Spațiu afinar

În abordarea algebrică, spațiul afin este o structură matematică strâns legată de cea a spațiului vectorial . Intuitiv, un spațiu afin este obținut dintr-un spațiu vector asigurându-se că între punctele sale nu există unul, originea, „centrală” și „privilegiată” față de celelalte.

Spațiul afinar tridimensional este instrumentul natural pentru modelarea spațiului fizicii clasice , ale cărui legi sunt de fapt independente de alegerea unui sistem de referință. La fel ca spațiile vectoriale, spațiile afine sunt studiate cu instrumentele algebrei liniare .

Definiție

Noțiunea de spațiu afin poate fi definită în multe moduri echivalente. Una dintre cele mai frecvente este următoarea: ^[1] ambele $\mathbb {A} \neq \varnothing$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} \ neq \ varnothing}$ împreună și fii $\phi :\mathbb {A} \times \mathbb {A} \to V$ ${\ displaystyle \ phi: \ mathbb {A} \ times \ mathbb {A} \ to V}$ ${\ displaystyle \ phi: \ mathbb {A} \ times \ mathbb {A} \ to V}$ funcție apreciată într-o $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

$(\mathbb {A} ,\phi )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {A}, \ phi)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {A}, \ phi)}$ se numește spațiu afin dacă se mențin următoarele fapte:

pentru fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ fix, aplicația la care se leagă $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ vectorul $\phi (P,Q)$ ${\ displaystyle \ phi (P, Q)}$ $\ phi (P, Q)$ este o bijecție din $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ;
pentru fiecare triplet de puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ relația Chasles deține:
$\phi (P,Q)+\phi (Q,R)=\phi (P,R).$ ${\ displaystyle \ phi (P, Q) + \ phi (Q, R) = \ phi (P, R).}$ $\ phi (P, Q) + \ phi (Q, R) = \ phi (P, R).$

Elementele $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ acestea sunt numite puncte afine (sau pur și simplu puncte ) în timp ce imaginea $\phi (P,Q)$ ${\ displaystyle \ phi (P, Q)}$ $\ phi (P, Q)$ se numește vector aplicat de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ și este în general indicat cu simbolul ${\overrightarrow {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$ $\ overrightarrow {PQ}$ .

Definiție alternativă

Următoarea definiție este echivalentă cu cea precedentă. ^[2]

Un spațiu similar $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ este un set cu o funcție

f:\mathbb {A} \times V\to \mathbb {A} ,

{\ displaystyle f: \ mathbb {A} \ times V \ to \ mathbb {A},}

{\ displaystyle f: \ mathbb {A} \ times V \ to \ mathbb {A},}

unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , indicat în general cu semnul $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ în felul următor

f(P,v)=P+v,

{\ displaystyle f (P, v) = P + v,}

{\ displaystyle f (P, v) = P + v,}

astfel încât

pentru fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ fix, aplicația care se leagă de vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ideea $P+v$ ${\ displaystyle P + v}$ $P + v$ este o bijecție din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ;
pentru fiecare punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ și fiecare pereche de vectori $v, w$ ${\ displaystyle v, w}$ $v, w$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ relația merită
$(P+v)+w=P+(v+w).$ ${\ displaystyle (P + v) + w = P + (v + w).}$ $(P + v) + w = P + (v + w).$

Cele două definiții sunt legate de relație

P+{\overrightarrow {PQ}}=Q.

{\ displaystyle P + {\ overrightarrow {PQ}} = Q.}

P + \ overrightarrow {PQ} = Q.

Două elemente ale acestei relații îl determină pe al treilea. De exemplu, $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este punctul atins prin aplicarea vectorului ${\overrightarrow {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$ $\ overrightarrow {PQ}$ la $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , in timp ce ${\overrightarrow {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$ $\ overrightarrow {PQ}$ este singurul vector care „leagă” cele două puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

Exemple

Spațiu vectorial

Același subiect în detaliu: spațiul vectorial .

Orice spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este în sine un spațiu afin, având ca spațiu vector asociat $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la fel.

$(V,\phi )$ ${\ displaystyle (V, \ phi)}$ ${\ displaystyle (V, \ phi)}$ cu harta $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ definit ca

\phi (v,w)=w-v.

{\ displaystyle \ phi (v, w) = wv.}

{\ displaystyle \ phi (v, w) = w-v.}

În timp ce în definiția alternativă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este suma simplă a vectorilor din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Primele proprietăți

Este $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ un spațiu afin asociat cu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ -spatiu vectorial, apoi:

$\forall P\in \mathbb {A} \;\;{\overrightarrow {PP}}=0;$ ${\ displaystyle \ forall P \ in \ mathbb {A} \; \; {\ overrightarrow {PP}} = 0;}$ ${\ displaystyle \ forall P \ in \ mathbb {A} \; \; {\ overrightarrow {PP}} = 0;}$
$\forall P,Q\in \mathbb {A} \;\;{\overrightarrow {QP}}=-{\overrightarrow {PQ}}.$ ${\ displaystyle \ forall P, Q \ in \ mathbb {A} \; \; {\ overrightarrow {QP}} = - {\ overrightarrow {PQ}}.}$ ${\ displaystyle \ forall P, Q \ in \ mathbb {A} \; \; {\ overrightarrow {QP}} = - {\ overrightarrow {PQ}}.}$

Referință afină

În ceea ce privește spațiile vectoriale în care este posibil să aveți o bază de spațiu, într-un spațiu afin $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ mathbb {A}}$ poate fi considerat o referință afină , adică un set de puncte $a_{0},\dots ,a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {0}, \ dots, a_ {k}}$ $a_ {0}, \ dots, a_ {k}$ a spațiului afin independent , astfel încât combinația lor afină generează întregul spațiu, adică $\mathrm {span} \{a_{0},\dots ,a_{k}\}=\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathrm {span} \ {a_ {0}, \ dots, a_ {k} \} = \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {span} \ {a_ {0}, \ dots, a_ {k} \} = \ mathbb {A}}$ .

Subspatii afine

Același subiect în detaliu: Subspatiu afin .

Este $(\mathbb {A} ,\phi )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {A}, \ phi)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {A}, \ phi)}$ un spațiu afin asociat cu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - spațiu vectorial.

Un subset $\varnothing \neq S\subseteq \mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ neq S \ subseteq \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ neq S \ subseteq \ mathbb {A}}$ spunem subspatiu afin daca $\phi _{|(S\times S)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {| (S \ times S)}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {| (S \ times S)}}$ induce un spațiu afin, adică dacă $\mathrm {Im} (\phi _{|(S\times S)})$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (\ phi _ {| (S \ times S)})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (\ phi _ {| (S \ times S)})}$ este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

De asemenea, arată că $S\subseteq \mathbb {A}$ ${\ displaystyle S \ subseteq \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle S \ subseteq \ mathbb {A}}$ este un subspatiu afin daca si numai daca este inchis pentru combinatii afine.

Un subspatiu afin $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ este un subset care poate fi reprezentat ca:

S=P+W=\{P+w\ |\ w\in W\},

{\ displaystyle S = P + W = \ {P + w \ | \ w \ în W \},}

{\ displaystyle S = P + W = \ {P + w \ | \ w \ în W \},}

unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un punct fix de $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Locație

Același sub spațiu poate fi definit sub diferite forme, cum ar fi $S=P+W$ ${\ displaystyle S = P + W}$ $S = P + W$ .

În toate aceste reprezentări, $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ poate varia (poate fi orice punct al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , confirmând că în geometria afină nu există „puncte privilegiate”), dar $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ se dovedește a fi întotdeauna același: acest subspatiu al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se numește poziția (sau spațiul directorului ) $S. .$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle S.}$

Lay-ul este definit intrinsec ca

\mathrm {Giac} (S)=\mathrm {Im} (\phi _{|(S\times S)})=\{{\overrightarrow {PQ}}\ |\ P,Q\in S\}.

{\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S) = \ mathrm {Im} (\ phi _ {| (S \ times S)}) = \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ | \ P, Q \ în S \}.}

{\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S) = \ mathrm {Im} (\ phi _ {| (S \ times S)}) = \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ | \ P, Q \ în S \}.}

Dimensiunea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este definit ca dimensiunea $\mathrm {Giac} (S).$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S).}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S).}$

Subspatiu generat

Subspatiul afin generat de unele puncte $x_{1},\ldots ,x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {k}}$ $x_ {1}, \ ldots, x_ {k}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este cel mai mic subspatiu care le contine.

Relaţii

Două subspatii afine $S_{1},S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$ ${\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$ se spune:

accidente dacă $S_{1}\cap S_{2}\neq \varnothing$ ${\ displaystyle S_ {1} \ cap S_ {2} \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle S_ {1} \ cap S_ {2} \ neq \ varnothing}$ dar niciunul dintre cele două sub spații nu îl conține pe celălalt;
paralelă dacă $\mathrm {Giac} (S_{1})\subseteq \mathrm {Giac} (S_{2})$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S_ {1}) \ subseteq \ mathrm {Giac} (S_ {2})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S_ {1}) \ subseteq \ mathrm {Giac} (S_ {2})}$ sau $\mathrm {Giac} (S_{1})\supseteq \mathrm {Giac} (S_{2});$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S_ {1}) \ supseteq \ mathrm {Giac} (S_ {2});}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S_ {1}) \ supseteq \ mathrm {Giac} (S_ {2});}$
înclinat dacă $S_{1}\cap S_{2}=\varnothing$ ${\ displaystyle S_ {1} \ cap S_ {2} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle S_ {1} \ cap S_ {2} = \ varnothing}$ Și $\mathrm {Giac} (S_{1})\cap \mathrm {Giac} (S_{2})=\{0\};$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S_ {1}) \ cap \ mathrm {Giac} (S_ {2}) = \ {0 \};}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Giac} (S_ {1}) \ cap \ mathrm {Giac} (S_ {2}) = \ {0 \};}$
există un alt caz care apare numai în spații afine de dimensiunea 4 sau mai mare, adică atunci când cele două subspatii au o intersecție goală, niciuna dintre cele două poziții nu este conținută în cealaltă, ci se intersectează într-un subspatiu mai mare decât originea.

Subspatii afine in spatii vectoriale

Pentru cele de mai sus, un spațiu vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este, de asemenea, afin și, prin urmare, a fost definită și noțiunea de subspatiu afin de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ : în acest caz, un subspatiu afin este rezultatul unei traduceri a unui subspatiu vectorial $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ de-a lungul vectorului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Formula lui Grassmann

Pentru subspaiile afine , formula lui Grassmann nu este valabilă: acesta este prețul de plătit pentru eliberarea subspaiilor de obligarea de a trece printr-un punct privilegiat. Geometria proiectivă rezolvă această problemă (adică recuperează formula lui Grassmann) adăugând „puncte la infinit” în spațiu.

Notă

^ Sernesi , p. 93 .
^ Sernesi , p. 102 .

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometria 1 , Torino, Bollati Boringhieri , 1989, ISBN 978-88-339-5447-9 .
( EN ) Berger Marcel, Geometry I , Springer, Berlin, 1987, ISBN 3-540-11658-3
(EN) Ernst Snapper, Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications, New York, 1989, ISBN 0-486-66108-3

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Sernesi , p. 93 .

[2] Sernesi , p. 102 .

[1]

[2]