Involuție (teoria mulțimilor)

În matematică , o involuție este o funcție caracterizată prin proprietatea de a fi inversul ei înșiși. Prin urmare, dacă se aplică de două ori, rezultatul coincide cu elementul de pornire.

Definiție

O involuție este o funcție

f:X\to X

{\ displaystyle f: X \ to X}

{\ displaystyle f: X \ to X}

astfel încât

f(f(x))=x\quad \forall x\in X

{\ displaystyle f (f (x)) = x \ quad \ forall x \ în X}

{\ displaystyle f (f (x)) = x \ quad \ forall x \ în X}

Fiecare involuție este neapărat o funcție bijectivă .

Conceptul de involuție este uneori folosit în locul idempotenței , care se referă mai corect la funcții precum $f(f(x))=f(x)$ ${\ displaystyle f (f (x)) = f (x)}$ ${\ displaystyle f (f (x)) = f (x)}$ .

Exemple

Funcția de identitate este o involuție banală. Exemple mai puțin banale includ înmulțirea unui număr real cu -1, inversul unui număr rațional , setul de complement al unui subset , conjugatul unui număr complex și operatorul de transpunere .

În algebra liniară , cu excepția caracteristicii două, o hartă liniară care este o involuție este întotdeauna diagonalizabilă .

În teoria grupurilor, o permutare este o involuție dacă este produsul unor transpuneri independente.

Numărarea involuțiilor

Numărul involuțiilor dintr-un set cu n elemente este dat de următoarea relație recursivă :

I_{0}=I_{1}=1

{\ displaystyle I_ {0} = I_ {1} = 1}

{\ displaystyle I_ {0} = I_ {1} = 1}

I_{n}=I_{n-1}+I_{n-2}(n-1)

{\ displaystyle I_ {n} = I_ {n-1} + I_ {n-2} (n-1)}

{\ displaystyle I_ {n} = I_ {n-1} + I_ {n-2} (n-1)}

Primii termeni ai secvenței sunt 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (secvența A000085 din Enciclopedia on-line a secvențelor întregi ).

Pentru a calcula numărul de involuții dintr-o mulțime cu elemente „n”, putem folosi și această formulă, care nu este legată de alte mulțimi.

\forall n\equiv 0\mod 2\Rightarrow I_{n}=1+\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\frac {\prod _{i=0}^{k}{n-2i \choose 2}}{(k+1)!}}

{\ displaystyle \ forall n \ equiv 0 \ mod 2 \ Rightarrow I_ {n} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} {\ frac {\ prod _ {i = 0} ^ {k} {n-2i \ alege 2}} {(k + 1)!}}}

{\ displaystyle \ forall n \ equiv 0 \ mod 2 \ Rightarrow I_ {n} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} {\ frac {\ prod _ {i = 0} ^ {k} {n-2i \ alege 2}} {(k + 1)!}}}

\forall n\equiv 1\mod 2\Rightarrow I_{n}=1+\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}{\frac {\prod _{i=0}^{k}{n-2i \choose 2}}{(k+1)!}}

{\ displaystyle \ forall n \ equiv 1 \ mod 2 \ Rightarrow I_ {n} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ {\ frac {n-3} {2}} {\ frac {\ prod _ { i = 0} ^ {k} {n-2i \ alege 2}} {(k + 1)!}}}

{\ displaystyle \ forall n \ equiv 1 \ mod 2 \ Rightarrow I_ {n} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ {\ frac {n-3} {2}} {\ frac {\ prod _ { i = 0} ^ {k} {n-2i \ alege 2}} {(k + 1)!}}}

Elemente conexe

Idempotență

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică