Iterație punct fix

În analiza numerică , iterația punctului fix sau iterația funcțională este o metodă de a găsi rădăcinile unei funcții, adică de a rezolva o ecuație sub forma $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ .

De sine $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ sunt două funcții astfel încât $g(x)=x-f(x)$ ${\ displaystyle g (x) = xf (x)}$ ${\ displaystyle g (x) = x-f (x)}$ , atunci ai $f(\alpha )=0$ ${\ displaystyle f (\ alpha) = 0}$ ${\ displaystyle f (\ alpha) = 0}$ dacă și numai dacă $g(\alpha )=\alpha$ ${\ displaystyle g (\ alpha) = \ alpha}$ ${\ displaystyle g (\ alpha) = \ alpha}$ , acesta este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este rădăcina lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ dacă și numai dacă este punct fix de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Metoda constă în rezolvarea ecuației $g(x)=x$ ${\ displaystyle g (x) = x}$ $g (x) = x$ unde expresia generică a $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ Și:

g(x)=x-f(x)+F(f(x))\qquad F(0)=0

{\ displaystyle g (x) = xf (x) + F (f (x)) \ qquad F (0) = 0}

{\ displaystyle g (x) = x-f (x) + F (f (x)) \ qquad F (0) = 0}

Prin urmare, vedem asta $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , adică funcția de iterație , poate fi aleasă în diferite moduri. De exemplu dacă $f(x)=x^{2}+x+1$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + x + 1}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + x + 1}$ tu poti alege:

g(x)=-x^{2}-1\qquad g(x)=-1-{\frac {1}{x}}\dots

{\ displaystyle g (x) = - x ^ {2} -1 \ qquad g (x) = - 1 - {\ frac {1} {x}} \ dots}

{\ displaystyle g (x) = - x ^ {2} -1 \ qquad g (x) = - 1 - {\ frac {1} {x}} \ dots}

Soluția se apropie (a ales un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ inițială) cu secvența :

x_{n+1}=g(x_{n})

{\ displaystyle x_ {n + 1} = g (x_ {n})}

{\ displaystyle x_ {n + 1} = g (x_ {n})}

Proprietate

Convergența metodei este garantată în anumite ipoteze prin anumite rezultate teoretice.

În primul rând, dacă există o gamă $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ astfel încât:

$g:[a,b]\rightarrow [a,b]$ ${\ displaystyle g: [a, b] \ rightarrow [a, b]}$ ${\ displaystyle g: [a, b] \ rightarrow [a, b]}$
$g\in C^{1}([a,b])$ ${\ displaystyle g \ in C ^ {1} ([a, b])}$ ${\ displaystyle g \ in C ^ {1} ([a, b])}$
$|g'(x)|<1\;\forall x\in [a,b]$ ${\ displaystyle | g '(x) | <1 \; \ forall x \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle | g '(x) | <1 \; \ forall x \ in [a, b]}$

asa de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ are un singur punct fix în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ (este o contracție ) și dacă $x_{0}\in [a,b]$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în [a, b]}$ $x_0 \ în [a, b]$ secvența definită mai sus converge către ea liniar .

Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să se determine un astfel de interval. Cu toate acestea, dacă cunoașteți comportamentul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ aproape de punctul fix, se poate exploata teorema lui Ostrowski . De sine:

$g\in C^{1}(I)$ ${\ displaystyle g \ in C ^ {1} (I)}$ ${\ displaystyle g \ in C ^ {1} (I)}$ , unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un cartier al punctului fix $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$
$|g'(\alpha )|<1$ ${\ displaystyle | g '(\ alpha) | <1}$ ${\ displaystyle | g '(\ alpha) | <1}$

asa de $\exists \delta >0$ ${\ displaystyle \ există \ delta> 0}$ ${\ displaystyle \ există \ delta> 0}$ astfel încât dacă $|x_{0}-\alpha |<\delta$ ${\ displaystyle | x_ {0} - \ alpha | <\ delta}$ ${\ displaystyle | x_ {0} - \ alpha | <\ delta}$ succesiunea converge la $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Rețineți că, dacă a doua ipoteză nu este verificată, fie există divergență, fie nu se poate spune nimic (în cazul egalității). Viteza convergenței crește odată cu ordinea diferențierii .