Complement împreună

În teoria mulțimilor și alte domenii ale matematicii , există două tipuri de seturi de complement : complementul relativ (numit și setul de diferențe ) și complementul absolut .

Complement relativ

Complementul relativ (sau diferența) lui

LA

{\ displaystyle A}

LA

în comparație cu

B.

{\ displaystyle B}

B.

:

~B\setminus A=A^{c}\cap B

{\ displaystyle ~ B \ setminus A = A ^ {c} \ cap B}

~ B \ setminus A = A ^ {c} \ cap B

Având două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , complementul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în comparație cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sau întreaga diferență $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Mai puțin $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este format doar din elementele din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ care nu aparțin $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De obicei este denumit $B\setminus A$ ${\ displaystyle B \ setminus A}$ $B \ setminus A$ sau cum $B-A$ ${\ displaystyle BA}$ $B-A$ . În mod formal avem:

B\setminus A=B-A=\{x\in B\wedge x\notin A\}

{\ displaystyle B \ setminus A = BA = \ {x \ în B \ wedge x \ notin A \}}

B \ setminus A = B-A = \ {x \ în B \ wedge x \ notin A \}

Rețineți că diferența stabilită $B-A$ ${\ displaystyle BA}$ $B-A$ este un subset al setului $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Exemple

$\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace -\lbrace 3\rbrace =\lbrace 1,2,4,5\rbrace$ ${\ displaystyle \ lbrace 1,2,3,4,5 \ rbrace - \ lbrace 3 \ rbrace = \ lbrace 1,2,4,5 \ rbrace}$ $\ lbrace 1,2,3,4,5 \ rbrace - \ lbrace 3 \ rbrace = \ lbrace 1,2,4,5 \ rbrace$
$\lbrace a,b,c,d\rbrace -\lbrace c,d,e,f\rbrace =\lbrace a,b\rbrace$ ${\ displaystyle \ lbrace a, b, c, d \ rbrace - \ lbrace c, d, e, f \ rbrace = \ lbrace a, b \ rbrace}$ $\ lbrace a, b, c, d \ rbrace - \ lbrace c, d, e, f \ rbrace = \ lbrace a, b \ rbrace$
$\lbrace 1,2,3\rbrace -\lbrace 2,3,4\rbrace =\lbrace 1\rbrace$ ${\ displaystyle \ lbrace 1,2,3 \ rbrace - \ lbrace 2,3,4 \ rbrace = \ lbrace 1 \ rbrace}$ $\ lbrace 1,2,3 \ rbrace - \ lbrace 2,3,4 \ rbrace = \ lbrace 1 \ rbrace$
$\lbrace 2,3,4\rbrace -\lbrace 1,2,3\rbrace =\lbrace 4\rbrace$ ${\ displaystyle \ lbrace 2,3,4 \ rbrace - \ lbrace 1,2,3 \ rbrace = \ lbrace 4 \ rbrace}$ $\ lbrace 2,3,4 \ rbrace - \ lbrace 1,2,3 \ rbrace = \ lbrace 4 \ rbrace$

Propuneri

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ sunt seturi, apoi se mențin următoarele identități :

$C-\left(A\cap B\right)=\left(C-A\right)\cup \left(C-B\right)$ ${\ displaystyle C- \ left (A \ cap B \ right) = \ left (CA \ right) \ cup \ left (CB \ right)}$ $C- \ left (A \ cap B \ right) = \ left (C-A \ right) \ cup \ left (C-B \ right)$
$C-\left(A\cup B\right)=\left(C-A\right)\cap \left(C-B\right)$ ${\ displaystyle C- \ left (A \ cup B \ right) = \ left (CA \ right) \ cap \ left (CB \ right)}$ $C- \ left (A \ cup B \ right) = \ left (C-A \ right) \ cap \ left (C-B \ right)$
$C-(B-A)=(A\cap C)\cup (C-B)$ ${\ displaystyle C- (BA) = (A \ cap C) \ cup (CB)}$ $C- (B-A) = (A \ cap C) \ cup (C-B)$
$(B-A)\cap C=(B\cap C)-A=B\cap (C-A)$ ${\ displaystyle (BA) \ cap C = (B \ cap C) -A = B \ cap (CA)}$ $(B-A) \ cap C = (B \ cap C) -A = B \ cap (C-A)$
$(B-A)\cup C=(B\cup C)-(A-C)$ ${\ displaystyle (BA) \ cup C = (B \ cup C) - (AC)}$ $(B-A) \ cup C = (B \ cup C) - (A-C)$
$A-A=\varnothing$ ${\ displaystyle AA = \ varnothing}$ $A-A = \ varnothing$
$\varnothing -A=\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing -A = \ varnothing}$ $\ varnothing -A = \ varnothing$
$A-\varnothing =A$ ${\ displaystyle A- \ varnothing = A}$ $A- \ varnothing = A$

Complement absolut

Complementul absolut

A^{c}

{\ displaystyle A ^ {c}}

A ^ {c}

(în roșu) de

LA

{\ displaystyle A}

LA

(gol):

~A^{c}=\varnothing ^{c}\setminus A

{\ displaystyle ~ A ^ {c} = \ varnothing ^ {c} \ setminus A}

~ A ^ {c} = \ varnothing ^ {c} \ setminus A

Complementul absolut este un caz special al complementului relativ.

Diferența dintre un cub parțial suprapus și o sferă

Dacă este definit un set de universuri $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , este definit ca complementul absolut al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ca complement relativ al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu privire la $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . În mod formal avem:

A^{c}=\neg A=U-A=\{x\in U{\text{ e }}x\notin A\}

{\ displaystyle A ^ {c} = \ neg A = UA = \ {x \ în U {\ text {e}} x \ notin A \}}

A ^ {c} = \ neg A = U-A = \ {x \ în U {\ text {e}} x \ notin A \}

Complementul absolut, denumit și $\sim A$ ${\ displaystyle \ sim A}$ $\Da, dar$ , reprezintă, de asemenea, NU în algebra booleană .

De exemplu, dacă mulțimea universală este mulțimea numerelor naturale , atunci complementul mulțimii numerelor impare este mulțimea numerelor pare.

Următoarea propoziție raportează câteva proprietăți fundamentale ale complementului absolut în raport cu operațiile stabilite de unire și intersecție.

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt subseturi ale unui set de universuri $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , apoi sunt valabile următoarele identități.

Legile lui De Morgan :

$(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c};$ ${\ displaystyle (A \ cup B) ^ {c} = A ^ {c} \ cap B ^ {c};}$ $(A \ cup B) ^ {c} = A ^ {c} \ cap B ^ {c};$
$(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.$ ${\ displaystyle (A \ cap B) ^ {c} = A ^ {c} \ cup B ^ {c}.}$ $(A \ cap B) ^ {c} = A ^ {c} \ cup B ^ {c}.$

Legile complementarității:

$A\cup A^{c}=U;$ ${\ displaystyle A \ cup A ^ {c} = U;}$ $A \ cup A ^ {c} = U;$
$A\cap A^{c}=\varnothing ;$ ${\ displaystyle A \ cap A ^ {c} = \ varnothing;}$ $A \ cap A ^ {c} = \ varnothing;$
$\varnothing ^{c}=U;$ ${\ displaystyle \ varnothing ^ {c} = U;}$ $\ varnothing ^ {c} = U;$
$U^{c}=\varnothing ;$ ${\ displaystyle U ^ {c} = \ varnothing;}$ $U ^ {c} = \ varnothing;$
De sine $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ , asa de $B^{c}\subseteq A^{c}$ ${\ displaystyle B ^ {c} \ subseteq A ^ {c}}$ $B ^ {c} \ subseteq A ^ {c}$ (aceasta rezultă din echivalența unei propoziții condiționale cu propoziția contraonominală ).

Legea privind implicarea sau dublul complement:

$(A^{c})^{c}=A.$ ${\ displaystyle (A ^ {c}) ^ {c} = A.}$ $(A ^ {c}) ^ {c} = A.$

Relațiile dintre complementul relativ și absolut:

$A-B=A\cap B^{c};$ ${\ displaystyle AB = A \ cap B ^ {c};}$ $A-B = A \ cap B ^ {c};$
$(A-B)^{c}=A^{c}\cup B.$ ${\ displaystyle (AB) ^ {c} = A ^ {c} \ cup B.}$ $(A-B) ^ {c} = A ^ {c} \ cup B.$

Primele două legi ale complementarității arată că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset ne vid de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , asa de $\{A,A^{c}\}$ ${\ displaystyle \ {A, A ^ {c} \}}$ $\ {A, A ^ {c} \}$ este o partiție a $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Bibliografie

Seymour Lipschutz, Topologie , Sonzogno, Etas Libri, 1979.
( EN ) Paul Halmos (1960): Naive set theory , D. Van Nostrand Company. Reeditat de Springer în 1974, ISBN 0-387-90092-6 .
( FR ) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles , Hermann.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Complement set , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică