Extinderea câmpurilor

În teoria câmpurilor , o ramură a matematicii , studiul perechilor de câmpuri cuprinse unul în celălalt are o mare importanță. O astfel de pereche se numește extensie de câmp.

Definiție

Mai exact, dacă L este un câmp și K este un câmp conținut în L astfel încât operațiunile de câmp din K sunt aceleași cu cele din L , spunem că K este un subcâmp al lui L , că L este o extensie a lui K și că L / K ^[1] este o extensie a câmpurilor.

Structura liniară

Dacă L / K este o extensie a câmpurilor, atunci pe L putem defini o multiplicare L × K → L , care nu este altceva decât înmulțirea lui L ca câmp obținut prin restrângerea celui de-al doilea argument la K. Având în vedere această multiplicare cu „scalarii” lui K și suma obișnuită a lui L , obținem o structură spațială vectorială peste K. Dimensiunea acestui spațiu vectorial este notată cu [ L : K ] și se numește grad de extensie . Dacă acest grad este finit sau infinit, extensia va fi numită finit sau respectiv infinit .

Dacă F este un intercâmp al extensiei L / K (adică un subcâmp al lui L astfel încât K ⊆ F ⊆ L numit lanțul câmpurilor) atunci se menține formula produsului gradelor,

[ L : K ] = [ L : F ] [ F : K ],

cu valoare pur simbolică dacă una dintre valori este infinită.

Toate extensiile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică imediat că toate extensiile finite sunt algebrice. Cu toate acestea, inversul nu este adevărat: există extensii algebrice infinite. De exemplu, câmpul tuturor numerelor algebrice este o extensie algebrică infinită a lui Q.

Dacă a este algebric peste K , atunci K [ a ], adică mulțimea tuturor polinoamelor din a cu coeficienți în K , este un câmp; în special este o extensie de câmp algebric al lui K de grad finit peste K. Gradul este egal cu gradul celui mai mic polinom p din care a este rădăcina. În cazul particular în care K = Q este câmpul numerelor raționale , Q [ a ] este un exemplu de câmp numeric algebric .

Generatorii unei extensii

Având în vedere extensia L / K și un subset A al lui L , indicăm cu K ( A ) cel mai mic subcâmp al lui L care conține K și A (și, prin urmare, va fi și o extensie a câmpului K ) și se spune că K ( A ) se obține din K prin adăugarea elementelor lui A. Aceste elemente se numesc generatoare ale extensiei K ( A ) / K.

S-a dovedit că extensia K ( A ) / K se dovedește a fi compusă din toate elementele lui L care pot fi obținute prin repetarea operațiilor de câmp ale lui L (sumă, produs și invers) între elementele lui K ∪ A.

O extensie a câmpurilor L / K astfel încât să existe un set finit A = { a ₁ , ..., a _n } cu L = K ( A ) se spune că este generată finit și L = K ( a ₁ , .. ., a _n ). Dacă atunci L = K ( a ) pentru un element a lui L se spune că extensia este simplă .

Extensii algebrice și Galois

Pentru multe domenii ale teoriei câmpurilor, cum ar fi teoria lui Galois , extensiile algebrice au o importanță considerabilă, adică extensiile L / K astfel încât fiecare element al lui L este rădăcina unui polinom în K [ X ].

Folosind lema lui Zorn este posibil să se demonstreze că fiecare câmp are o închidere algebrică , adică o extensie algebrică închisă algebric (de exemplu C este închiderea algebrică a lui R ).

Dintre extensiile algebrice importante sunt extensiile Galois , adică extensiile algebrice L / K al căror grup Galois lasă doar câmpul K fix .

Alte tipuri de extensii

De asemenea, sunt importante următoarele tipuri de extensii:

• extensii separabile
• extensii normale
• Extensii Kummer
• extensii abeliene
• extensii ciclotomice
• extensii radicale

Notă

Elemente conexe

• Domeniu (matematică)
• Extinderea inelelor
• Algebra abstractă
• Teoria câmpului

linkuri externe

• Extensii de câmp pe projectomatematica.dm.unibo.it .
• Extensii finite pe projectomatematica.dm.unibo.it .

V · D · M Algebră
Numere	Naturale · Întregi · Raționale · iraționale · Algebrice · Transcendente · Reale · Complexe
Principii fundamentale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență · Relația de ordine
Elemente de combinatorie	Factorial · Permutare · Dispoziție · Combinație · Demutare · Principiul incluziunii-excluderii
Concepte fundamentale ale teoriei numerelor	Primul Primul număr · Teorema infinității numerelor prime · Situl lui Eratostene · Situl lui Atkin · Primalitatea testului · Teorema fundamentală a aritmeticii Divizoare Coprimă întregi · Identitate Bézout · GCD · mcm · Algoritmul lui Euclid · Criterii de divizibilitate · Divizor Aritmetica modulară Rest teorema chineză · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · φ Functia lui Euler · Wilson Teorema · Reciprocitate pătratică
Algebra elementară	Ecuație · Inegalitate · Polinomio · Triunghiul lui Pascal · Teorema binomială · Teorema restului · Lema Gauss · Teorema rădăcini raționale · Criteriul lui Eisenstein · Regula semnelor lui Descartes
Teoria grupului	Grupuri Group ( terminat · ciclic · abeliană ) · Grup Primar · câtul Group · nilpotent Group · rezolvabile Group · simetrica Group · diedru Group · simplu Group · Eventuala Group · monster Group · Klein Group · Grup de quaternions · generale lineare Grupa · ortogonal Group · Unitatea de grup · grup unitar de construcții · rezidual grup terminat · grup de spațiu · grup de profinite · produs directă · semidirect produs · împletitură de produse Teoreme Teorema izomorfism · Teorema lui Lagrange · Cauchy Teorema · teoremele Sylow · Teorema lui Cayley · Structura teorema de grupuri abeliene finite · Lema fluture · Clasificarea grupurilor simple , finite Subseturi Subgrup · Subgrup normal · Caracteristică subgrup · Subgrup Frattini · Torsiune subgrup · Clasa laterală · Clasa soților · Serie compozițională Omomorfismelor · izomorfism · automorphism intern · exterior automorphism · permutare · o prezentare de grup · acțiune de grup
Teoria inelului	Inel ( artiniano · noetherian ) · Caracteristică · Ideal ( Primul · plafon ) · Domeniu ( factorizare unică · idealuri principale · Euclidean ) · Matrice · inel simplu · Teorema Artin-Wedderburn · Formă · Domeniul Dedekind · Inele de extensie · Teorema bazei lui Hilbert
Teoria câmpului	Câmp · polinom ireductibil · polinom ciclotomic · Teorema fundamentală a algebrei · Campo terminat · automorfism · Endomorfismo Frobenius Extensii Divizarea Câmp · Câmpuri de extensie · extensie algebrică · extensie separabile · închidere algebrică · numere de câmp · extensie normală · extensie Galois · Abelian extensie · extensie cyclotomic · Teoria Kummer Teoria lui Galois Grupul Galois · Teoria lui Galois · Teorema fundamentală a teoriei lui Galois · Teorema Abel-Ruffini · Construcția cu rigla și busola
Alte structuri algebrice	Magma · semigrup · Corp · spațiu vectorial · Algebra camp · algebra Lie · Algebră diferențială · Algebră Clifford · topologică Group · Grupul comandat · inel de aproape

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică