Uniunea (teoria seturilor)

În matematică și în special în teoria mulțimilor , există o operație numită uniune (simbol $\cup$ ${\ displaystyle \ cup}$ $\ ceașcă$ ) de seturi . Având două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , unirea lor este un întreg format din toate și numai elementele care aparțin:

singur împreună $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ,
singur împreună $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ,
la amândoi.

Unirea este o operație binară . În algebra booleană corespunde operatorului OR ; în logică, corespunde disjuncției .

Definiție

Unirea a două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se notează în mod obișnuit cu $A\cup B$ ${\ displaystyle A \ cup B}$ $A \ cup B$ . Are asta $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un element al $A\cup B$ ${\ displaystyle A \ cup B}$ $A \ cup B$ dacă și numai dacă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un element de cel puțin unul dintre seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , în simboluri:

(x\in A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A\vee x\in B)

{\ displaystyle (x \ in A \ cup B) \ Leftrightarrow (x \ in A \ vee x \ in B)}

(x \ in A \ cup B) \ Leftrightarrow (x \ in A \ vee x \ in B)

Uniunea a două sau mai multe mulțimi se spune că este disjunctă dacă mulțimile, luate câte două, au o intersecție goală . În general, având în vedere o familie arbitrară $\{A_{\alpha },\,\alpha \in {\mathcal {I}}\}$ ${\ displaystyle \ {A _ {\ alpha}, \, \ alpha \ în {\ mathcal {I}} \}}$ $\ {A_ \ alpha, \, \ alpha \ în \ mathcal {I} \}$ de mulțimi, uniunea este definită ca mulțimea $\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {I}}} A _ {\ alpha}}$ $\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in \ mathcal {I}} A_ \ alpha$ la care un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparține dacă și numai dacă aparține cel puțin unuia dintre $A_{\alpha }$ ${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$ $A _ {\ alpha}$ .

Exemple

De exemplu, putem considera două mulțimi finite, o mulțime cu un număr finit de elemente: $A=\{1,2,3\}$ ${\ displaystyle A = \ {1,2,3 \}}$ $A = \ {1, 2, 3 \}$ Și $B=\{2,3,4\}$ ${\ displaystyle B = \ {2,3,4 \}}$ $B = \ {2, 3, 4 \}$ . În acest caz, uniunea se obține luând elementele care aparțin cel puțin unuia dintre cele două seturi:

A\cup B=\{1,2,3,4\}.

{\ displaystyle A \ cup B = \ {1,2,3,4 \}.}

A \ cup B = \ {1, 2, 3, 4 \}.

Un alt exemplu este dat de două seturi definite de o proprietate a elementelor lor: Fie:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ mulțimea numerelor întregi divizibile cu $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ ,
$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ mulțimea numerelor întregi divizibile cu $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ .

$A\cup B$ ${\ displaystyle A \ cup B}$ $A \ cup B$ este mulțimea numerelor întregi divizibile cu $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ și / sau pentru $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ .

Proprietate

Unirea a două seturi

Unirea unei sfere și a unui cub parțial suprapuse

Uniunea este o operație comutativă , în simboluri:

A\cup B=B\cup A.

{\ displaystyle A \ cup B = B \ cup A.}

A \ cup B = B \ cup A.

Intr-adevar

x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\Leftrightarrow x\in B\vee x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A.

{\ displaystyle x \ in A \ cup B \ Leftrightarrow x \ in A \ vee x \ in B \ Leftrightarrow x \ in B \ vee x \ in A \ Leftrightarrow x \ in B \ cup A.}

x \ in A \ cup B \ Leftrightarrow x \ in A \ vee x \ in B \ Leftrightarrow x \ in B \ vee x \ in A \ Leftrightarrow x \ in B \ cup A.

Uniunea este o operațiune asociativă :

(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).

{\ displaystyle (A \ cup B) \ cup C = A \ cup (B \ cup C).}

(A \ cup B) \ cup C = A \ cup (B \ cup C).

Intr-adevar

x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\vee x\in C\Leftrightarrow ,

{\ displaystyle x \ in (A \ cup B) \ cup C \ Leftrightarrow x \ in A \ cup B \ vee x \ in C \ Leftrightarrow x \ in A \ vee x \ in B \ vee x \ in C \ Leftrightarrow ,}

x \ in (A \ cup B) \ cup C \ Leftrightarrow x \ in A \ cup B \ vee x \ in C \ Leftrightarrow x \ in A \ vee x \ in B \ vee x \ in C \ Leftrightarrow,

x\in A\vee x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).

{\ displaystyle x \ in A \ vee x \ in B \ cup C \ Leftrightarrow x \ in A \ cup (B \ cup C).}

x \ in A \ vee x \ in B \ cup C \ Leftrightarrow x \ in A \ cup (B \ cup C).

Din acest motiv, parantezele pot fi prescrise atunci când se ia în considerare unirea a mai mult de două seturi, prin scriere $A\cup B\cup C.$ ${\ displaystyle A \ cup B \ cup C.}$ $A \ cup B \ cup C.$

Istorie

Simbolul ∪, precum și simbolurile ∈ , ∩ , ⊂ , au fost introduse pentru prima dată de Giuseppe Peano în Formulario mathico , o lucrare publicată în 1895.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre fuzionare

linkuri externe

( EN ) Union , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică