Endofuncție
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică o endofunzione este o funcție care are conținutul codomain sau coincidentă cu domeniul .
În multe contexte este util să luăm în considerare setul de funcții endofuncționale dintr-un set dat S , împreună pe care le denotăm, așa cum se face uneori, cu Endo (S) .
Primele clasificări și primele exemple
Poate fi adecvat să se ia în considerare atât funcțiile endofuncționale din cadrul seturilor cărora nu le este atribuită nicio structură, cât și funcțiile endofuncționale din cadrul seturilor structurate. Din primul punct de vedere, este necesar să distingem endofuncțiile cu domeniu și codomain care coincid de endofuncțiile cu codomain strict cuprinse în domeniu; în plus, este necesar să se facă distincția dintre funcțiile endversibile și cele neinversibile.
Endofuncțiile din cadrul S cu domeniu și codomain coincident și inversabil sunt permutările lui S , adică funcțiile bijective ale lui S cu sine. Un exemplu de funcție endofuncțională cu domeniu coincident non-inversabil și codomain este funcția finală din setul de numere întregi naturale care face ca partea întreagă a lui k / 2 să corespundă fiecărui k = 0, 1, 2, 3, ... Funcțiile endofuncționale dintr-un set finit cu domeniu și interval coincidente trebuie să fie inversabile, adică sunt permutările intervalului.
Printre funcțiile endofuncționale cu cod domeniu strict conținute în domeniu și inversabile se numără funcția exponențială considerată ca o funcție finală în cadrul setului de numere reale. Printre funcțiile endofuncționale din S cu interval strict cuprins în domeniu se numără funcțiile constante ale lui S în sine, numite și colapsuri sau „resetări”. Funcțiile constante și permutările sunt două cazuri extreme: permutările au cel mai mare interval, întregul S , funcțiile constante au intervalul redus la un singur element. Dacă S are cardinalitate finită n , permutările sale sunt n! , în timp ce funcțiile sale finale constante sunt n , în corespondența unu-la-unu cu S în sine.
Endofuncții finite
Endofuncțiile finite, adică cele cu domeniu finit, pot fi clasificate destul de ușor. Pentru aceasta este util să se vizualizeze o astfel de funcție end f pe mulțimea finită S cu un digraf monogen echivalent, ale cărui noduri sunt elementele lui S și ale căror margini sunt perechile . Pentru endofuncția f putem identifica toate subseturile care sunt transformate de f într-o parte din ele însele și dintre aceste subseturi putem distinge maximele; aceste manevre se efectuează fără dificultate folosind arcele opuse celor determinate de f . Pentru fiecare restricție de f la un astfel de set Q , găsim
- elemente ale lui Q care sunt permutate ciclic în ele însele (elemente periodice), al căror set îl scriem P ;
- elementele lui Q \ P , d numesc non-periodice, care prin aplicarea f de una sau mai multe ori sunt transformate într-un element periodic.
Cazuri speciale ale subdigrafelor determinate de subseturile Q sunt digrafele permutațiilor ciclice ale lui Q și prăbușirile de pe Q. Cele mai generale subdigrafe ale prăbușirilor sunt contraarborescențele, digrafele care prezintă diverse căi care se termină într-un singur nod cu un laț, contra rădăcina.
În general, pe un subset Q există un ciclu de unul sau mai multe noduri periodice și contraarborescențe formate din noduri neperiodice de la care se poate ajunge la unul dintre nodurile periodice de mai sus.
Implicațiile ca funcții finale
Cazurile particulare ale endofuncțiilor sunt involuțiile , adică funcțiile care coincid cu inversul lor; acestea sunt în mod evident funcții bijective . Digraful unei involuții finite nu poate prezenta noduri neperiodice (care ar merge împotriva biunivocității) și poate prezenta doar cicluri cu unul sau două noduri (alte cicluri ar implica bijecții diferite de inversele lor respective). Nodurile cu laț sunt punctele fixe ale involuției sau elementele auto-modale; nodurile care constituie cicluri de două elemente constituie perechi de elemente duale (vezi dualitatea ).
Alte exemple
Exemple de funcții endjective bijective care nu sunt involuții sunt funcțiile exprimate prin x 3 , prin x 2n + 1 pentru fiecare n număr întreg pozitiv și prin Sinh ( x ) (vezi sinusul hiperbolic ).
