Homomorfismul grupurilor

În matematică și mai exact în algebră , un homomorfism al grupurilor este un tip de funcție între grupuri care le păstrează operațiunile . Prin urmare, acest concept identifică care sunt funcțiile „interesante” în teoria grupurilor.

Definiție

Având în vedere două grupuri $(G,\cdot )$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ Și $(H,\circ )$ ${\ displaystyle (H, \ circ)}$ ${\ displaystyle (H, \ circ)}$ , o funcție $f:G\longrightarrow H$ ${\ displaystyle f: G \ longrightarrow H}$ ${\ displaystyle f: G \ longrightarrow H}$ este un omomorfism dacă

f(a\cdot b)=f(a)\circ f(b)

{\ displaystyle f (a \ cdot b) = f (a) \ circ f (b)}

{\ displaystyle f (a \ cdot b) = f (a) \ circ f (b)}

pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ aparținând $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se mai numește monomorfism dacă este injectiv , epimorfism dacă este surjectiv și izomorfism dacă este bijectiv .

Ansamblul de omomorfisme din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ la $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este indicat cu $\mathrm {Hom} (G,H)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ .

Exemple

Având în vedere două grupuri $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , banalul homomorfism $f:G\longrightarrow H$ ${\ displaystyle f: G \ longrightarrow H}$ ${\ displaystyle f: G \ longrightarrow H}$ este omomorfismul pe care îl atribuie fiecărui element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ elementul neutru $e_{H}$ ${\ displaystyle e_ {H}}$ ${\ displaystyle e_ {H}}$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Identitatea $\mathrm {id} :G\longrightarrow G$ ${\ displaystyle \ mathrm {id}: G \ longrightarrow G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id}: G \ longrightarrow G}$ este un alt exemplu imediat; la fel, dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un subgrup de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , incluziune $i:G\longrightarrow H$ ${\ displaystyle i: G \ longrightarrow H}$ ${\ displaystyle i: G \ longrightarrow H}$ este un homomorfism.

Determinantul unei matrice pătrate cu coeficienți într-un câmp este, grație teoremei lui Binet , un exemplu de omomorfism între grupul matricelor pătrate inversabile cu operația produsului dintre matrice și grupul multiplicativ al elementelor nenule ale câmpului.

În domeniul analizei matematice , funcția exponențială este un omomorfism între reali cu adunare și reali pozitivi cu multiplicare.

Proprietate

Din definiție este clar imediat că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ trimite elementul neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în elementul neutru al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . De asemenea, deduce că $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ ${\ displaystyle f (a ^ {- 1}) = f (a) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f (a ^ {- 1}) = f (a) ^ {- 1}}$ . În consecință, se poate spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este „compatibil cu structura grupului”, deoarece păstrează elemente neutre și inverse.

În cazul în care $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un grup abelian , întregul $\mathrm {Hom} (G,H)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ poate fi prevăzut în mod natural cu o structură de grup cu operația de multiplicare definită după cum urmează: date două omomorfisme $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , compoziția lor $f\ast g$ ${\ displaystyle f \ ast g}$ $f \ ast g$ este funcția care trimite $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $f(a)\circ g(a)$ ${\ displaystyle f (a) \ circ g (a)}$ ${\ displaystyle f (a) \ circ g (a)}$ : apare și $f\ast g$ ${\ displaystyle f \ ast g}$ $f \ ast g$ este un homomorfism. Chiar dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este și Abelian $\mathrm {Hom} (G,H)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (G, H)}$ este abelian.

Nucleul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este definit ca ansamblul tuturor elementelor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ astfel încât $f(a)$ ${\ displaystyle f (a)}$ $face)$ este elementul neutru al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Este un subgrup normal de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ; în plus, fiecare subgrup normal este nucleul unui homomorfism, de exemplu omomorfismul natural (sau proiecția pe coeficient) $G\longrightarrow G/H$ ${\ displaystyle G \ longrightarrow G / H}$ ${\ displaystyle G \ longrightarrow G / H}$ .

Imaginea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ prin $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un subgrup de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , nu neapărat normal.

Bibliografie

Michael Artin, Algebra , Bollati Boringhieri , 1997, ISBN 88-339-5586-9 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre omomorfismul grupurilor

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică