Axioma de alegere
Axioma alegerii este o axiomă a teoriei mulțimilor enunțată pentru prima dată de Ernst Zermelo în 1904 [1] . Se afirmă că
Având în vedere o familie ne-goală de seturi ne-goale , există o funcție care face ca elementul său să corespundă fiecărui set al familiei.
În termeni non-formali, axioma asigură că, atunci când este dată o colecție de seturi ne-goale, un nou set poate fi întotdeauna construit prin „alegerea” unui singur element din fiecare dintre cele inițiale. Dacă numărul seturilor de pornire este finit, axioma alegerii nu este necesară, deoarece celelalte axiome ale teoriei mulțimilor sunt suficiente pentru a garanta posibilitatea acestei alegeri; în cazul unui număr infinit de mulțimi, pe de altă parte, trebuie introdusă în teorie o axiomă specifică, axioma de alegere.
Un exemplu tipic cu care se explică sensul axiomei este următorul: să presupunem că avem un număr infinit de perechi de pantofi și vrem să definim un set care conține un (și doar unul) pantof din fiecare pereche; o putem face fără probleme având în vedere de exemplu setul de pantofi potriviți. Problemele apar dacă avem un număr infinit de perechi de șosete (presupunând că dreapta și stânga nu se pot distinge) și vrem să considerăm mai întâi un set care conține câte un șoset pentru fiecare dintre ele: nu mai putem vorbi despre setul de „șosete potrivite” și, de fapt, nu avem nicio modalitate de a distinge cele două elemente ale unei perechi, adică de a avea o funcție de alegere care să ne asigure că putem alege unul din fiecare set în același timp. Pentru a putea spune că un astfel de set există oricum, trebuie să invocăm axioma alegerii .
Axioma alegerii este uneori indicată de acronimul AC (din engleza Axiom of Choice ), în special în contextul logicii matematice .
Rolul în matematica contemporană
În matematica contemporană, axioma alegerii are multe consecințe importante în toate ramurile și acest lucru a contribuit cu siguranță la acceptarea sa pe scară largă.
Unele rezultate pentru care axioma alegerii este esențială:
- Fiecare spațiu vectorial diferit de zero admite o bază
- Fiecare câmp admite o închidere algebrică , unică cu excepția izomorfismelor.
- Fiecare inel unitar admite idealuri maxime
- Teorema compactității pentru logica predicatelor
- Teorema Hahn-Banach
Dacă, pe de o parte, axioma de alegere ne permite să demonstrăm rezultate importante, pe de altă parte, conduce și la construirea de obiecte matematice contraintuitive, ca seturi nemăsurabile (a se vedea setul lui Vitali ) sau ca partiții finite ale sferei care , când sunt reasamblate în mod adecvat, devin două sfere fiecare cu o rază egală cu cea a sferei de pornire (vezi paradoxul Banach-Tarski ).
Propoziții echivalente cu axioma alegerii
Există multe alte formulări care pot fi dovedite echivalente cu axioma de alegere: adică acceptând ca axiome oricare dintre ele se poate dovedi AC și invers că acceptând AC toate sunt demonstrabile. Cele mai frecvente dintre ele sunt
- Lema lui Zorn
- Teorema unei bune ordonări : pe fiecare set putem defini o bună ordonare .
- Axioma multiplicativă : produsul cartezian al unei familii de seturi ne-goale este ne-gol.
- Teorema Hartogs : relația de ordine standard pe cardinali este totală.
Coerență și independență față de celelalte axiome
În 1938, Kurt Gödel a arătat că, dacă sistemul axiomatic al lui Zermelo - Fraenkel (cunoscut și sub acronimul ZF) este consecvent, acesta rămâne consecvent chiar și cu adăugarea axiomei de alegere. Rezultatul lui Gödel a fost obținut prin construirea unui model pentru teoria mulțimilor în care axioma alegerii era validă (modelul este cunoscut sub numele de „ universul seturilor construibile ”). Cu toate acestea, axioma alegerii nu poate fi dovedită pornind de la celelalte axiome, așa cum a fost demonstrat de Cohen în 1963. Dovada lui Cohen se bazează pe construirea unui model alternativ pentru teoria seturilor prin intermediul tehnicii de forțare : în modelul Cohen toate axiomele ZF sunt adevărate, iar axioma alegerii este falsă.
Notă
- ^ Ernst Zermelo, Neuer Beweis, dass jede Menge Wohlordnung werden kann (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe) , în Mathematische Annalen , vol. 59, 1904, pp. 514-516.
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe axioma la alegere
linkuri externe
- math.vanderbilt.edu ,http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html .
- The Axiom of Choice , în Stanford Encyclopedia of Philosophy , 9 ianuarie 2008. Accesat la 23 octombrie 2014 (arhivat din original la 14 martie 2015) .
| Controlul autorității | LCCN (EN) sh85010586 · GND (DE) 4143673-8 · NDL (EN, JA) 00.570.783 |
|---|
