Întreaga extensie

În algebră , o extensie întreagă a unui inel comutativ unitar este o extensie a inelelor $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ astfel încât fiecare element al lui B să fie întreg pe A sau astfel încât fiecare element al lui B să fie rădăcina unui polinom monic cu coeficienți în A.

Reprezintă o generalizare a conceptului de extensie algebrică a câmpurilor : dacă A este un câmp, extensiile întregi sunt de fapt extensiile algebrice (deoarece fiecare polinom poate fi făcut monic prin înmulțirea cu inversul coeficientului director).

Definiții

Având în vedere o extensie a inelelor $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ , un element b al lui B se numește întreg dacă există un polinom monic $P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in A[X]$ ${\ displaystyle P (x) = x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} \ în A [X]}$ $P (x) = x ^ {n} + a _ {{n-1}} x ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} \ în A [X]$ (sau unde a _i sunt în A ) astfel încât $P(b)=0$ ${\ displaystyle P (b) = 0}$ $P (b) = 0$ . Condițiile echivalente cu aceasta sunt:

A [b] (cel mai mic inel care conține A și b) este un A finit generat - modulul ;
A [ b ] este conținut într-o sub-buclă C a lui B care este un modul A generat finit;
există un modul A [ b ] - fidel care este generat finit ca modul A.

În special, dacă A este un câmp, modulele A generate finit sunt spațiile vectoriale de dimensiune finită: iar elementele care generează spații vectoriale de dimensiune finită sunt exact elementele algebrice de pe A.

Setul de elemente ale B întregi pe A formează un inel , numit închiderea integrală a lui A în B ; dacă acest lucru coincide cu B sau dacă toate elementele lui B sunt întregi pe A , extensia se numește întreg .

Proprietăți de bază

La fel ca extensiile algebrice , extensiile întregi sunt tranzitive: adică dacă $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ Și $B\subseteq C$ ${\ displaystyle B \ subseteq C}$ $B \ subseteq C$ sunt extensii întregi, apoi și ele $A\subseteq C$ ${\ displaystyle A \ subseteq C}$ $A \ subseteq C$ este întreg; în special, închiderea integrală a lui A în B este cel mai mare subinel al lui B, care este întreg pe A.

Mai mult, extensiile întregi sunt conservate prin coeficienți și localizări: mai precis

de sine $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ este întreg, J un ideal al lui B și $I=J\cap A$ ${\ displaystyle I = J \ cap A}$ $I = J \ cap A$ (care este un ideal al lui A ), apoi extensia ${\frac {A}{I}}\subseteq {\frac {B}{J}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A} {I}} \ subseteq {\ frac {B} {J}}}$ ${\ frac {A} {I}} \ subseteq {\ frac {B} {J}}$ este întreg;
dacă S este o parte multiplicativă a lui A, atunci extensia $S^{-1}A\subseteq S^{-1}B$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A \ subseteq S ^ {- 1} B}$ $S ^ {{- 1}} A \ subseteq S ^ {{- 1}} B$ este întreg.

Extensiile întregi „păstrează câmpurile ”, în sensul că, dacă $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ este întreg, A este un câmp dacă și numai dacă B este.

Idealurile sunt mai întâi

Într-o întreagă extensie $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ este posibil să legăm idealurile principale ale lui A cu cele ale lui B.

Prima proprietate privește idealurile maxime (care, fiind inelul unitar, sunt în special prime): un ideal prim Q al lui B este maxim dacă și numai dacă $Q\cap A$ ${\ displaystyle Q \ cap A}$ $Q \ cap A$ este un ideal maxim al lui A. Aceasta este o consecință a faptului că extensiile întregi păstrează câmpurile.

Există trei teoreme generale referitoare la comportamentul idealurilor prime.

Primul este teorema culcării : pentru fiecare ideal primar P a A există un ideal primar Q al lui B astfel încât $Q\cap A=P$ ${\ displaystyle Q \ cap A = P}$ $Q \ cap A = P$ ; una dintre reformulările sale este că aplicația dintre spectrele corespunzătoare incluziunii este surjectivă. Continuitãții up teorema (sau primul teorema Cohen-Seidenberg) este grefată pe acest rezultat, care prevede că, în cazul în care _P1 și _P2 sunt idealurile principale ale A, una conținută în cealaltă și Q ₁ este un ideal prim B contractarea către P ₁ (sau astfel încât $Q_{1}\cap A=P_{1}$ ${\ displaystyle Q_ {1} \ cap A = P_ {1}}$ $Q_ {1} \ cap A = P_ {1}$ ), atunci există un ideal prim Q ₂ , care conține Q ₁ , care se contractă la P ₂ : procedând prin inducție, acesta este valabil pentru fiecare lanț de idealuri prime; adică este întotdeauna posibil să „ridici” un lanț ascendent de idealuri prime ale lui A la un lanț de idealuri prime ale lui B.

Teorema incomparabilității afirmă că această ridicare este, într-un anumit sens, unică: două idealuri prime distincte ale lui B care se contractă la același ideal prim al lui A nu pot fi cuprinse una în cealaltă. Împreună cu teorema de creștere, aceasta ne permite să afirmăm că extensiile întregi păstrează dimensiunea Krull , adică A și B au aceeași dimensiune.

Similar teoremei de creștere este teorema de descreștere (sau a doua teoremă a lui Cohen-Seidenerg ), care se referă la lanțuri descendente decât ascendente: dacă $P_{1}\subseteq P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {1} \ subseteq P_ {2}}$ $P_ {1} \ subseteq P_ {2}$ sunt idealuri prime ale lui A și Q ₂ este un ideal prim al lui B care se contractă la P ₂ , atunci există un ideal prim Q ₁ , conținut în Q ₂ , care se contractă la P ₁ . Cu toate acestea, acest lucru este mai puțin general decât cel anterior, deoarece necesită ca A să fie un domeniu de integritate și să fie închis integral în câmpul său de coeficient .

Tezele acestor patru teoreme pot fi, de asemenea, considerate ca proprietăți care pot sau nu să posede o extensie arbitrară a inelelor, caracterizându-le prin condiții echivalente: în acest caz ele sunt reduse la rezultatul pe care aceste proprietăți îl dețin pentru extensiile întregi (cu cu excepția ipotezelor ulterioare pentru ultima). De exemplu, dacă o extensie are proprietatea ascendentă, atunci are și proprietatea situată deasupra sau dacă o extensie are atât proprietatea ascendentă, cât și proprietatea incomparabilă, atunci păstrează dimensiunea.

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
Irving Kaplansky , Inele comutative , The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 .

Elemente conexe

Extensie algebrică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică