Endomorfism

În matematică , un endomorfism al unei structuri algebrice este o funcție din setul suport al structurii în sine, care păstrează operațiile. Cu alte cuvinte, este un morfism al structurii algebrice în sine.

Definiție

Fie X un set sau o structură . Endomorfismul este definit ca o funcție T astfel încât:

$T:X\to X$ ${\ displaystyle T: X \ to X}$ $T: de la X la X$ .

Endomorfismul poate fi deci implementat pe un ansamblu generic; în diverse aplicații este important să se ia în considerare endomorfismele bazate pe spații vectoriale.

În schimb, este indicat cu $End(X)$ ${\ displaystyle End (X)}$ $Sfârșit (X)$ ansamblul endomorfismelor lui X.

Operații binare

Dacă o mulțime X are o operație binară *, care asociază un alt element x * y al lui X cu două elemente x și y , un endomorfism al lui X este o funcție f : X → X astfel încât

f(x*y)\!=\!f(x)*f(y)

{\ displaystyle f (x * y) \! = \! f (x) * f (y)}

f (x * y) \! = \! f (x) * f (y)

pentru fiecare x și y în X. Cel mai important exemplu de set cu operație binară este grupul .

De exemplu, funcția f ( x ) = 2 x din grupul întreg în sine este un endomorfism în ceea ce privește operația de adunare. Funcția f ( x ) = x + 1, pe de altă parte, nu este.

Spații vectoriale

Dacă V este un spațiu vectorial , un endomorfism al lui V este o hartă liniară T de la V în sine T: V → V.

Având în vedere definiția anterioară cu privire la spațiile vectoriale, este interesant de a cere, deoarece imaginea endomorphism este un subset al V, în cazul în care există subspatii U de dimensiune 1 din X , care sunt lăsate neschimbate datorită acțiunii endomorphism. Adică se pune întrebarea dacă există mulțimi U astfel încât $T(U)\subseteq U$ ${\ displaystyle T (U) \ subseteq U}$ $T (U) \ subseteq U$ . Căutarea acestor subspații poate fi urmărită înapoi la căutarea anumitor vectori, numiți vectori proprii ai lui T ^[1] .

Proprietate

Un endomorfism care este și bijectiv este un automorfism .
Funcția de identitate este de obicei un endomorfism.
Compoziția a două endomorfisme este un endomorfism și, prin urmare, compoziția definește o operație binară pe End ( X ).

Notă

^ M. Landucci, Argomenti di geometria , Florența, 1996, p. 222.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] M. Landucci, Argomenti di geometria , Florența, 1996, p. 222.

[1]