Teorema izomorfismului

În matematică există diferite teoreme ale izomorfismului , care afirmă în general că unele mulțimi cu structuri algebrice adecvate sunt izomorfe .

Teoria grupului

În teoria grupurilor există trei teoreme de izomorfism, care se aplică, de asemenea, cu modificări adecvate, pentru inele și module . Teoremele au fost inițial formulate de Richard Dedekind ; Emmy Noether le-a făcut mai târziu mai generale în articolul Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkörpern publicat în 1927 în Mathematische Annalen , pentru a fi dezvoltat ulterior în forma modernă de Bartel Leendert van der Waerden în cartea sa Algebra .

Prima teoremă a izomorfismului

De sine $f:G\to H$ ${\ displaystyle f: G \ to H}$ $f: G \ to H$ este un homomorfism între două grupuri $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , apoi nucleul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un subgrup normal de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , și grupul coeficientului $G/ker(f)$ ${\ displaystyle G / ker (f)}$ $G / ker (f)$ este izomorfă pentru imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . În simboluri:

\operatorname {Ker} (f)\triangleleft G,\quad G/\operatorname {Ker} (f)\cong \operatorname {Im} (f)

{\ displaystyle \ operatorname {Ker} (f) \ triangleleft G, \ quad G / \ operatorname {Ker} (f) \ cong \ operatorname {Im} (f)}

\ operatorname {Ker} (f) \ triangleleft G, \ quad G / \ operatorname {Ker} (f) \ cong \ operatorname {Im} (f)

Izomorfismul este canonic , indus de hartă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ : clasa $g\cdot \operatorname {Ker} (f)$ ${\ displaystyle g \ cdot \ operatorname {Ker} (f)}$ $g \ cdot \ operatorname {Ker} (f)$ este trimis $f(g)$ ${\ displaystyle f (g)}$ $f (g)$ .

Această teoremă este numită teorema fundamentală a homomorfismului .

Proprietatea universală a nucleului

De sine $f:G\to H$ ${\ displaystyle f: G \ to H}$ $f: G \ to H$ este un omomorfism e $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un subgrup normal de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cuprins în $ker(f)$ ${\ displaystyle ker (f)}$ $ker (substantiv)$ , există un singur omomorfism $h:G/K\to H$ ${\ displaystyle h: G / K \ to H}$ $h: G / K \ până la H$ astfel încât

f=h\circ \varphi

{\ displaystyle f = h \ circ \ varphi}

f = h \ circ \ varphi

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este proiecția canonică $G\to G/K$ ${\ displaystyle G \ to G / K}$ $G \ to G / K$ .

A doua teoremă a izomorfismului (teorema diamantului)

Lasa-i sa fie $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ două subgrupuri ale unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ subgrup normal . Apoi a produs subsetul

HN=\{hn\,|\,h\in H,n\in N\}

{\ displaystyle HN = \ {hn \, | \, h \ în H, n \ în N \}}

HN = \ {hn \, | \, h \ în H, n \ în N \}

este, de asemenea, un subgrup de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , și apoi:

$Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este, de asemenea, normal în $H. Nu.$ ${\ displaystyle HN}$ $HN$ ,
$H\cap N$ ${\ displaystyle H \ cap N}$ $H \ cap N$ este normal în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ ,
$H/(H\cap N)\cong HN/N.$ ${\ displaystyle H / (H \ cap N) \ cong HN / N.}$ $H / (H \ cap N) \ cong HN / N.$

Izomorfismul este canonic , indus de hartă

H\to HN/N,\quad h\mapsto hN.

{\ displaystyle H \ to HN / N, \ quad h \ mapsto hN.}

H \ to HN / N, \ quad h \ mapsto hN.

A treia teoremă a izomorfismului

Lasa-i sa fie $H., Nu.$ ${\ displaystyle H, N}$ $H, N$ două subgrupuri normale de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ cuprins în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Se aplică următorul izomorfism:

(G/N)/(H/N)\cong G/H.

{\ displaystyle (G / N) / (H / N) \ cong G / H.}

(G / N) / (H / N) \ cong G / H.

Acest izomorfism este, de asemenea, canonic .

Teoria numerelor

În teoria numerelor , există următoarea teoremă a izomorfismului Ax-Kochen . Teorema afirmă că dacă $(A,S,z)$ ${\ displaystyle (A, S, z)}$ $(A, S, z)$ Și $(A',S',z')$ ${\ displaystyle (A ', S', z ')}$ $(A ', S', z ')$ sunt triple ale lui Peano, apoi există o hartă $\varphi \colon A\to A'$ ${\ displaystyle \ varphi \ colon A \ to A '}$ ${\ displaystyle \ varphi \ colon A \ to A '}$ astfel încât:

$\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este bijectiv;
$\varphi (z)=z'$ ${\ displaystyle \ varphi (z) = z '}$ ${\ displaystyle \ varphi (z) = z '}$ ;
$\varphi (S(a))=S'(\varphi (a))$ ${\ displaystyle \ varphi (S (a)) = S '(\ varphi (a))}$ ${\ displaystyle \ varphi (S (a)) = S '(\ varphi (a))}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică