Formula lui Grassmann

În matematică , formula lui Grassmann este o relație referitoare la dimensiunile subspaiilor vectoriale ale unui spațiu vectorial sau ale subspaiilor proiective ale unui spațiu proiectiv .

Formula lui Grassmann, al cărei nume a fost ales în cinstea matematicianului german Hermann Grassmann , afirmă, de asemenea, că subspaiile unui spațiu vector dotat cu operații binare + și $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ constituie o rețea modulară .

Afirmație

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dotat cu dimensiune finită, care este înzestrat cu o bază finită. Lasa-i sa fie $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ două subspatii ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Indicând cu $W+U$ ${\ displaystyle W + U}$ $W + U$ suma subspatiu a $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ dat de: ^[1]

W+U:=\{\mathbf {w} +\mathbf {u} \ |\ \mathbf {w} \in W,\mathbf {u} \in U\}

{\ displaystyle W + U: = \ {\ mathbf {w} + \ mathbf {u} \ | \ \ mathbf {w} \ în W, \ mathbf {u} \ în U \}}

W + U: = \ {\ mathbf w + \ mathbf u \ | \ \ mathbf w \ în W, \ mathbf u \ in U \}

si cu $W\cap U$ ${\ displaystyle W \ cap U}$ $W \ cap U$ subspaiul de intersecție al acestora, formula lui Grassmann afirmă că: ^[2]

\dim(W+U)=\dim(W)+\dim(U)-\dim(W\cap U)

{\ displaystyle \ dim (W + U) = \ dim (W) + \ dim (U) - \ dim (W \ cap U)}

\ dim (W + U) = \ dim (W) + \ dim (U) - \ dim (W \ cap U)

Suma directă

Același subiect în detaliu: suma directă .

Două subspatii $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ sunt în sumă directă dacă $U\cap W=\{0\}$ ${\ displaystyle U \ cap W = \ {0 \}}$ $U \ cap W = \ {0 \}$ . În acest caz, formula lui Grassmann afirmă că:

\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)

{\ displaystyle \ dim (U + W) = \ dim (U) + \ dim (W)}

\ dim (U + W) = \ dim (U) + \ dim (W)

Dacă și $V=U+W$ ${\ displaystyle V = U + W}$ $V = U + W$ , se spune că $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se descompune în sumă directă de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ si scrii:

V=U\oplus W

{\ displaystyle V = U \ oplus W}

V = U \ oplus W

În acest caz subspațiul $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un supliment al $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ (si invers).

De exemplu, spațiul $M(n)$ ${\ displaystyle M (n)}$ $M (n)$ de matrice pătrate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ la coeficienții dintr-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ se descompune în subspatiile matricilor simetrice si antisimetrice :

M(n)=S(n)\oplus A(n)

{\ displaystyle M (n) = S (n) \ oplus A (n)}

M (n) = S (n) \ oplus A (n)

Formula lui Grassmann duce la egalitate în ceea ce privește dimensiunile celor două subspatii ale formei:

n^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}

{\ displaystyle n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1)} {2}} + {\ frac {n (n-1)} {2}}}

n ^ 2 = \ frac {n (n + 1)} 2 + \ frac {n (n-1)} 2

Demonstrație

Structura probei

Formula este demonstrată prin identificarea a două baze pentru $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ care au în comun vectorii care formează o bază pentru intersecția lor. Mai precis, este nevoie de o bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru $W\cap U$ ${\ displaystyle W \ cap U}$ $W \ cap U$ , și este completat la o bază $B\cup B_{U}$ ${\ displaystyle B \ cup B_ {U}}$ $B \ cup B_U$ din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , și la o bază $B\cup B_{W}$ ${\ displaystyle B \ cup B_ {W}}$ $B \ cup B_W$ din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Purtători în:

B\cup B_{U}\cup B_{W}

{\ displaystyle B \ cup B_ {U} \ cup B_ {W}}

B \ cup B_U \ cup B_W

generează spațiu $U+W$ ${\ displaystyle U + W}$ $U + W$ , se întâmplă că sunt independenți și, prin urmare, reprezintă o bază pentru $U+W$ ${\ displaystyle U + W}$ $U + W$ . Un număr al elementelor din cele patru baze găsite dă formula Grassmann.

Verificarea independenței liniare

Singurul fapt care necesită o demonstrație aprofundată este independența vectorilor în:

B\cup B_{U}\cup B_{W}

{\ displaystyle B \ cup B_ {U} \ cup B_ {W}}

B \ cup B_U \ cup B_W

care se arată astfel. Este:

B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{d}\},\quad B_{U}=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{s}\},\quad B_{W}=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{t}\}

{\ displaystyle B = \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {d} \}, \ quad B_ {U} = \ {\ mathbf {u} _ {1} , \ ldots, \ mathbf {u} _ {s} \}, \ quad B_ {W} = \ {\ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} _ {t} \}}

B = \ {\ mathbf v_1, \ ldots, \ mathbf v_d \}, \ quad B_U = \ {\ mathbf u_1, \ ldots, \ mathbf u_s \}, \ quad B_W = \ {\ mathbf w_1, \ ldots, \ mathbf w_t \}

Să presupunem existența unei combinații liniare nule:

\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots \lambda _{d}\mathbf {v} _{d}+\mu _{1}\mathbf {u} _{1}+\ldots +\mu _{s}\mathbf {u} _{s}+\gamma _{1}\mathbf {w} _{1}+\ldots +\gamma _{t}\mathbf {w} _{t}=0

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ ldots \ lambda _ {d} \ mathbf {v} _ {d} + \ mu _ {1} \ mathbf {u} _ { 1} + \ ldots + \ mu _ {s} \ mathbf {u} _ {s} + \ gamma _ {1} \ mathbf {w} _ {1} + \ ldots + \ gamma _ {t} \ mathbf { w} _ {t} = 0}

\ lambda_1 \ mathbf v_1 + \ ldots \ lambda_d \ mathbf v_d + \ mu_1 \ mathbf u_1 + \ ldots + \ mu_s \ mathbf u_s + \ gamma_1 \ mathbf w_1 + \ ldots + \ gamma_t \ mathbf w_t = 0

Cu alte cuvinte, prin grupare:

\mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots \lambda _{d}\mathbf {v} _{d},\quad \mathbf {u} =\mu _{1}\mathbf {u} _{1}+\ldots +\mu _{s}\mathbf {u} _{s},\quad \mathbf {w} =\gamma _{1}\mathbf {w} _{1}+\ldots +\gamma _{t}\mathbf {w} _{t}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ lambda _ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ ldots \ lambda _ {d} \ mathbf {v} _ {d}, \ quad \ mathbf {u} = \ mu _ {1} \ mathbf {u} _ {1} + \ ldots + \ mu _ {s} \ mathbf {u} _ {s}, \ quad \ mathbf {w} = \ gamma _ {1} \ mathbf {w} _ {1} + \ ldots + \ gamma _ {t} \ mathbf {w} _ {t}}

\ mathbf v = \ lambda_1 \ mathbf v_1 + \ ldots \ lambda_d \ mathbf v_d, \ quad \ mathbf u = \ mu_1 \ mathbf u_1 + \ ldots + \ mu_s \ mathbf u_s, \ quad \ mathbf w = \ gamma_1 \ mathbf w_1 + \ ldots + \ gamma_t \ mathbf w_t

primesti:

\mathbf {v} +\mathbf {u} +\mathbf {w} =0

{\ displaystyle \ mathbf {v} + \ mathbf {u} + \ mathbf {w} = 0}

\ mathbf v + \ mathbf u + \ mathbf w = 0

Din aceasta rezultă că $\mathbf {w} =-\mathbf {v} -\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} = - \ mathbf {v} - \ mathbf {u}}$ $\ mathbf w = - \ mathbf v- \ mathbf u$ , și din moment ce este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ acea $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf u$ apartine $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , rezultă că, de asemenea $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ aparține lui $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Prin urmare $\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf w$ aparține intersecției $U\cap W$ ${\ displaystyle U \ cap W}$ $U \ cap W$ , și este scris ca o combinație liniară de elemente ale $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Pe de altă parte, ca element al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , este descris ca o combinație liniară de elemente ale $B_{W}$ ${\ displaystyle B_ {W}}$ $B_W$ : deoarece fiecare element are o descriere unică ca o combinație liniară a elementelor unei baze, rezultă că ambele combinații au toate coeficienți nuli. Prin urmare:

\gamma _{1}=\ldots =\gamma _{t}=0,\quad \mathbf {w} =0

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ ldots = \ gamma _ {t} = 0, \ quad \ mathbf {w} = 0}

\ gamma_1 = \ ldots = \ gamma_t = 0, \ quad \ mathbf w = 0

Se obține astfel $\mathbf {v} +\mathbf {u} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} + \ mathbf {u} = 0}$ $\ mathbf v + \ mathbf u = 0$ . Din moment ce vectorii $B\cup B_{U}$ ${\ displaystyle B \ cup B_ {U}}$ $B \ cup B_U$ Sunt o bază de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , sunt, prin urmare, independente și rezultă că, de asemenea:

\lambda _{1}=\ldots =\lambda _{d}=0,\quad \mu _{1}=\ldots =\mu _{s}=0

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ ldots = \ lambda _ {d} = 0, \ quad \ mu _ {1} = \ ldots = \ mu _ {s} = 0}

\ lambda_1 = \ ldots = \ lambda_d = 0, \ quad \ mu_1 = \ ldots = \ mu_s = 0

Deci, coeficienții sunt zero, iar setul:

B\cup B_{U}\cup B_{W}

{\ displaystyle B \ cup B_ {U} \ cup B_ {W}}

B \ cup B_U \ cup B_W

este alcătuit din elemente independente și, prin urmare, este o bază.

Numărul de mărimi

Folosind notațiile tocmai introduse, numărul dimensiunilor oferă exact:

\dim(U+W)=d+s+t=(d+s)+(d+t)-d=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)

{\ displaystyle \ dim (U + W) = d + s + t = (d + s) + (d + t) -d = \ dim U + \ dim W- \ dim (U \ cap W)}

\ dim (U + W) = d + s + t = (d + s) + (d + t) - d = \ dim U + \ dim W - \ dim (U \ cap W)

Dovadă alternativă

Luați în considerare funcția:

f\colon U\times W\to U+W\;\colon \;(u,w)\mapsto \mathbf {u} +\mathbf {w}

{\ displaystyle f \ colon U \ times W \ to U + W \; \ colon \; (u, w) \ mapsto \ mathbf {u} + \ mathbf {w}}

{\ displaystyle f \ colon U \ times W \ to U + W \; \ colon \; (u, w) \ mapsto \ mathbf {u} + \ mathbf {w}}

care apare ca o aplicație liniară . Avem:

\mathrm {im} (f)=U+W\qquad \ker(f)=\{(\mathbf {v} ,-\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in U\cap W\}

{\ displaystyle \ mathrm {im} (f) = U + W \ qquad \ ker (f) = \ {(\ mathbf {v}, - \ mathbf {v}): \ mathbf {v} \ in U \ cap W \}}

\ mathrm {im} (f) = U + W \ qquad \ ker (f) = \ {(\ mathbf v, - \ mathbf v): \ mathbf v \ in U \ cap W \}

Nucleul este un spațiu vector izomorf a $U\cap W$ ${\ displaystyle U \ cap W}$ $U \ cap W$ , iar izomorfismul este dat de:

\phi \,\colon \,\ker(f)\to U\cap W\,\colon \,(\mathbf {v} ,-\mathbf {v} )\mapsto \mathbf {v}

{\ displaystyle \ phi \, \ colon \, \ ker (f) \ to U \ cap W \, \ colon \, (\ mathbf {v}, - \ mathbf {v}) \ mapsto \ mathbf {v}}

\ phi \, \ colon \, \ ker (f) \ to U \ cap W \, \ colon \, (\ mathbf v, - \ mathbf v) \ mapsto \ mathbf v

Prin urmare, avem:

\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim(\mathrm {im} (f))+\dim(\ker(f))

{\ displaystyle \ dim (U + W) + \ dim (U \ cap W) = \ dim (\ mathrm {im} (f)) + \ dim (\ ker (f))}

\ dim (U + W) + \ dim (U \ cap W) = \ dim (\ mathrm {im} (f)) + \ dim (\ ker (f))

=\dim(U\times W)=\dim(U)+\dim(W)

{\ displaystyle = \ dim (U \ times W) = \ dim (U) + \ dim (W)}

= \ dim (U \ times W) = \ dim (U) + \ dim (W)

unde a fost aplicat teorema rangului plus nulitatea .

Dovadă cu teorema izomorfismului

Formula lui Grassmann poate fi văzută ca un corolar al celei de-a doua teoreme a izomorfismului :

{U+W}/W\cong U/{U\cap W}

{\ displaystyle {U + W} / W \ cong U / {U \ cap W}}

{U + W} / W \ cong U / {U \ cap W}

cu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ văzut ca grupuri (notație aditivă) și unde cu $/$ ${\ displaystyle /}$ $/$ ne referim la coeficientul obișnuit de set. De fapt, avem:

\dim {({U+W}/W)}=\dim({U/{U\cap W}})

{\ displaystyle \ dim {({U + W} / W)} = \ dim ({U / {U \ cap W}})}

\ dim {({U + W} / W)} = \ dim ({U / {U \ cap W}})

\dim {(U+W)}-\dim {(W)}=\dim {(U)}-\dim {(U\cap W)}

{\ displaystyle \ dim {(U + W)} - \ dim {(W)} = \ dim {(U)} - \ dim {(U \ cap W)}}

\ dim {(U + W)} - \ dim {(W)} = \ dim {(U)} - \ dim {(U \ cap W)}

care este formula lui Grassmann.

Exemple

Această formulă apare cu ușurință și cu sens în orice caz $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este spațiul vectorial tridimensional de pe reali $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ ; posibilitățile pentru sub spații duc la următoarele cazuri:

Unul dintre cele două subspatii $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ sau $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ are dimensiunea 0 sau 3: în acest caz (dacă nu schimbați numele celor două subspatii) avem $W+U=U$ ${\ displaystyle W + U = U}$ $W + U = U$ Și $W\cap U=W$ ${\ displaystyle W \ cap U = W}$ $W \ cap U = W$ iar formula se reduce la o identitate.
$W$ {\ displaystyle W} $W$ Și $U$ {\ displaystyle U} $U$ sunt subspații de dimensiunea 1 (adică linii drepte care trec prin origine):
- dacă liniile sunt distincte $W\cap U$ ${\ displaystyle W \ cap U}$ $W \ cap U$ conține doar vectorul nul și are dimensiunea 0 și $W+U$ ${\ displaystyle W + U}$ $W + U$ este planul care conține cele două linii, deci formula este redusă la 1 + 1 = 2 + 0.
- dacă coincid $W+U=W=U=W\cap U$ ${\ displaystyle W + U = W = U = W \ cap U}$ $W + U = W = U = W \ cap U$ și totuși unul are o identitate.
$W$ {\ displaystyle W} $W$ este o linie dreaptă prin origine și $U$ {\ displaystyle U} $U$ un plan pentru origine:
- dacă linia dreaptă nu se află în plan avem: 1 + 2 = 3 + 0;
- dacă linia se află în plan: 1 + 2 = 2 + 1.
$W$ {\ displaystyle W} $W$ Și $U$ {\ displaystyle U} $U$ sunt planuri pentru origine:
- dacă nu coincid, intersecția lor este o linie dreaptă și avem: 2 + 2 = 3 + 1;
- dacă coincid, avem o identitate care afirmă numeric: 2 + 2 = 2 + 2.

Notă

^ S. Lang , pagina 52 .
^ Hoffman, Kunze , pagina 46 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , pagina 52 .

[2] Hoffman, Kunze , pagina 46 .

[1]

[2]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema