Închidere completă
În algebră , conceptul închiderii integrale este o generalizare a setului de numere întregi algebrice .
Definiție
Fie S un domeniu de integritate și R un subinel al lui S. Un element s al lui S este un număr întreg pe R dacă s este rădăcina unui polinom monic (adică un polinom care are un coeficient de cel mai înalt grad egal cu 1) cu coeficienți în R.
Setul de elemente ale lui S care sunt numere întregi pe R este un subinel al lui S care conține R și se numește închiderea integrală a lui R în S. Dacă închiderea integrală a lui R în S este R în sine, atunci se spune că R este închis integral în S. Terminologia utilizată este motivată de următoarele fapte, tipice „închiderilor” în matematică:
- închiderea lui R este întotdeauna complet închisă;
- închiderea lui R este cel mai mic inel închis integral care conține R.
Definițiile date în mod evident nu depind doar de R , ci și de inelul S care îl conține.
Dacă toate elementele lui S sunt numere întregi pe R , extensia se numește întreg .
Exemple
- Numerele întregi Z sunt închise integral în câmpul numerelor raționale Q : de fapt, niciun număr rațional non-întreg nu este rădăcina unui polinom monic.
- Numerele întregi Z nu sunt închise integral în câmpul numerelor reale R sau complexului C. Închiderea lui Z în C este inelul numerelor algebrice .
- Numerele algebrice sunt închise algebric în C și, prin urmare, sunt cu atât mai închise integral.
Câmpul cotientului
Dacă S este câmpul coeficient al lui R , închiderea lui R în S se numește pur și simplu închiderea algebrică a lui R (fără a menționa S ), iar dacă R este închis integral în S, atunci R este închis integral .
După cum s-a văzut mai sus, numerele întregi sunt închise integral (câmpul coeficient al lui Z este Q ). Multe clase de inele sunt închise integral: printre acestea se numără domeniile cu factorizare unică și inelele de evaluare .
A fi închis integral este o proprietate locală , în sensul că un domeniu de integritate este închis integral dacă și numai dacă toate localizările A P sunt , unde P este un ideal prim al lui A.
Bibliografie
- M. Atiyah, I. Macdonald Introducere în algebra comutativă Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass-London-Don Mills, Ont. 1969
- Irving Kaplansky , Inele comutative , The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 .
