Inel noetherian

În algebră , un inel noetherian este un inel ale cărui idealuri sunt generate finit. Această proprietate pentru inele este un analog al finitudinii și a fost studiată pentru prima dată de Emmy Noether , care a găsit-o pe inelele polinomiale .

Definiție formală

Un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ spunem Noetherian lăsat dacă îndeplinește una dintre următoarele condiții echivalente:

fiecare ideal sinistru $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este generat finit, adică există elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in I$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în I}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ în I}$ astfel încât $I=Aa_{1}+\ldots +Aa_{n}+\mathbb {Z} a_{1}+\ldots +\mathbb {Z} a_{n}$ ${\ displaystyle I = Aa_ {1} + \ ldots + Aa_ {n} + \ mathbb {Z} a_ {1} + \ ldots + \ mathbb {Z} a_ {n}}$ ${\ displaystyle I = Aa_ {1} + \ ldots + Aa_ {n} + \ mathbb {Z} a_ {1} + \ ldots + \ mathbb {Z} a_ {n}}$ ^[1]
fiecare lanț ascendent al idealurilor sinistre ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este staționar ( starea lanțului ascendent );
fiecare familie de sinistre idealuri ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu gol și parțial comandat admite cel puțin un element de tavan .

Dacă aceleași proprietăți sunt valabile pentru idealurile corecte, inelul este numit noetherian drept ; un inel care este atât stânga cât și dreaptă noetherian este pur și simplu numit noetherian.

Pentru inelele comutative, cele trei definiții de mai sus coincid și există, de asemenea, o a patra proprietate echivalentă:

fiecare ideal primar al inelului este generat finit.

Exemple

Sunt inele noetheriene:

inelul numerelor întregi $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , în care fiecare ideal este principal , adică generat de un singur element;
toate câmpurile ; un câmp $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ de fapt, are doar două idealuri, $\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$ și el însuși, $C=1C$ ${\ displaystyle C = 1C}$ ${\ displaystyle C = 1C}$ (adică întregul câmp este generat de elementul neutru al înmulțirii);
inelul polinoamelor într-un număr finit de variabile, cu coeficienți întregi sau aparținând unui câmp;
orice domeniu cu idealuri principale .

Sunt inele non-noetheriene:

inelul polinoamelor în variabile infinite $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$ ; succesiunea ascendentă a idealurilor $\left(X_{1}\right),\,\left(X_{1},X_{2}\right),\,\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right),\,\ldots$ ${\ displaystyle \ left (X_ {1} \ right), \, \ left (X_ {1}, X_ {2} \ right), \, \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3 } \ dreapta), \, \ ldots}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {1} \ right), \, \ left (X_ {1}, X_ {2} \ right), \, \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3 } \ dreapta), \, \ ldots}$ de fapt nu are termen;
inelul funcțiilor continue continue ale variabilelor reale; dat idealul $I_{n}=\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f(x)=0\,\forall x\geq n\right\}$ ${\ displaystyle I_ {n} = \ left \ {f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \ mid f (x) = 0 \, \ forall x \ geq n \ right \}}$ ${\ displaystyle I_ {n} = \ left \ {f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \ mid f (x) = 0 \, \ forall x \ geq n \ right \}}$ , lanțul ascendent $I_{0}\subset I_{1}\subset I_{2}\subset \ldots$ ${\ displaystyle I_ {0} \ subset I_ {1} \ subset I_ {2} \ subset \ ldots}$ ${\ displaystyle I_ {0} \ subset I_ {1} \ subset I_ {2} \ subset \ ldots}$ nu se termină.

Relații cu alte structuri algebrice

Având un inel noetherian $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este posibil să se genereze alte inele noetheriene; de exemplu, inelul polinomilor cu coeficienți în inel sunt, de asemenea, noetherieni $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ , și inelul seriei de putere $LA X$ ${\ displaystyle AX}$ ${\ displaystyle AX}$ ; mai mult, având în vedere un ideal pe două fețe $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , inelul coeficient $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ este și Noetherian.

Din proprietățile anterioare rezultă că fiecare algebră comutativă pe un câmp este un inel noetherian. Toate inelele artiniene sunt, de asemenea, noetheriene.

Module noetheriene

Un analog direct al inelelor Noetherian sunt modulele Noetherian , care au aceleași proprietăți ca inelele Noetherian, definite totuși cu privire la propriile submoduli; un modul Noetherian este, prin urmare, un modul pentru care se aplică următoarele condiții echivalente:

toate submodulele sale sunt generate finit;
submodulele sale satisfac condiția lanțului ascendent;
fiecare familie non-goală de submoduli are un element maxim.

Există o legătură strânsă între inelele noetheriene și submodule: de fapt, fiecare inel noetherian este, de asemenea, un modul noetherian în sine; plus un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este stânga (dreapta) Noetherian dacă și numai dacă fiecare $A-modulo$ ${\ displaystyle A-modulo}$ ${\ displaystyle A-modulo}$ generat finit stânga (dreapta) este noetherian.

Aplicații

Proprietatea „finitudinea” inelelor noetheriene este utilizată în teoria inelelor și geometria algebrică pentru numeroase aplicații. De exemplu, un set de ecuații polinomiale infinite poate fi înlocuit cu un set finit de ecuații cu aceleași soluții, datorită faptului că inelul de polinoame de pe un câmp este noetherian; reducerea se face luând în considerare idealul generat de polinoamele asociate ecuațiilor: polinoamele generatoare ale idealului, care sunt număr finit, au aceleași rădăcini ca și polinoamele de pornire infinite.

Notă

^ Dacă inelul are unități, condiția poate fi scrisă mai simplu $I=Aa_{1}+\ldots +Aa_{n}$ ${\ displaystyle I = Aa_ {1} + \ ldots + Aa_ {n}}$ ${\ displaystyle I = Aa_ {1} + \ ldots + Aa_ {n}}$

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Dacă inelul are unități, condiția poate fi scrisă mai simplu $I=Aa_{1}+\ldots +Aa_{n}$ ${\ displaystyle I = Aa_ {1} + \ ldots + Aa_ {n}}$ ${\ displaystyle I = Aa_ {1} + \ ldots + Aa_ {n}}$

[1]