Punct fix

În matematică , un punct fix pentru o funcție definită de un set în sine este un element coincident cu imaginea sa.

Definiție

În matematică , un punct fix pentru o funcție $f:A\to A$ ${\ displaystyle f: A \ to A}$ ${\ displaystyle f: A \ to A}$ definit pe un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât: ^[1]

x=f(x)

{\ displaystyle x = f (x)}

{\ displaystyle x = f (x)}

Acesta este un punct pe care funcția îl mapează în sine.

Teoreme de existență

Același subiect în detaliu: teoreme cu punct fix .

Unele teoreme foarte importante din matematică afirmă că unele funcții dintr-un set au puncte fixe în sine. Aceste teoreme se aplică în analiza matematică , analiza funcțională și topologie . Dintre acestea, cele mai cunoscute sunt teorema punctului fix al lui Banach (teorema contracției) și teorema punctului fix al lui Brouwer .

Proprietatea topologică a punctului fix

Un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se spune că are proprietatea punctului fix dacă pentru fiecare funcție este continuă $f:X\to X$ ${\ displaystyle f: X \ to X}$ $f: de la X la X$ este un $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ astfel încât $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ . Proprietatea punctului fix este un invariant topologic , adică este păstrat de homeomorfisme . Mai mult, este păstrat de retrageri .

Prin teorema punctului fix al lui Brouwer, toate subseturile compacte și convexe ale unui spațiu euclidian posedă proprietatea punctului fix. Compactitatea singură nu garantează această proprietate, iar convexitatea nu este nici măcar o proprietate topologică, așa că are sens să ne întrebăm ce condiții din topologia unui spațiu sunt necesare și suficiente pentru a avea proprietatea punctului fix. În 1932, Borsuk a presupus că proprietatea era deținută de orice spațiu topologic compact și contractabil . Problema a rămas deschisă timp de 20 de ani până când Kinoshita a găsit un exemplu de spațiu compact și pliabil care nu avea proprietatea punctului fix. ^[2]

Sisteme dinamice

Același subiect în detaliu: Punct periodic .

Iterarea punctului fix al lui x _{n +1} = cos x _n cu valoarea inițială x ₁ = −1.

În studiul sistemelor dinamice , fiecare punct al unei orbite periodice este un punct fix pentru orbită.

Exemple

Sunt funcții cu puncte fixe:

O rotație a planului în jurul unui punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ atribuit: în acest caz $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este singurul punct fix de rotație.
O reflectare a planului în raport cu o linie: fiecare punct al liniei este un punct fix.
Dacă funcția polinomială $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe numere reale este definit de:

f(x)=x^{2}-3x+4

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -3x + 4}

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -3x + 4}

Atunci 2 este un punct fix pentru

f

{\ displaystyle f}

f

: de fapt, un calcul direct arată că

f(2)=2

{\ displaystyle f (2) = 2}

{\ displaystyle f (2) = 2}

.

Sunt funcții fără puncte fixe:

O rotație a circumferinței cu un alt unghi decât zero (sau cu un multiplu de 2π) este o funcție fără puncte fixe pe circumferință.
O altă traducere decât identitatea nu are puncte fixe (traducerea poate fi definită pe un spațiu vector sau chiar pe un grup ).

Notă

^ Reed, Simon , pagina 150 .
^ Kinoshita, S. Pe unele contractabile Continuă fără proprietate punct fix. Fond. Matematica. 40 (1953), 96-98

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
(EN) Norman Steenrod Samuel Eilenberg, Fundamentele topologiei algebrice, Princeton University Press, 1952.
( EN ) Bernd Schröder, Seturi comandate , Birkhäuser Boston, 2002.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu punct fix

linkuri externe

( EN ) Punct fix , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) VI Sobolev, Punct fix , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 26676

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] Reed, Simon , pagina 150 .

[2] Kinoshita, S. Pe unele contractabile Continuă fără proprietate punct fix. Fond. Matematica. 40 (1953), 96-98

[1]

[2]