ gamma '(0)}$ ${\ displaystyle \ gamma '(0)}$ . Setul tuturor vectorilor tangenți nu depinde de carte $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ și se numește spațiu tangent a $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în sens $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Fiecare vector tangent reprezintă direcția unei curbe care trece prin $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Definiție prin derivări

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată . Setul de funcții infinit diferențiabile de pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este definit de

C^{\infty }(M)=\left\{g\colon M\rightarrow \mathbb {R} \mid g\circ \phi ^{-1}\mathrm {\scriptstyle infinitamente} \;\mathrm {\scriptstyle differenziabile} \;\mathrm {\scriptstyle per} \;\mathrm {\scriptstyle ogni} \;\mathrm {\scriptstyle carta} \;\phi \colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\right\},

{\ displaystyle C ^ {\ infty} (M) = \ left \ {g \ colon M \ rightarrow \ mathbb {R} \ mid g \ circ \ phi ^ {- 1} \ mathrm {\ scriptstyle infinit} \; \ mathrm {\ scriptstyle differentiable} \; \ mathrm {\ scriptstyle for} \; \ mathrm {\ scriptstyle each} \; \ mathrm {\ scriptstyle paper} \; \ phi \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n } \ dreapta \},}

{\ displaystyle C ^ {\ infty} (M) = \ left \ {g \ colon M \ rightarrow \ mathbb {R} \ mid g \ circ \ phi ^ {- 1} \ mathrm {\ scriptstyle infinit} \; \ mathrm {\ scriptstyle differentiable} \; \ mathrm {\ scriptstyle for} \; \ mathrm {\ scriptstyle each} \; \ mathrm {\ scriptstyle paper} \; \ phi \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n } \ dreapta \},}

și are o structură algebrică asociativă reală, cu suma și produsul funcțiilor definite după cum urmează:

{\begin{matrix}(f+g)(x)&=&f(x)+g(x),\\(fg)(x)&=&f(x)g(x).\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} (f + g) (x) & = & f (x) + g (x), \\ (fg) (x) & = & f (x) g (x). \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} (f + g) (x) & = & f (x) + g (x), \\ (fg) (x) & = & f (x) g (x). \ end {matrix}}}

A ales un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , o derivare în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este o funcție liniară

D\colon C^{\infty }(M)\rightarrow \mathbb {R}

{\ displaystyle D \ colon C ^ {\ infty} (M) \ rightarrow \ mathbb {R}}

{\ displaystyle D \ colon C ^ {\ infty} (M) \ rightarrow \ mathbb {R}}

astfel încât pentru fiecare $g, h$ ${\ displaystyle g, h}$ ${\ displaystyle g, h}$ în $C^{\infty }(M)$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$ relația este valabilă (analog regulii Leibnitz )

D(gh)=D(g)\cdot h(x)+g(x)\cdot D(h).

{\ displaystyle D (gh) = D (g) \ cdot h (x) + g (x) \ cdot D (h).}

{\ displaystyle D (gh) = D (g) \ cdot h (x) + g (x) \ cdot D (h).}

Mulțimea derivațiilor este un spațiu vectorial numit spațiu tangent și notat cu $T_{x}(M)$ ${\ displaystyle T_ {x} (M)}$ $T_ {x} (M)$ .

Relația dintre această definiție și cea precedentă este următoarea: o curbă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ pictogramă tangentă $\gamma '(0)$ ${\ displaystyle \ gamma '(0)}$ ${\ displaystyle \ gamma '(0)}$ localizați derivarea

D(g)=(g\circ \gamma )^{\prime }(0).

{\ displaystyle D (g) = (g \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0).}

{\ displaystyle D (g) = (g \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0).}

Pe de altă parte, fiecare derivare este identificată printr-o curbă adecvată.

Definiție prin spațiu cotangent

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate ${C^{\infty }}$ ${\ displaystyle {C ^ {\ infty}}}$ ${\ displaystyle {C ^ {\ infty}}}$ Și ${x}$ ${\ displaystyle {x}}$ ${\ displaystyle {x}}$ un punct de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Funcțiile din ${C^{\infty }(M)}$ ${\ displaystyle {C ^ {\ infty} (M)}}$ ${\ displaystyle {C ^ {\ infty} (M)}}$ care anulează $X$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ constituie un ideal al inelului ${C^{\infty }(M)}$ ${\ displaystyle {C ^ {\ infty} (M)}}$ ${\ displaystyle {C ^ {\ infty} (M)}}$ .

Idealurile $THE$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle I}$ Și ${I^{2}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ ele sunt, de asemenea, spații vectoriale și coeficientul lor ${{I}/{I^{2}}}$ ${\ displaystyle {{I} / {I ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {{I} / {I ^ {2}}}}$ este spațiul cotangent al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ . Dualul acestui spațiu este definit ca spațiul tangent al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ .

Această definiție mai abstractă poate fi ușor extinsă la structuri precum soiurile algebrice . Relația cu definiția anterioară este următoarea: dată unei derivări $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și o funcție $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în ${I^{2}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ , din regula produsului este ușor de obținut ^[1] ${D(g)=0}$ ${\ displaystyle {D (g) = 0}}$ ${\ displaystyle {D (g) = 0}}$ . Urmează apoi că $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ generează în mod natural o funcție liniară din ${{I}/{I^{2}}}$ ${\ displaystyle {{I} / {I ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {{I} / {I ^ {2}}}}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

În schimb, o funcție liniară

r\colon I/I^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,

{\ displaystyle r \ colon I / I ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R},}

{\ displaystyle r \ colon I / I ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R},}

determină derivarea

D(g)=r((g-g(x))+I^{2}).

{\ displaystyle D (g) = r ((dd (x)) + I ^ {2}).}

{\ displaystyle D (g) = r ((g-g (x)) + I ^ {2}).}

Derivată a unei hărți

O aplicație diferențiată (numită și hartă ) între soiuri $f:\,V\rightarrow W$ ${\ displaystyle f: \, V \ rightarrow W}$ ${\ displaystyle f: \, V \ rightarrow W}$ induce o aplicație liniară între spațiile tangente corespunzătoare:

{\begin{matrix}(df)_{p}:&T_{p}V&\rightarrow &T_{f(p)}W\\&\gamma ^{\prime }(0)&\mapsto &(f\circ \gamma )^{\prime }(0)\\&D(g)&\mapsto &D(g\circ f),\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} (df) _ {p}: & T_ {p} V & \ rightarrow & T_ {f (p)} W \\ & \ gamma ^ {\ prime} (0) & \ mapsto & (f \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0) \\ & D (g) & \ mapsto & D (g \ circ f), \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} (df) _ {p}: & T_ {p} V & \ rightarrow & T_ {f (p)} W \\ & \ gamma ^ {\ prime} (0) & \ mapsto & (f \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0) \\ & D (g) & \ mapsto & D (g \ circ f), \ end {matrix}}}

unde prima definiție este valabilă pentru spațiile tangente definite prin direcția curbelor, a doua pentru spațiile tangente definite prin derivări.

Harta $df_{p}$ ${\ displaystyle df_ {p}}$ $df_ {p}$ (scris și ca $Tf_{p}$ ${\ displaystyle Tf_ {p}}$ $Tf_ {p}$ , $Df_{p}$ ${\ displaystyle Df_ {p}}$ $Df_ {p}$ , $f_{*}$ ${\ displaystyle f _ {*}}$ $f _ {*}$ , $f'(p)$ ${\ displaystyle f '(p)}$ $f '(p)$ ) se numește harta diferențială sau tangentă ^[2] a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , și reprezintă cea mai bună aproximare liniară a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în jurul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . În coordonatele locale determinate de o hartă, derivata lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi reprezentat cu iacobianul său. De sine $W=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle W = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle W = \ mathbb {R}}$ , definiția dată coincide cu cea obișnuită a diferențialului .

Mai mult, se menține următoarea teoremă, care este o extensie a teoremei funcției inverse între varietăți: dacă $f:\,V\rightarrow W$ ${\ displaystyle f: \, V \ rightarrow W}$ ${\ displaystyle f: \, V \ rightarrow W}$ este un difeomorfism de varietate locală în acest sens $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , apoi diferențialul $df_{p}$ ${\ displaystyle df_ {p}}$ $df_ {p}$ este un izomorfism între spațiile tangente corespunzătoare. Dimpotrivă, dacă $df_{p}$ ${\ displaystyle df_ {p}}$ $df_ {p}$ este un izomorfism, există o vecinătate deschisă a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ din care este cartografiat difeomorf $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ .

Aplicații ale spațiilor tangente

Introducerea spațiilor tangente permite definirea multor alte structuri pe varietate; de exemplu, este posibil să se definească câmpuri vectoriale , care reprezintă abstractizarea câmpurilor de viteză ale particulelor care se deplasează pe colector. Prin câmpurile vectoriale este posibil să se asocieze un vector fiecărui punct al varietății, permițând de exemplu definirea ecuațiilor diferențiale pe varietate, ale cărei soluții sunt curbe diferențiate a căror derivată este punct cu punct egală cu vectorul aparținând câmpului vectorial .

Vectorii tangenți ca derivați direcționali

Având în vedere un vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ , derivata direcțională a unei hărți $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și:

{\begin{matrix}D_{\mathbf {v} }f:&\mathbb {R} ^{n}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&p&\mapsto &{\frac {d}{dt}}{\bigg |}_{t=0}f(p+tv)=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p).\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} D _ {\ mathbf {v}} f: & \ mathbb {R} ^ {n} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & p & \ mapsto & {\ frac {d} {dt}} {\ bigg |} _ {t = 0} f (p + tv) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} (p). \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} D _ {\ mathbf {v}} f: & \ mathbb {R} ^ {n} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & p & \ mapsto & {\ frac {d} {dt}} {\ bigg |} _ {t = 0} f (p + tv) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} (p). \ end {matrix}}}

Harta definită mai sus este o derivare; în plus, se poate arăta că orice derivare a $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ poate fi pus în această formă, pentru care există o corespondență unu-la-unu între derivații și vectori, înțeleasă ca vectori tangenți într-un punct.

Este posibil să extindeți această corespondență la orice varietate: dacă $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este un vector tangent la o varietate $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în punctul său $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , putem defini derivata direcțională în direcția dată de $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ca

D_{v}(f)=v(f)=(f\circ \gamma )^{\prime }(0)

{\ displaystyle D_ {v} (f) = v (f) = (f \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0)}

{\ displaystyle D_ {v} (f) = v (f) = (f \ circ \ gamma) ^ {\ prime} (0)}

,

unde este $f\in C^{\infty }(M)$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {\ infty} (M)}$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {\ infty} (M)}$ Și $v=\gamma '(0)$ ${\ displaystyle v = \ gamma '(0)}$ ${\ displaystyle v = \ gamma '(0)}$ este direcția curbei $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ .

Notă

^ Dovadă: de atunci $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este in ${I^{2}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ , ${g=g_{1}g_{2}}$ ${\ displaystyle {g = g_ {1} g_ {2}}}$ ${\ displaystyle {g = g_ {1} g_ {2}}}$ cu ${g_{1}(x)=g_{2}(x)=0}$ ${\ displaystyle {g_ {1} (x) = g_ {2} (x) = 0}}$ ${\ displaystyle {g_ {1} (x) = g_ {2} (x) = 0}}$ și din regula produsului pe care o obținem ${D(g)=D(g_{1}g_{2})=D(g_{1})g_{2}(x)+g_{1}(x)D(g_{2})=0+0=0}$ ${\ displaystyle {D (g) = D (g_ {1} g_ {2}) = D (g_ {1}) g_ {2} (x) + g_ {1} (x) D (g_ {2}) = 0 + 0 = 0}}$ ${\ displaystyle {D (g) = D (g_ {1} g_ {2}) = D (g_ {1}) g_ {2} (x) + g_ {1} (x) D (g_ {2}) = 0 + 0 = 0}}$ .
^ I. Kolář, P. Michor, J. Slovák , p. 8 .

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
( EN ) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Operatori naturali în geometrie diferențială ( PDF ), Springer-Verlag, 1993. Accesat la 5 iulie 2013 (arhivat din original la 30 martie 2017) .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Definiție și exemple de spațiu tangent , pe people.hofstra.edu . Adus la 29 noiembrie 2006 (arhivat din original la 7 mai 2006) .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 56148

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Dovadă: de atunci $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este in ${I^{2}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {I ^ {2}}}$ , ${g=g_{1}g_{2}}$ ${\ displaystyle {g = g_ {1} g_ {2}}}$ ${\ displaystyle {g = g_ {1} g_ {2}}}$ cu ${g_{1}(x)=g_{2}(x)=0}$ ${\ displaystyle {g_ {1} (x) = g_ {2} (x) = 0}}$ ${\ displaystyle {g_ {1} (x) = g_ {2} (x) = 0}}$ și din regula produsului pe care o obținem ${D(g)=D(g_{1}g_{2})=D(g_{1})g_{2}(x)+g_{1}(x)D(g_{2})=0+0=0}$ ${\ displaystyle {D (g) = D (g_ {1} g_ {2}) = D (g_ {1}) g_ {2} (x) + g_ {1} (x) D (g_ {2}) = 0 + 0 = 0}}$ ${\ displaystyle {D (g) = D (g_ {1} g_ {2}) = D (g_ {1}) g_ {2} (x) + g_ {1} (x) D (g_ {2}) = 0 + 0 = 0}}$ .

[2] I. Kolář, P. Michor, J. Slovák , p. 8 .

[1]

[2]