Subgrup de torsiune

În matematică și mai specific în teoria grupurilor, subgrupul de torsiune (numit uneori componenta de torsiune sau pur și simplu torsiunea ) unui grup abelian este ansamblul elementelor sale având o ordine finită.

Se spune că un grup este de torsiune (sau periodic ) dacă fiecare dintre elementele sale are o ordine finită și lipsit de torsiune dacă, pe de altă parte, fiecare dintre elementele sale, în afară de identitate, are o ordine infinită. Evident, toate grupurile finite sunt grupuri de torsiune.

Subgrupul de torsiune este un obiect matematic important pentru unele rezultate ale structurii grupului, cum ar fi teorema structurii grupurilor abeliene finite .

Subgrupul de torsiune P

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup e $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un număr prim; apoi subgrupul de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -trecție (adesea marcată ca $G(p)$ ${\ displaystyle G (p)}$ ${\ displaystyle G (p)}$ ) din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este definit după cum urmează:

G(p)=\{g\in G\;|\;\exists k\in \mathbb {N} \;,o(g)=p^{k}\}\;

{\ displaystyle G (p) = \ {g \ in G \; | \; \ există k \ in \ mathbb {N} \;, o (g) = p ^ {k} \} \;}

{\ displaystyle G (p) = \ {g \ in G \; | \; \ există k \ in \ mathbb {N} \;, o (g) = p ^ {k} \} \;}

Cu alte cuvinte, subgrupul de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -trecția este ansamblul elementelor a căror ordine este o putere de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$

Componenta de torsiune în grupurile non-abeliene

Componenta de torsiune a unui grup non-Abelian nu este , în general, un subgrup. De exemplu, în grupul diedru infinit , cu reprezentarea:

\langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=1\rangle

{\ displaystyle \ langle s_ {1}, s_ {2} \ mid s_ {1} ^ {2} = s_ {2} ^ {2} = 1 \ rangle}

\ langle s_ {1}, s_ {2} \ mid s_ {1} ^ {2} = s_ {2} ^ {2} = 1 \ rangle

$s_{1}$ ${\ displaystyle s_ {1}}$ $s_ {1}$ și $s_{2}$ ${\ displaystyle s_ {2}}$ $s_ {2}$ sunt ambele elemente ale grupului de torsiune, în timp ce $s_{1}s_{2}$ ${\ displaystyle s_ {1} s_ {2}}$ ${\ displaystyle s_ {1} s_ {2}}$ are o ordine infinită.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică