Subclasă (studii de set)

În teoria mulțimilor, o subclasă este o clasă ale cărei elemente sunt conținute într-o altă clasă; deci o clasă, pe care o numim B , este o subclasă a unei alte clase, pe care o numim A , dacă

\forall x:x\in B\Rightarrow x\in A

{\ displaystyle \ forall x: x \ in B \ Rightarrow x \ in A}

{\ displaystyle \ forall x: x \ in B \ Rightarrow x \ in A}

sau, în cuvinte:

pentru fiecare element x , dacă x aparține lui B, atunci x aparține lui A.

De asemenea, putem spune, cu alte cuvinte, că B este o subclasă a lui A dacă toate elementele lui B sunt și ele elemente ale lui A.
Pentru a indica faptul că clasa B este o subclasă a clasei A folosim scrierea:

B\subseteq A

{\ displaystyle B \ subseteq A}

B \ subseteq A

care scrie:

„B este conținut (sau inclus) în A” .

Rețineți că fiecare clasă este o subclasă a sa, adică

A\subseteq A

{\ displaystyle A \ subseteq A}

A \ subseteq A

deoarece o clasă A este definită ca $A=\{x|x\in A\forall x\}$ ${\ displaystyle A = \ {x | x \ în A \ forall x \}}$ ${\ displaystyle A = \ {x | x \ în A \ forall x \}}$ , adică clasa lui x astfel încât x aparține lui A pentru fiecare x , care este, de asemenea, definiția fiecăreia dintre subclasele sale.

Explicând altfel, A poate fi considerat o subclasă a sa, deoarece toate elementele lui A (ca o clasă) sunt, de asemenea, elemente ale lui A (ca o subclasă).

Prin urmare, diferența fundamentală dintre subclasă și subset constă în natura conceptelor respective de clasă și set , mai degrabă decât în definiție.

În acest sens, vă reamintim că:

o clasă este o colecție de elemente;
toate seturile sunt clase, dar nu toate clasele sunt seturi. De fapt, o clasă poate și nu poate fi un element al altei clase, în timp ce un set este o clasă care poate fi întotdeauna considerată un element al altei clase. Cu alte cuvinte, clasele care pot fi considerate elemente ale altor clase sunt seturi, în timp ce clasele care nu pot fi considerate elemente ale altor clase se numesc clase proprii . În ambele cazuri, totuși, avem de-a face cu clase; prin urmare, conceptul de clasă este superior celui al întregului.

Pentru subclasele, cea mai mare parte din ceea ce se poate afirma pentru subseturi este valabilă și, în special:

A=B\iff A\subseteq B\;\;e\;\;B\subseteq A

{\ displaystyle A = B \ if A \ subseteq B \; \; e \; \; B \ subseteq A}

{\ displaystyle A = B \ if A \ subseteq B \; \; e \; \; B \ subseteq A}

acesta este

A este egal cu B dacă și numai dacă A este conținut în B și B este conținut în A.

Mai mult, se poate concluziona că clasa care nu conține elemente nu este o clasă proprie, ci o colecție. De fapt, în teoria axiomatică a mulțimilor , fiecare subclasă a unei mulțimi este ea însăși o mulțime ( axioma specificației ); întrucât clasa care nu conține elemente - clasa goală, {} sau ∅ - este o subclasă a oricărei alte clase (și deci și a fiecărui set), rezultă că este un set, care se numește un set gol .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică