Core (matematică)

În matematică , în special în algebră , nucleul unui homomorfism este ansamblul de puncte care sunt anulate de funcție. Este definit în diferite moduri, în funcție de contextul în care este utilizat; în general este legată de conceptul de funcție injectivă . Unul dintre cele mai semnificative cazuri este cel al hărților liniare între grupuri sau spații vectoriale : nucleul este ansamblul elementelor domeniului având o imagine nulă, adică ansamblul elementelor care sunt trimise la zero de către aplicație.

Este un întreg zero . Nucleul este un subset al domeniului funcției și este adesea denumit $\ker(f)$ ${\ displaystyle \ ker (f)}$ $\ ker (f)$ , din Kernul german . Moștenește aceleași proprietăți algebrice ale spațiului în care trăiește și este strâns legată de imaginea funcției, deoarece, în general, nucleul și imaginea se comportă într-un mod complementar.

Definiție

Homomorfisme

Nucleul unui homomorfism al grupurilor $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ este subsetul de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ constând din punctele care sunt purtate de funcție în elementul neutru al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ :

{\textrm {Ker}}(f)\ :=\left\{x\in X:f(x)=0_{Y}\right\}

{\ displaystyle {\ textrm {Ker}} (f) \: = \ left \ {x \ în X: f (x) = 0_ {Y} \ right \}}

\ textrm {Ker} (f) \: = \ left \ {x \ în X: f (x) = 0_ {Y} \ right \}

Cu alte cuvinte, nucleul este ansamblul de puncte care sunt anulate de funcție.

Nucleul este întotdeauna un subgrup de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ; în special, conține întotdeauna elementul neutru al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În cazul în care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ să fie un spațiu vectorial (care este un grup în ceea ce privește adunarea) și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o aplicație liniară (deci un homomorfism între grupurile aditive respective), nucleul $\mathrm {ker} (f)$ ${\ displaystyle \ mathrm {ker} (f)}$ $\ mathrm {ker} (f)$ este un subspatiu vectorial al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (precum și a fi un subgrup).

Matrici

Același subiect în detaliu: Transformarea liniară .

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice de tip $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ cu elemente într-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Nucleul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este ansamblul de vectori $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ astfel încât: ^[1]

Av=0

{\ displaystyle Av = 0}

Av = 0

Această definiție este în concordanță cu cea precedentă dacă aplicația este liniară:

L_{A}:K^{n}\to K^{m}

{\ displaystyle L_ {A}: K ^ {n} \ to K ^ {m}}

L_A: K ^ n \ to K ^ m

L_{A}:v\mapsto Av

{\ displaystyle L_ {A}: v \ mapsto Av}

L_A: v \ mapsto Av

și nucleul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atât de definit este nucleul de $L_{A}$ ${\ displaystyle L_ {A}}$ $ACOLO$ . Echivalent:

\operatorname {Ker} A:=\{v\in K^{n}:Av=0\}

{\ displaystyle \ operatorname {Ker} A: = \ {v \ în K ^ {n}: Av = 0 \}}

\ operatorname {Ker} A: = \ {v \ în K ^ n: Av = 0 \}

Nucleul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subspatiu vectorial al $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ , a cărui dimensiune se numește nulitatea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietate

Grupuri

Nucleul unui homomorfism al grupurilor $f:G\to H$ ${\ displaystyle f: G \ to H}$ $f: G \ to H$ este un subgrup normal . Grupul coeficientului :

G/_{\operatorname {Ker} f}

{\ displaystyle G / _ {\ operatorname {Ker} f}}

G / _ {\ operatorname {Ker} f}

este deci bine definit. Prin prima teoremă a izomorfismului , acest grup este în mod natural izomorf pentru imaginea lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Pe de altă parte, orice subgrup normal $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ a unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este nucleul unei aplicații liniare. Aplicația este proiecția pe subgrupul coeficientului:

\pi :G\to G/_{K}

{\ displaystyle \ pi: G \ to G / _ {K}}

\ pi: G \ to G / _K

Injectivitate

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ un endomorfism între spațiile vectoriale. Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv dacă și numai dacă nucleul său constă doar din elementul neutru. ^[2] Ipoteza liniarității pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este esențial: întrucât $f(0)=0$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ , injectivitatea de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ implică faptul că nucleul este format doar din elementul neutru 0. Implicația opusă este însă mai puțin imediată. Să presupunem prin ipoteză că nucleul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ constă doar din elementul neutru 0, atunci dacă:

f(v)=f(w)

{\ displaystyle f (v) = f (w)}

f (v) = f (w)

pentru liniaritate avem:

f(v)-f(w)=f(v-w)=0

{\ displaystyle f (v) -f (w) = f (vw) = 0}

f (v) -f (w) = f (v-w) = 0

prin urmare $v-w=0$ ${\ displaystyle vw = 0}$ $v-w = 0$ prin ipoteză. Cu alte cuvinte $v=w$ ${\ displaystyle v = w}$ $v = w$ , iar funcția este de fapt injectivă.

Teorema rangului

Același subiect în detaliu: teorema rangului .

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o aplicație între spații vectoriale $f:V\to W$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ $f: V \ to W$ . Dimensiunile nucleului și imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ sunt legate prin următoarea egalitate: ^[3]

\dim V=\dim \operatorname {ker} f+\dim \operatorname {Im} f

{\ displaystyle \ dim V = \ dim \ operatorname {ker} f + \ dim \ operatorname {Im} f}

\ dim V = \ dim \ operatorname {ker} f + \ dim \ operatorname {Im} f

Nulitatea unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi calculat folosind teorema rangului. În acest context, formula se traduce după cum urmează:

n=\operatorname {null} (A)+\operatorname {rk} (A)

{\ displaystyle n = \ operatorname {null} (A) + \ operatorname {rk} (A)}

n = \ operatorname {null} (A) + \ operatorname {rk} (A)

În ecuație, $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul de coloane ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $\operatorname {null} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {null} (A)}$ $\ operatorname {null} (A)$ este indicele de nulitate e $\operatorname {rk} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rk} (A)}$ $\ operatorname {rk} (A)$ este rangul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Calculul nulității este, prin urmare, redus la calculul rangului, pentru care există diferiți algoritmi. Cele mai cunoscute metode folosesc determinantul sau algoritmul Gauss .

Teoria mulțimilor

În contextul mai general al teoriei mulțimilor , nucleul unei funcții din mulțime $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la întreg $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este definit alternativ ca relația de echivalență care leagă elementele caracterizate de aceeași imagine sau ca partiția pe care această relație o generează în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

În ambele cazuri, este, prin urmare, definit simbolic prin:

\mathop {\mathrm {ker} } f:=\{(x,x')\in X\times X:f(x)=f(x')\}

{\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {ker}} f: = \ {(x, x ') \ în X \ times X: f (x) = f (x') \}}

\ mathop {\ mathrm {ker}} f: = \ {(x, x ') \ în X \ times X: f (x) = f (x') \}

și de la:

\mathop {\mathrm {ker} } f:=\{\{w\in X:f(x)=f(w)\}\ x\in X\}

{\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {ker}} f: = \ {\ {w \ în X: f (x) = f (w) \} \ x \ în X \}}

\ mathop {\ mathrm {ker}} f: = \ {\ {w \ in X: f (x) = f (w) \} \ x \ in X \}

Setul de coeficient $X/\mathrm {ker} (f)$ ${\ displaystyle X / \ mathrm {ker} (f)}$ $X / \ mathrm {ker} (f)$ , numită și coimagine a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , este în mod natural izomorfă pentru imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Funcția este injectivă dacă și numai dacă acest nucleu este „diagonală” în $X\times X$ ${\ displaystyle X \ times X}$ $X \ ori X$ . Scufundându-ne în morfisme între structurile algebrice , definiția este în concordanță cu cea dată mai sus.

Exemple

Având în vedere matricea:

A={\begin{bmatrix}\sin(x)&-\cos(x)&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} \ sin (x) & - \ cos (x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

A = \ begin {bmatrix} \ sin (x) & - \ cos (x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este orice număr real , nucleul hărții liniare asociate cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este setul de vectori de tipul:

\operatorname {Ker} A={\big \{}{\begin{bmatrix}\lambda \cos(x)&\lambda \sin(x)&0\\\end{bmatrix}}\ |\ \lambda \in \mathbb {R} {\big \}}

{\ displaystyle \ operatorname {Ker} A = {\ big \ {} {\ begin {bmatrix} \ lambda \ cos (x) & \ lambda \ sin (x) & 0 \\\ end {bmatrix}} \ | \ \ lambda \ in \ mathbb {R} {\ big \}}}

\ operatorname {Ker} A = \ big \ {\ begin {bmatrix} \ lambda \ cos (x) & \ lambda \ sin (x) & 0 \\ \ end {bmatrix} \ | \ \ lambda \ in \ R \ mare \}

așa cum se vede făcând produsul matrice între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și vectorul coloanei $v_{\lambda }=(\lambda \cos(x),\lambda \sin(x),0)^{T}$ ${\ displaystyle v _ {\ lambda} = (\ lambda \ cos (x), \ lambda \ sin (x), 0) ^ {T}}$ $v_ \ lambda = (\ lambda \ cos (x), \ lambda \ sin (x), 0) ^ T$ .

Notă

^ Hoffman, Kunze , pagina 71 .
^ S. Lang , pagina 94 .
^ S. Lang , pagina 92 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) M. Hazewinkel, Kernel of a matrix , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Kernel , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hoffman, Kunze , pagina 71 .

[2] S. Lang , pagina 94 .

[3] S. Lang , pagina 92 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema