Ideal maxim

În matematică , în special în teoria inelelor , un ideal maxim este un ideal care se dovedește a fi un element maxim (cu privire la incluziunea setului) a setului de idealuri ale unui inel , adică astfel încât să nu fie conținut în mod corespunzător în orice alt drept ideal al inelului.

Idealurile maxime sunt, prin urmare, caracterizate de proprietatea de a fi conținute doar în două idealuri: întregul inel și idealul maxim în sine. Într-o diagramă Hasse această proprietate este exprimată prin faptul că idealurile maxime sunt întotdeauna conectate direct la punctul care reprezintă întregul inel.

Idealuri maxime și bucle simple

Idealurile maxime sunt strâns legate de inelele simple , de fapt date $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ inel:

$I\,\mathrm {massimale} \Leftrightarrow A/I\,\mathrm {semplice}$ ${\ displaystyle I \, \ mathrm {maximal} \ Leftrightarrow A / I \, \ mathrm {simple}}$ ${\ displaystyle I \, \ mathrm {maximal} \ Leftrightarrow A / I \, \ mathrm {simple}}$

De asemenea dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel comutativ unitar pe care îl avem ca coeficientul $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ pe lângă faptul că este simplu, este și un câmp ; acest lucru nu mai este adevărat într-un inel fără unitate, de exemplu idealul $4\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle 4 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle 4 \ mathbb {Z}}$ este maximă în $2\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$ , dar $2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ nu este un câmp în ciuda faptului că este un simplu inel.

Existența și unicitatea idealului maxim

În general, nu există procese constructive care să determine un ideal maxim al oricărui inel; în multe situații, totuși, este posibil să se stabilească existența idealului maxim. Rezultatul cel mai general în acest sens este Lemma lui Krull ( 1929 ): fiecare inel netrivial cu unitate are cel puțin un ideal maxim; dovada teoremei se folosește de lema lui Zorn și, prin urmare, de axioma de alegere .

Pentru unele inele este posibilă și o construcție directă a idealurilor maxime; de exemplu, este simplu să demonstrezi că în ring $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ dintre numerele întregi idealurile maxime sunt idealurile principale generate de numerele prime.

În general, un inel poate avea mai multe idealuri maxime; inelele care conțin doar un ideal maxim se numesc inele locale .

Caracterizări ale idealurilor maxime

Dat un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , dacă i se aplică anumite condiții particulare, idealurile sale maxime coincid cu alte familii de idealuri:

de sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu cu idealuri principale (adică generat de un singur element ^[1] ), ed $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal propriu diferit de $(0)$ ${\ displaystyle (0)}$ $(0)$ , asa de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este prim dacă și numai dacă este maxim; în plus, dat un element $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ non-inversabile și nenule, sunt valabile următoarele echivalențe:

x\,\mathrm {irriducibile} \Leftrightarrow (x)\,\mathrm {massimale} \Leftrightarrow (x)\,\mathrm {primo} \Leftrightarrow x\,\mathrm {primo}

{\ displaystyle x \, \ mathrm {irreductibil} \ Leftrightarrow (x) \, \ mathrm {plafon} \ Leftrightarrow (x) \, \ mathrm {prime} \ Leftrightarrow x \, \ mathrm {prime}}

{\ displaystyle x \, \ mathrm {irreductibil} \ Leftrightarrow (x) \, \ mathrm {plafon} \ Leftrightarrow (x) \, \ mathrm {prime} \ Leftrightarrow x \, \ mathrm {prime}}

;

dat un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , idealurile maxime ale inelului polinomial $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ sunt toate și numai cele de tip $(f(x))$ ${\ displaystyle (f (x))}$ ${\ displaystyle (f (x))}$ , unde este $f(x)\in K[x]$ ${\ displaystyle f (x) \ în K [x]}$ ${\ displaystyle f (x) \ în K [x]}$ este un polinom ireductibil .

Aplicații

Iată câteva exemple de construcții care utilizează idealuri maxime.

Numere reale

De exemplu, construcția numerelor reale poate fi realizată pornind de la succesiunile lui Cauchy de numere raționale : definind suma și produsul a două secvențe:

${\begin{matrix}\left\{x_{n}\right\}+\left\{y_{n}\right\}&=&\left\{x_{n}+y_{n}\right\}\\\left\{x_{n}\right\}\left\{y_{n}\right\}&=&\left\{x_{n}y_{n}\right\}.\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ left \ {x_ {n} \ right \} + \ left \ {y_ {n} \ right \} & = & \ left \ {x_ {n} + y_ {n} \ right \} \\\ left \ {x_ {n} \ right \} \ left \ {y_ {n} \ right \} & = & \ left \ {x_ {n} y_ {n} \ right \}. \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ left \ {x_ {n} \ right \} + \ left \ {y_ {n} \ right \} & = & \ left \ {x_ {n} + y_ {n} \ right \} \\\ left \ {x_ {n} \ right \} \ left \ {y_ {n} \ right \} & = & \ left \ {x_ {n} y_ {n} \ right \}. \ end {matrix}}}$

Se poate arăta că, cu aceste operații , ele constituie un inel comutativ cu unitate, unde elementul neutru al înmulțirii este constituit de secvența constantă pentru care $x_{n}=1$ ${\ displaystyle x_ {n} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {n} = 1}$ . Cu toate acestea, acest inel nu este un câmp, deoarece, de exemplu, secvențele care conțin cel puțin un element nul nu au un invers pentru multiplicare.

Luând în considerare setul de secvențe care converg la zero ( secvențe zero )

D=\left\{\left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }:\,\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\right\}

{\ displaystyle D = \ left \ {\ left \ {x_ {n} \ right \} _ {n \ in \ mathbb {N}}: \, \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} x_ {n} = 0 \ dreapta \}}

{\ displaystyle D = \ left \ {\ left \ {x_ {n} \ right \} _ {n \ in \ mathbb {N}}: \, \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} x_ {n} = 0 \ dreapta \}}

,

se dovedește $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este un ideal maxim, de aceea inelul coeficient este un câmp. Are proprietățile obișnuite ale câmpului real și, prin urmare, este identificabil cu acesta:

\mathbb {R} ={\frac {C}{D}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} = {\ frac {C} {D}}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} = {\ frac {C} {D}}}

.

Numere hiperreale

Folosind o construcție analogă celei anterioare, este posibil să construim câmpul numerelor hiperreale : considerăm inelul comutativ cu unitate format din secvențele Cauchy ale numerelor reale și idealul format din secvențele care sunt definitiv nule (adică care au cel mult un număr finit de elemente nenule). Acest ideal nu este maxim; Lema lui Krull asigură însă existența unui ideal maxim care o conține; inelul coeficient în raport cu acest ideal maxim este un câmp, care poate fi identificat cu cel al numerelor hiperreale.