Grup rezolvabil

În algebră , un grup rezolvabil este un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ care posedă o serie normală abeliană , adică astfel încât să existe un lanț de subgrupuri

\{e\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{n}=G

{\ displaystyle \ {e \} \ subseteq H_ {1} \ subseteq H_ {2} \ subseteq \ cdots \ subseteq H_ {n} = G}

\ {e \} \ subseteq H_ {1} \ subseteq H_ {2} \ subseteq \ cdots \ subseteq H_ {n} = G

(unde este $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este elementul neutru al grupului) în care fiecare $H_{i}$ ${\ displaystyle H_ {i}}$ $Salut}$ este normal în $H_{i+1}$ ${\ displaystyle H_ {i + 1}}$ $H _ {{i + 1}}$ iar coeficientul $H_{i+1}/H_{i}$ ${\ displaystyle H_ {i + 1} / H_ {i}}$ $H _ {{i + 1}} / H_ {i}$ este abelian. De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup finit, echivalează cu a cere ca acești coeficienți să fie nu numai abelieni, ci ciclici .

Grupurile solubile își iau numele din teoria lui Galois : de fapt un polinom este rezolvabil de radicalii de pe un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ de zero caracteristică dacă și numai dacă grupul său Galois sus $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este rezolvabil.

Exemple

Fiecare grup abelian este rezolvabil în mod trivial prin serie $\{e\}\subseteq G$ ${\ displaystyle \ {e \} \ subseteq G}$ ${\ displaystyle \ {e \} \ subseteq G}$ . Alte exemple de grupuri a căror solvabilitate este ușor de demonstrat sunt grupurile diedre $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ și grupurile p , adică grupurile cu $p^{n}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ $p ^ n$ elemente (cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ număr prim ); chiar și grupurile nilpotente sunt rezolvabile.

William Burnside a demonstrat în 1904 că toate grupurile de ordine sunt rezolvabile $p^{n}q^{m}$ ${\ displaystyle p ^ {n} q ^ {m}}$ ${\ displaystyle p ^ {n} q ^ {m}}$ , cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ciudat mai întâi; conjectura sa că acest lucru este valabil și pentru toate grupurile de ordin impar a fost dovedită în 1963 de Walter Feit și John Griggs Thompson ; ^[1] acest rezultat, cunoscut sub numele de teorema Feit-Thompson , a fost un pas important către clasificarea grupurilor simple finite.

Cel mai mic grup insolubil este grupul alternativ $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ , cu 60 de elemente. Fiecare grup simplu non-abelian, care nu are subgrupuri normale, nu este rezolvabil; alte exemple importante de grupuri insolubile sunt grupurile simetrice $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ , pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai mare sau egal cu $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ ; acestea sunt importante în contextul teoriei lui Galois, ca polinom general de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are ca grup propriu Galois $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ și, prin urmare, nu poate fi rezolvat de radicali.

Proprietate

În virtutea teoremelor izomorfismului , atât subgrupurile, cât și coeficienții unui grup rezolvabil sunt rezolvabili; cu toate acestea, niciunul dintre aceste două criterii nu poate fi inversat, deoarece fiecare grup conține subgrupuri abeliene (deci rezolvabile) și fiecare grup are ca coeficient $G/G$ ${\ displaystyle G / G}$ ${\ displaystyle G / G}$ , adică grupul cu doar elementul neutru, care este evident rezolvabil. Cu toate acestea, combinarea acestor două proprietăți oferă un criteriu suficient: dacă $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este un subgrup (normal) al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și fie $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ acea $G/N$ ${\ displaystyle G / N}$ ${\ displaystyle G / N}$ atunci grupul este și el rezolvabil $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este rezolvabil. Această proprietate arată că produsul direct al unui număr finit de grupuri rezolvabile este încă rezolvabil.

O caracterizare a grupurilor rezolvabile poate fi dată și prin intermediul seriei sale derivate : said ${G.}^{'}$ ${\ displaystyle G '}$ ${\ displaystyle G '}$ subgrupul derivat al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , adică subgrupul generat de comutatoarele de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ (elementele din formular $xyx^{-1}y^{-1}$ ${\ displaystyle xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}$ dupa cum $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ), un grup este rezolvabil dacă și numai dacă succesiunea

G\supseteq G'\supseteq G''\cdots \supseteq G^{(m)}\cdots

{\ displaystyle G \ supseteq G '\ supseteq G' '\ cdots \ supseteq G ^ {(m)} \ cdots}

{\ displaystyle G \ supseteq G '\ supseteq G' '\ cdots \ supseteq G ^ {(m)} \ cdots}

în care fiecare subgrup este derivatul celui precedent, acesta ajunge la subgrupul banal $\{e\}$ ${\ displaystyle \ {e \}}$ $\{Și\}$ .

Pentru grupurile finite, solvabilitatea este echivalentă cu existența unei serii de compoziție ai cărei factori sunt toți grupurile abeliene simple; acest lucru nu se aplică grupurilor infinite, deoarece, de exemplu, deși $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi este rezolvabil (deoarece abelian) are fiecare subgrup non-trivial izomorf pentru el însuși și, prin urmare, nu posedă o serie de compoziții.

Notă

^ (EN) Walter Feit și John Griggs Thompson , solvabilitatea grupurilor de ordin impar , în Pacific Journal of Mathematics, vol. 13, 1963, pp. 775-1029, ISSN 0030-8730 ( WC ACNP ) , MR 0166261 . Adus 29/05/2009 .

Bibliografie

Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - o abordare algoritmică , Padova, Decibel-Zanichelli, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0 .
Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, grup rezolvabil , în MathWorld Wolfram Research.
Ordonați secvența grupurilor finite nerezolvabile pe Enciclopedia on-line a secvențelor întregi

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Walter Feit și John Griggs Thompson , solvabilitatea grupurilor de ordin impar , în Pacific Journal of Mathematics, vol. 13, 1963, pp. 775-1029, ISSN 0030-8730 ( WC ACNP ) , MR 0166261 . Adus 29/05/2009 .

[1]