Lungimea unui modul

În matematică , lungimea unui modul este o mărime (un număr natural sau infinit) care măsoară „dimensiunea” unui modul, generalizând noțiunea de dimensiune a spațiilor vectoriale .

Definiții echivalente

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ un modul pe un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Lungimea unui lanț de submoduli este definită ca numărul maxim de incluziuni înguste: astfel lanțul

N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}

{\ displaystyle N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n}}

{\ displaystyle N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n}}

are lungime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Lungimea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , indicat ca $\ell _{A}(M)$ ${\ displaystyle \ ell _ {A} (M)}$ ${\ displaystyle \ ell _ {A} (M)}$ (sau $\ell (M)$ ${\ displaystyle \ ell (M)}$ ${\ displaystyle \ ell (M)}$ dacă nu există riscul confuziei) este extremă superioară a lungimilor lanțului de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ -submodule de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Exemple

Modulul $\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$ este singurul modul cu lungimea 0, în timp ce modulele simple (adică module fără propriile submodule) sunt singurele cu lungimea 1. Dacă inelul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un câmp , atunci lanțurile submodulilor nu sunt altceva decât lanțurile subspaiilor vectoriale; în consecință, lungimea de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ -modul coincide cu mărimea lui $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ca spațiu vectorial .

Inelul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ (sau, mai general, orice inel a cărui dimensiune Krull este mai mare de 1) nu are o lungime finită pe sine: de exemplu, în cazul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , dat un număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ arbitrar, lanțul

2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z}

{\ displaystyle 2 ^ {n} \ mathbb {Z} \ subsetneq 2 ^ {n-1} \ mathbb {Z} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq 2 \ mathbb {Z} \ subsetneq \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle 2 ^ {n} \ mathbb {Z} \ subsetneq 2 ^ {n-1} \ mathbb {Z} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq 2 \ mathbb {Z} \ subsetneq \ mathbb {Z}}

are lungime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Module cu lungime finită

O singură formă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este de lungime finită dacă și numai dacă submodulele sale verifică simultan starea lanțului ascendent și starea lanțului descendent, sau dacă și numai dacă este simultan un modul Noetherian și un modul Artinian ; în special, un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are o lungime finită pe sine dacă și numai dacă este artinian , adică noetherian și de dimensiunea 0. În acest caz, lungimea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este egală cu lungimea oricărei serii de compoziții sau a unui lanț de submoduli

N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M

{\ displaystyle N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n} = M}

{\ displaystyle N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n} = M}

astfel încât fiecare coeficient $N_{i+1}/N_{i}$ ${\ displaystyle N_ {i + 1} / N_ {i}}$ ${\ displaystyle N_ {i + 1} / N_ {i}}$ este o formă simplă .

Teorema Krull-Schmidt garantează că orice modul de lungime finită poate fi exprimat ca o sumă directă (finită) a unei familii de module indecomponibile .

Secvențe exacte

Este

0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow L \ longrightarrow M \ longrightarrow N \ longrightarrow 0}

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow L \ longrightarrow M \ longrightarrow N \ longrightarrow 0}

o secvență exactă de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ -formele. Atunci $\ell _{A}(M)=\ell _{A}(L)+\ell _{A}(N)$ ${\ displaystyle \ ell _ {A} (M) = \ ell _ {A} (L) + \ ell _ {A} (N)}$ ${\ displaystyle \ ell _ {A} (M) = \ ell _ {A} (L) + \ ell _ {A} (N)}$ , și în special $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ are lungime finită dacă și numai dacă este $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ acea $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ au lungime finită. În special, submodulii și cotații unui modul de lungime finită sunt de lungime finită, precum și suma directă finită $\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} M_ {i}}$ de module de lungime finită; în acest din urmă caz, lungimea sumei este egală cu suma lungimii $M_{i}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ $Pe mine}$ .

Există, de asemenea, un analog al formulei lui Grassmann : dacă $Nu., P.$ ${\ displaystyle N, P}$ ${\ displaystyle N, P}$ sunt submodule ale $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , asa de

\ell _{A}(N+P)+\ell _{A}(N\cap P)=\ell _{A}(N)+\ell _{A}(P)

{\ displaystyle \ ell _ {A} (N + P) + \ ell _ {A} (N \ cap P) = \ ell _ {A} (N) + \ ell _ {A} (P)}

{\ displaystyle \ ell _ {A} (N + P) + \ ell _ {A} (N \ cap P) = \ ell _ {A} (N) + \ ell _ {A} (P)}

.

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică