Funcția inversă

f^{-1}

{\ displaystyle f ^ {- 1}}

f ^ {- 1}

trimite 3 într - o deoarece f trimite o în 3

În matematică , o funcție $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ se spune că este inversabilă dacă există o funcție $g\colon Y\to X$ ${\ displaystyle g \ colon Y \ to X}$ $g \ colon Y \ la X$ astfel încât

g(f(x))=x

{\ displaystyle g (f (x)) = x}

g (f (x)) = x

pentru fiecare

x\in X

{\ displaystyle x \ în X}

x \ în X

, Și

f(g(y))=y

{\ displaystyle f (g (y)) = y}

f (g (y)) = y

pentru fiecare

y\in Y

{\ displaystyle y \ in Y}

y \ în Y

;

mai formal,

g\circ f={\text{id}}_{X}

{\ displaystyle g \ circ f = {\ text {id}} _ {X}}

g \ circ f = {\ text {id}} _ {{X}}

, Și

f\circ g={\text{id}}_{Y}

{\ displaystyle f \ circ g = {\ text {id}} _ {Y}}

f \ circ g = {\ text {id}} _ {{Y}}

,

unde este $f\circ g$ ${\ displaystyle f \ circ g}$ $f \ circ g$ indică funcția compusă și ${\text{id}}_{S}$ ${\ displaystyle {\ text {id}} _ {S}}$ ${\ text {id}} _ {{S}}$ indică funcția de identitate activată $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este inversabilă, apoi funcția $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ al definiției este unic; această funcție $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ se numește funcția inversă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și este indicat cu $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ (în concordanță cu notația pentru elementul invers în raport cu compoziția).

Injectivitate și surjectivitate

Dacă o funcție este inversabilă, atunci este bijectivă , adică este atât injectivă, cât și surjectivă . Într-adevăr, cu notațiile de mai sus

de sine $x_{1},x_{2}\in X$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ în X}$ $x _ {{1}}, x _ {{2}} \ în X$ Și $f(x_{1})=f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}$ $f (x _ {{1}}) = f (x _ {{2}})$ , asa de $x_{1}=g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))=x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} = g (f (x_ {1})) = g (f (x_ {2})) = x_ {2}}$ $x _ {{1}} = g (f (x _ {{1}})) = g (f (x _ {{2}})) = x _ {{2}}$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv;
de sine $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ , asa de $y=f(g(y))$ ${\ displaystyle y = f (g (y))}$ $y = f (g (y))$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este surjectiv.

Dimpotrivă, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o bijecție, atunci putem defini un invers al acesteia $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , stipulând că $g(y)$ ${\ displaystyle g (y)}$ $g (y)$ fie un singur element $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ astfel încât $f(x)=y$ ${\ displaystyle f (x) = y}$ $f (x) = y$ ; de fapt astfel $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ există pentru surjectivitate și este unic pentru injectivitate. De asemenea, se dovedește $x=g(y)=g(f(x))$ ${\ displaystyle x = g (y) = g (f (x))}$ $x = g (y) = g (f (x))$ pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ Și $y=f(x)=f(g(y))$ ${\ displaystyle y = f (x) = f (g (y))}$ $y = f (x) = f (g (y))$ pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ .

Inversul drept și surjectivitatea

O functie $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ admite un invers drept (în unele contexte de secțiune) dacă există o funcție $g\colon Y\to X$ ${\ displaystyle g \ colon Y \ to X}$ $g \ colon Y \ la X$ astfel încât

f\circ g={\text{id}}_{Y}

{\ displaystyle f \ circ g = {\ text {id}} _ {Y}}

{\ displaystyle f \ circ g = {\ text {id}} _ {Y}}

.

Cu axioma de alegere , o funcție admite un invers drept dacă și numai dacă este surjectiv.
Inversul corect al unei funcții nu este unic: de exemplu funcția $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ definit de $f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (x) = x ^ {2}$ admite orice funcție ca inversul corect $g\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}$ că pentru fiecare $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ satisface $g(x)={\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle g (x) = {\ sqrt {x}}}$ $g (x) = {\ sqrt {x}}$ sau $g(x)=-{\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle g (x) = - {\ sqrt {x}}}$ $g (x) = - {\ sqrt {x}}$ .

Stânga inversă și injectivitate

Graficul unei funcții reale a unei variabile reale neinjective, deci nu este inversabilă

O functie $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ admite un invers stâng (în unele contexte retragere) dacă există o funcție $h\colon Y\to X$ ${\ displaystyle h \ colon Y \ to X}$ $h \ colon Y \ la X$ astfel încât

h\circ f={\text{id}}_{X}

{\ displaystyle h \ circ f = {\ text {id}} _ {X}}

{\ displaystyle h \ circ f = {\ text {id}} _ {X}}

.

O funcție admite un invers stâng dacă și numai dacă este injectivă.
Inversul stâng al unei funcții nu este unic: de exemplu funcția $f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon {\ mathbb {Z}} \ to {\ mathbb {R}}$ definit de $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ admite orice funcție ca stânga inversă $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle h \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle h \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {Z}}$ a cărei restricție la numere întregi este identitatea sau aceea pentru fiecare $x\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Z}}$ $x \ in {\ mathbb {Z}}$ satisface $h(x)=x$ ${\ displaystyle h (x) = x}$ ${\ displaystyle h (x) = x}$ .

Invers și bijectivitate

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ recunoaște că este un drept invers $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ decât un invers stâng $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este inversabil cu invers $f^{-1}=g=h$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} = g = h}$ $f ^ {{- 1}} = g = h$ :

h=h\circ {\text{id}}_{Y}=h\circ (f\circ g)=h\circ f\circ g=(h\circ f)\circ g={\text{id}}_{X}\circ g=g

{\ displaystyle h = h \ circ {\ text {id}} _ {Y} = h \ circ (f \ circ g) = h \ circ f \ circ g = (h \ circ f) \ circ g = {\ text {id}} _ {X} \ circ g = g}

{\ displaystyle h = h \ circ {\ text {id}} _ {Y} = h \ circ (f \ circ g) = h \ circ f \ circ g = (h \ circ f) \ circ g = {\ text {id}} _ {X} \ circ g = g}

.

Aplicând proprietățile anterioare, se dovedește:

o funcție este inversabilă (dreapta și stânga) dacă și numai dacă este bijectivă (injectivă și surjectivă).

Categorii și grupuri

În limbajul categoriilor, funcția inversă $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ este morfismul invers al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în cadrul categoriei stabilite.

În limba grupurilor, dacă $f\colon X\to X$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ $f \ colon X \ to X$ este inversabilă, apoi funcția inversă $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ este inversul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în grupul permutărilor de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Proprietate

Compoziția funcțiilor

De sine $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ Și $g:Y\to Z$ ${\ displaystyle g: Y \ to Z}$ $g: Y \ to Z$ sunt inversabile, atunci inversul compoziției lor este dat de

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}}

(g \ circ f) ^ {{- 1}} = f ^ {{- 1}} \ circ g ^ {{- 1}}

adică inversele sunt alcătuite într-o ordine inversată. Intr-adevar

(f^{-1}\circ g^{-1})\circ (g\circ f)=f^{-1}\circ g^{-1}\circ g\circ f=f^{-1}\circ (g^{-1}\circ g)\circ f=f^{-1}\circ {\text{id}}_{Y}\circ f=f\circ f^{-1}={\text{id}}_{X}

{\ displaystyle (f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}) \ circ (g \ circ f) = f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1} \ circ g \ circ f = f ^ {- 1} \ circ (g ^ {- 1} \ circ g) \ circ f = f ^ {- 1} \ circ {\ text {id}} _ {Y} \ circ f = f \ circ f ^ {-1} = {\ text {id}} _ {X}}

{\ displaystyle (f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}) \ circ (g \ circ f) = f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1} \ circ g \ circ f = f ^ {- 1} \ circ (g ^ {- 1} \ circ g) \ circ f = f ^ {- 1} \ circ {\ text {id}} _ {Y} \ circ f = f \ circ f ^ {-1} = {\ text {id}} _ {X}}

Și

(g\circ f)\circ (f^{-1}\circ g^{-1})=g\circ f\circ f^{-1}\circ g^{-1}=g\circ (f\circ f^{-1})\circ g^{-1}=g\circ {\text{id}}_{Y}\circ g^{-1}=g\circ g^{-1}={\text{id}}_{Z}

{\ displaystyle (g \ circ f) \ circ (f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}) = g \ circ f \ circ f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1} = g \ circ (f \ circ f ^ {- 1}) \ circ g ^ {- 1} = g \ circ {\ text {id}} _ {Y} \ circ g ^ {- 1} = g \ circ g ^ {-1} = {\ text {id}} _ {Z}}

{\ displaystyle (g \ circ f) \ circ (f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}) = g \ circ f \ circ f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1} = g \ circ (f \ circ f ^ {- 1}) \ circ g ^ {- 1} = g \ circ {\ text {id}} _ {Y} \ circ g ^ {- 1} = g \ circ g ^ {-1} = {\ text {id}} _ {Z}}

De exemplu, funcția

g\circ f\colon {\begin{array}{ccccc}\mathbb {R} &{\stackrel {f}{\to }}&\mathbb {R} &{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {R} \\x&\mapsto &3x&\mapsto &3x+5\end{array}}

{\ displaystyle g \ circ f \ colon {\ begin {array} {ccccc} \ mathbb {R} & {\ stackrel {f} {\ to}} & \ mathbb {R} & {\ stackrel {g} {\ to}} & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & 3x & \ mapsto & 3x + 5 \ end {array}}}

{\ displaystyle g \ circ f \ colon {\ begin {array} {ccccc} \ mathbb {R} & {\ stackrel {f} {\ to}} & \ mathbb {R} & {\ stackrel {g} {\ to}} & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & 3x & \ mapsto & 3x + 5 \ end {array}}}

are inversul funcției

f^{-1}\circ g^{-1}\colon {\begin{array}{ccccc}\mathbb {R} &{\stackrel {g^{-1}}{\to }}&\mathbb {R} &{\stackrel {f^{-1}}{\to }}&\mathbb {R} \\x&\mapsto &x-5&\mapsto &{\frac {1}{3}}(x-5)\end{array}}

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1} \ colon {\ begin {array} {ccccc} \ mathbb {R} & {\ stackrel {g ^ {- 1}} {\ to}} & \ mathbb {R} & {\ stackrel {f ^ {- 1}} {\ to}} & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x-5 & \ mapsto & {\ frac {1} { 3}} (x-5) \ end {array}}}

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1} \ colon {\ begin {array} {ccccc} \ mathbb {R} & {\ stackrel {g ^ {- 1}} {\ to}} & \ mathbb {R} & {\ stackrel {f ^ {- 1}} {\ to}} & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x-5 & \ mapsto & {\ frac {1} { 3}} (x-5) \ end {array}}}

Implicații

Dacă o funcție este inversă de la sine, se spune că este o involuție . Un exemplu este căsătoria complexă ,

u\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} \\z=x+iy&\mapsto &{\bar {z}}=x-iy\end{array}}

{\ displaystyle u \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {C} & \ to & \ mathbb {C} \\ z = x + iy & \ mapsto & {\ bar {z}} = x- iy \ end {array}}}

{\ displaystyle u \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {C} & \ to & \ mathbb {C} \\ z = x + iy & \ mapsto & {\ bar {z}} = x- iy \ end {array}}}

Grafic

Graficele

f

{\ displaystyle f}

f

Și

f^{-1}

{\ displaystyle f ^ {- 1}}

f ^ {- 1}

sunt simetrice față de bisectoarea primului și celui de-al treilea cadran

De sine $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ este inversabil, apoi pentru fiecare cuplu $(x_{0},y_{0})\in X\times Y$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ în X \ times Y}$ $(x_ {0}, y_ {0}) \ în X \ ori Y$ enunțurile sunt echivalente

$(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ aparține graficului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , $\Gamma (f)=\{(x,y)\in X\times Y\mid y=f(x)\}$ ${\ displaystyle \ Gamma (f) = \ {(x, y) \ în X \ times Y \ mid y = f (x) \}}$ $\ Gamma (f) = \ {(x, y) \ în X \ times Y \ mid y = f (x) \}$
$(y_{0},x_{0})$ ${\ displaystyle (y_ {0}, x_ {0})}$ $(y_ {0}, x_ {0})$ aparține graficului $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ , $\Gamma (f^{-1})=\{(y,x)\in Y\times X\mid x=f^{-1}(y)\}$ ${\ displaystyle \ Gamma (f ^ {- 1}) = \ {(y, x) \ în Y \ times X \ mid x = f ^ {- 1} (y) \}}$ ${\ displaystyle \ Gamma (f ^ {- 1}) = \ {(y, x) \ în Y \ times X \ mid x = f ^ {- 1} (y) \}}$

De fapt, fiecare funcție $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ este o relație $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ între cele două seturi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , care poate fi identificat cu setul de cupluri care sunt în relație, $R=\{(x,y)\in X\times Y\mid xRy\}$ ${\ displaystyle R = \ {(x, y) \ în X \ times Y \ mid xRy \}}$ $R = \ {(x, y) \ în X \ times Y \ mid xRy \}$ , adică cu graficul funcției. Relația inversă este pur și simplu simetrică, $y S. X$ ${\ displaystyle ySx}$ $ySx$ dacă și numai dacă $X R. y$ ${\ displaystyle xRy}$ $xRy$ ; asa de

S=\{(y,x)\in Y\times X\mid ySx\}=\{(y,x)\in Y\times X\mid xRy\}

{\ displaystyle S = \ {(y, x) \ în Y \ times X \ mid ySx \} = \ {(y, x) \ in Y \ times X \ mid xRy \}}

S = \ {(y, x) \ in Y \ times X \ mid ySx \} = \ {(y, x) \ in Y \ times X \ mid xRy \}

.

În special, pentru funcțiile unei variabile reale , graficul funcției inverse $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ este simetric cu graficul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în ceea ce privește „diagonala” $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$ adică bisectoarea primului și celui de-al treilea cadran.

Derivat

Același subiect în detaliu: regula funcției inverse .

În analiza matematică dacă o funcție reală este inversabilă și diferențiată într-un punct cu nimic derivat, atunci și inversul său este diferențiat și este

\left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={1 \over f'(x)},\quad {\text{dove }}y=f(x).

{\ displaystyle \ left (f ^ {- 1} \ right) ^ {\ prime} (y) = {1 \ over f '(x)}, \ quad {\ text {where}} y = f (x) .}

\ left (f ^ {{- 1}} \ right) ^ {\ prime} (y) = {1 \ over f '(x)}, \ quad {\ text {where}} y = f (x).

Teorema funcției inverse este, de asemenea, o teoremă foarte importantă care afirmă că o funcție cu o derivată diferită de zero într-un punct este inversabilă local (adică restricția sa într-o vecinătate adecvată a punctului este inversabilă).

Formula pentru invers

Dacă o funcție este exprimată ca o compoziție de funcții inversabile, atunci inversul acesteia poate fi obținut așa cum este descris în paragraful relevant .

În special, puteți obține rapid o expresie explicită pentru funcția inversă, reținând asta $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ este echivalent cu $x=f^{-1}(y)$ ${\ displaystyle x = f ^ {- 1} (y)}$ $x = f ^ {{- 1}} (y)$ . Deci este suficient să exprimăm $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ca o funcție a $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$

De exemplu, inversul funcției

f\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &(2x+8)^{3}\end{array}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & (2x + 8) ^ {3} \ end {array} }}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & (2x + 8) ^ {3} \ end {array} }}

poate fi determinată în mod explicit prin obținerea

{\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\frac {1}{2}}({\sqrt[{3}]{y}}-8)&=x\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y & = (2x + 8) ^ {3} \\ {\ sqrt [{3}] {y}} & = 2x + 8 \\ {\ sqrt [{3}] {y}} - 8 & = 2x \\ {\ frac {1} {2}} ({\ sqrt [{3}] {y}} - 8) & = x \ end {align}}}

{\ begin {align} y & = (2x + 8) ^ {3} \\ {\ sqrt [{3}] {y}} & = 2x + 8 \\ {\ sqrt [{3}] {y} } -8 & = 2x \\ {\ frac {1} {2}} ({\ sqrt [{3}] {y}} - 8) & = x \ end {align}}

Prin urmare

f^{-1}\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\y&\mapsto &{\frac {1}{2}}({\sqrt[{3}]{y}}-8)\end{array}}

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ y & \ mapsto & {\ frac {1} {2} } ({\ sqrt [{3}] {y}} - 8) \ end {array}}}

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ y & \ mapsto & {\ frac {1} {2} } ({\ sqrt [{3}] {y}} - 8) \ end {array}}}

În orice caz, este necesar să se definească o funcție inversă: scăderea, divizarea și extracția rădăcinii aplicate în exemplul anterior sunt definite ca funcțiile inverse ale sumei, multiplicării și respectiv exponențierii. Dacă o funcție inversabilă nu poate fi exprimată ca o compoziție de funcții ale cărei funcții inverse au fost deja definite, atunci funcția inversă nu poate fi exprimată ca o compoziție de note inverse și trebuie definită de la zero .

De exemplu, funcția

f\colon {\begin{array}{ccc}[-1,+\infty [&\to &[-e^{-1},+\infty [\\x&\mapsto &xe^{x}\end{array}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} [- 1, + \ infty [& \ to & [- e ^ {- 1}, + \ infty [\\ x & \ mapsto & xe ^ { x} \ end {array}}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} [- 1, + \ infty [& \ to & [- e ^ {- 1}, + \ infty [\\ x & \ mapsto & xe ^ { x} \ end {array}}}

are un invers special definit: logaritmul produs .

Funcție inversă parțială

Funcția pătrată, de la reali la reali, nu este inversabilă. Restricția sa, de la reali pozitivi la reali pozitivi, este inversabilă cu funcția de rădăcină pătrată inversă. În imagine, graficele funcțiilor au fost ambele scufundate în întregul plan cartezian.

Fiecare funcție poate fi „făcută” bijectivă, deci inversabilă, prin restricționarea domeniului și a gamei sale, sau prin înlocuirea acesteia cu o nouă funcție cu domeniul și gama care este „mai mică” și care menține o parte a asociațiilor. De exemplu, este întotdeauna posibil să se limiteze domeniul la un singur element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și intervalul până la elementul unic $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ : funcția astfel definită,

{\tilde {f}}\colon {\begin{array}{ccc}\{x\}&\to &\{y\}\\x&\mapsto &y\end{array}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ {x \} & \ to & \ {y \} \\ x & \ mapsto & y \ end {array}}}

{\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} [t] {ccc} \ {x \} & \ to & \ {y \} \\ x & \ mapsto & y \ end {array}}

este inversabil:

{\tilde {f}}^{-1}\colon {\begin{array}{ccc}\{y\}&\to &\{x\}\\y&\mapsto &x\end{array}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} ^ {- 1} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ {y \} & \ to & \ {x \} \\ y & \ mapsto & x \ end {array}}}

{\ tilde {f}} ^ {{- 1}} \ colon {\ begin {array} [t] {ccc} \ {y \} & \ to & \ {x \} \\ y & \ mapsto & x \ end {array}}

.

Cu această procedură obținem o funcție diferită de cea originală, iar funcția sa inversă nu este o funcție inversă a funcției originale. Deoarece pe unele elemente se comportă ca o funcție inversă, este considerat un invers parțial.

Injectivitate

Fiecare funcție poate fi „făcută” injectivă prin restricționarea domeniului său: dacă există două elemente în domeniu $x_{1}\neq x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ neq x_ {2}}$ $x_ {1} \ neq x_ {2}$ astfel încât $f(x_{1})=f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}$ $f (x_ {1}) = f (x_ {2})$ , atunci funcția nu poate fi injectivă. „Se elimină” $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ sau $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ din dominare, acest obstacol este eliminat.

De exemplu, funcția

f\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x^{2}\end{array}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

nu este injectiv, ci funcția

{\tilde {f}}\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} ^{+}&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x^{2}\end{array}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} ^ {+} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2 } \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} ^ {+} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2 } \ end {array}}}

este injectiv.

Nu există o restricție de domeniu unic care face ca funcția să fie injectată: pentru fiecare pereche de elemente $x_{1}\neq x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ neq x_ {2}}$ $x_ {1} \ neq x_ {2}$ astfel încât $f(x_{1})=f(x_{2})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}$ $f (x_ {1}) = f (x_ {2})$ , puteți alege să excludeți din domeniu $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ , sau $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ , sau amândouă.

În exemplul indicat, funcțiile injective sunt, de asemenea, obținute luând ca domeniu $\mathbb {R} ^{-}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}$ , sau $[-1,0]\cup [2,3]$ ${\ displaystyle [-1,0] \ cup [2,3]}$ $[-1,0] \ cup [2,3]$ .

În cazul funcțiilor reale continue, unde este posibilă aplicarea unei noțiuni de continuitate și separare, este obișnuit să alegeți un interval maxim ca domeniu și să vorbiți despre ramuri ale funcției, iar o ramură principală este aleasă în mod convențional.

Surjectivitate

Fiecare funcție poate fi „făcută” surjectivă prin restrângerea domeniului său: dacă există un element în interval $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care nu este o imagine a vreunui element al domeniului, atunci funcția nu poate fi surjectivă. „Se elimină” $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din distanță, acest obstacol este eliminat.

De exemplu, funcția

f\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x^{2}\end{array}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

nu este surjectiv, ci funcțional

{\tilde {f}}\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} ^{+}\\x&\mapsto &x^{2}\end{array}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} ^ {+} \\ x & \ mapsto & x ^ {2 } \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} ^ {+} \\ x & \ mapsto & x ^ {2 } \ end {array}}}

este surjectiv.

Nu există o singură restricție a intervalului care face funcția surjectivă, dar există o singură restricție maximă, care conține toate celelalte: imaginea , care este setul tuturor imaginilor elementelor domeniului,

{\text{Im}}(f)=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}

{\ displaystyle {\ text {Im}} (f) = f (X) = \ {f (x) \ mid x \ în X \}}

{\ text {Im}} (f) = f (X) = \ {f (x) \ mid x \ în X \}

.

Bijectivitate

Prin combinarea celor două metode indicate sau prin restricționarea atât a domeniului, cât și a gamei unei funcții, aceasta poate fi făcută atât injectivă, cât și surjectivă, adică bijectivă (și, prin urmare, inversabilă).

De exemplu, funcția

f\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x^{2}\end{array}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

nu este inversabil, ci funcția

{\tilde {f}}\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} ^{+}&\to &\mathbb {R} ^{+}\\x&\mapsto &x^{2}\end{array}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} ^ {+} & \ to & \ mathbb {R} ^ {+} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} ^ {+} & \ to & \ mathbb {R} ^ {+} \\ x & \ mapsto & x ^ {2} \ end {array}}}

este inversabil.

Funcția inversă generalizată

Nu toate funcțiile sunt inversabile, dar fiecare element al codomainului poate fi asociat cu imaginea sa contra (sau fibră), uneori indicată cu abuz de notație

f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in X\mid f(x)=y\}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = f ^ {- 1} (\ {y \}) = \ {x \ în X \ mid f (x) = y \}}

f ^ {{- 1}} (y) = f ^ {{- 1}} (\ {y \}) = \ {x \ în X \ mid f (x) = y \}

Această asociere definește o funcție, numită funcție inversă generalizată, între codomain și setul de părți ale domeniului

f^{-1}\colon {\begin{array}{ccc}Y&\to &{\mathcal {P}}(X)\\y&\mapsto &\{x\in X\mid f(x)=y\}\end{array}}

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon {\ begin {array} {ccc} Y & \ to & {\ mathcal {P}} (X) \\ y & \ mapsto & \ {x \ in X \ mid f (x) = y \} \ end {array}}}

f ^ {{- 1}} \ colon {\ begin {array} [t] {ccc} Y & \ to & {\ mathcal {P}} (X) \\ y & \ mapsto & \ {x \ in X \ mid f (x) = y \} \ end {array}}

Invers ca relație

Fiecare funcție este o relație între două seturi și este inversabilă în sensul relațiilor: $X R. y$ ${\ displaystyle xRy}$ $xRy$ dacă și numai dacă $y S. X$ ${\ displaystyle ySx}$ $ySx$ .

Relația inversă nu este o funcție, dacă funcția de pornire nu este inversabilă. Dar dacă funcția de pornire este surjectivă, atunci pentru fiecare element $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ din interval există cel puțin un element al domeniului $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ astfel încât $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , adică $x=f^{-1}(y)$ ${\ displaystyle x = f ^ {- 1} (y)}$ $x = f ^ {{- 1}} (y)$ . Totuși, acest element nu este neapărat unic $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este injectiv. În acest caz $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ nu este o funcție (nu este unică), dar este o funcție multivocă sau multifuncțională .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcție inversă

linkuri externe

( EN ) Funcție inversă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică