Convergenţă

În matematică , convergența este proprietatea unei anumite funcții sau succesiuni de a deține o limită terminată într-un fel, având tendința variabilei (sau posibil a indexului) la anumite valori într-un punct sau la ' infinit . Prin urmare, conceptul se aplică diferitelor domenii ale matematicii, toate legate într-un fel, dar cu interpretări ușor diferite.

Limita unei funcții

Același subiect în detaliu: Limit (matematică) .

Având o funcție continuă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , se spune că $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ converge (sau tinde) la limita finită $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $\delta (\varepsilon )>0$ ${\ displaystyle \ delta (\ varepsilon)> 0}$ ${\ displaystyle \ delta (\ varepsilon)> 0}$ astfel încât pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care satisface $0<|x-x_{0}|<\delta (\varepsilon )$ ${\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} | <\ delta (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} | <\ delta (\ varepsilon)}$ avem asta $|f(x)-l|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}$ . Adică:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l.}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l.}

În mod similar, se spune că $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ converge la limita finită $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre infinit dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $K(\varepsilon )>0$ ${\ displaystyle K (\ varepsilon)> 0}$ ${\ displaystyle K (\ varepsilon)> 0}$ astfel încât pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ starea satisfăcătoare $|x|>K(\varepsilon )$ ${\ displaystyle | x |> K (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle | x |> K (\ varepsilon)}$ avem asta $|f(x)-l|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}$ . Adică:

\lim _{x\to \infty }f(x)=l.

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = l.}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = l.}

Convergența unei secvențe într-o dimensiune

Același subiect în detaliu: Limita unei secvențe .

Convergența unei succesiuni numerice $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ de numere reale apare atunci când pentru $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ , începând de la un anumit index, toți termenii secvenței se găsesc în vecinătatea unui punct, numit limita secvenței .

Matematic acest lucru se exprimă spunând că o succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ converge la numărul a per $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ , iar tu scrii $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a}$ , de sine $\forall \varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0}$ există un indice natural $N(\varepsilon )$ ${\ displaystyle N (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle N (\ varepsilon)}$ , în general dependent de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , astfel încât $\|a_{n}-a\|<\varepsilon$ ${\ displaystyle \ | a_ {n} -a \ | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ | a_ {n} -a \ | <\ varepsilon}$ pentru fiecare $n>N(\varepsilon )$ ${\ displaystyle n> N (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle n> N (\ varepsilon)}$ .

Acest lucru garantează că toți termenii secvenței, caracterizați de $n>N(\varepsilon )$ ${\ displaystyle n> N (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle n> N (\ varepsilon)}$ , sunt cuprinse în împrejurimi $a-\varepsilon <a_{n}<a+\varepsilon$ ${\ displaystyle a- \ varepsilon <a_ {n} <a + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle a- \ varepsilon <a_ {n} <a + \ varepsilon}$ . O secvență convergentă este în mod necesar limitată .

Convergența seriei

Același subiect în detaliu: Seria , Seria convergentă și Criteriile de convergență .

Luați în considerare o succesiune de elemente $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ . Este definită serie asociată cu $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ suma:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots}

\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots

.

Pentru fiecare index $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ a succesiunii, este definită o serie de sume parțiale $\{S_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {S_ {k} \}}$ $\ {S_ {k} \}$ asociat cu $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ suma termenilor succesiunii $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ din $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ la $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ :

S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}

{\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + \ cdots + a_ {k}}

S_ {k} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{k}} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + \ cdots + a_ {k}

Se spune că seria $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n}$ este convergent la limită $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ dacă succesiunea relativă a sumelor parțiale $S_{k}$ ${\ displaystyle S_ {k}}$ $S_k$ converge la $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Adică, se întâmplă că:

L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

{\ displaystyle L = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}

L = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n}

dacă și numai dacă:

L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}

{\ displaystyle L = \ lim _ {k \ rightarrow \ infty} S_ {k}}

L = \ lim _ {{k \ rightarrow \ infty}} S_ {k}

Limita menționată mai sus se numește suma seriei și exprimă caracterul seriei.

Teorema convergenței

Același subiect în detaliu: Limita unei funcții și Limita funcțiilor multi-variabile .

În mod formal, conceptul de convergență a unei secvențe este similar cu cel al funcțiilor $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Având în vedere o succesiune de numere reale $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ care converge la o anumită limită $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ pentru $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ , avem:

\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{x\to \xi }f(x)=\eta

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f (x_ {n}) = \ lim _ {x \ to \ xi} f (x) = \ eta}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f (x_ {n}) = \ lim _ {x \ to \ xi} f (x) = \ eta}

În mod echivalent, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un cartier $\delta (\varepsilon )>0$ ${\ displaystyle \ delta (\ varepsilon)> 0}$ ${\ displaystyle \ delta (\ varepsilon)> 0}$ , în general dependent de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , astfel încât:

\|f(x)-\eta \|<\varepsilon

{\ displaystyle \ | f (x) - \ eta \ | <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ | f (x) - \ eta \ | <\ varepsilon}

dacă apare:

\|x-\xi \|<\delta

{\ displaystyle \ | x- \ xi \ | <\ delta}

{\ displaystyle \ | x- \ xi \ | <\ delta}

Acest lucru garantează că, deoarece termenii secvenței sunt conținuți în vecinătatea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , în același mod, toate valorile funcției sunt conținute în vecinătate:

\eta -\varepsilon <f(x)<\eta +\varepsilon

{\ displaystyle \ eta - \ varepsilon <f (x) <\ eta + \ varepsilon}

{\ displaystyle \ eta - \ varepsilon <f (x) <\ eta + \ varepsilon}

Fiecare funcție convergentă este deci neapărat delimitată, iar acest lucru implică și conceptul de continuitate a unei funcții.

Afirmație

Să presupunem că aveți o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ astfel încât $f(\alpha )=0$ ${\ displaystyle f (\ alpha) = 0}$ ${\ displaystyle f (\ alpha) = 0}$ cu α aparținând unui anumit interval $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ . Se poate pune:

x=x-g(x)f(x)=\phi (x)\qquad g(x)\neq 0\quad \forall x\in J

{\ displaystyle x = xg (x) f (x) = \ phi (x) \ qquad g (x) \ neq 0 \ quad \ forall x \ in J}

{\ displaystyle x = x-g (x) f (x) = \ phi (x) \ qquad g (x) \ neq 0 \ quad \ forall x \ in J}

Prin urmare, avem:

\phi (\alpha )=\alpha

{\ displaystyle \ phi (\ alpha) = \ alpha}

{\ displaystyle \ phi (\ alpha) = \ alpha}

Dacă există $\delta >\ 0$ ${\ displaystyle \ delta> \ 0}$ ${\ displaystyle \ delta> \ 0}$ astfel încât:

[\alpha -\delta ,\alpha +\delta ]=J\

{\ displaystyle [\ alpha - \ delta, \ alpha + \ delta] = J \}

{\ displaystyle [\ alpha - \ delta, \ alpha + \ delta] = J \}

iar dacă există $k\in (0,1)$ ${\ displaystyle k \ in (0,1)}$ ${\ displaystyle k \ in (0,1)}$ astfel încât:

\forall x\in J,|\phi '(x)|\leq k

{\ displaystyle \ forall x \ in J, | \ phi '(x) | \ leq k}

{\ displaystyle \ forall x \ in J, | \ phi '(x) | \ leq k}

atunci noi avem:

De sine $x_{0}\in J$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în J}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în J}$ asa de:

x_{i}=\phi (x_{i-1})\quad i=1,2,3,\dots

{\ displaystyle x_ {i} = \ phi (x_ {i-1}) \ quad i = 1,2,3, \ dots}

{\ displaystyle x_ {i} = \ phi (x_ {i-1}) \ quad i = 1,2,3, \ dots}

$\lim _{i\to \infty }x_{i}=\alpha$ ${\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} x_ {i} = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} x_ {i} = \ alpha}$
$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este singura tulpină din $J$ ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle J}$

Demonstrație

Dat fiind:

x_{0}\in J\qquad |x_{0}-\alpha |\leq \delta \qquad \xi \in J

{\ displaystyle x_ {0} \ in J \ qquad | x_ {0} - \ alpha | \ leq \ delta \ qquad \ xi \ in J}

{\ displaystyle x_ {0} \ in J \ qquad | x_ {0} - \ alpha | \ leq \ delta \ qquad \ xi \ in J}

avem:

|\alpha |\leq |x_{0}-\alpha |

{\ displaystyle | \ alpha | \ leq | x_ {0} - \ alpha |}

{\ displaystyle | \ alpha | \ leq | x_ {0} - \ alpha |}

Pe lângă faptul că aveți:

x_{1}\in (x_{0},\alpha )

{\ displaystyle x_ {1} \ in (x_ {0}, \ alpha)}

{\ displaystyle x_ {1} \ in (x_ {0}, \ alpha)}

se întâmplă că:

x_{i}\in (x_{i-1},\alpha )\quad i\in \mathbb {N}

{\ displaystyle x_ {i} \ in (x_ {i-1}, \ alpha) \ quad i \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle x_ {i} \ in (x_ {i-1}, \ alpha) \ quad i \ in \ mathbb {N}}

Primesti:

|x_{i}-\alpha |=|\phi (x_{i-1})-\phi (\alpha )|=|\phi '(\xi )(x_{i-1}-\alpha )|\leq k|x_{0}-\alpha |\leq k^{2}|x_{i-2}-\alpha |\leq ....\leq k^{i}|x_{0}-\alpha |

{\ displaystyle | x_ {i} - \ alpha | = | \ phi (x_ {i-1}) - \ phi (\ alpha) | = | \ phi '(\ xi) (x_ {i-1} - \ alfa) | \ leq k | x_ {0} - \ alpha | \ leq k ^ {2} | x_ {i-2} - \ alpha | \ leq .... \ leq k ^ {i} | x_ {0 } - \ alpha |}

{\ displaystyle | x_ {i} - \ alpha | = | \ phi (x_ {i-1}) - \ phi (\ alpha) | = | \ phi '(\ xi) (x_ {i-1} - \ alfa) | \ leq k | x_ {0} - \ alpha | \ leq k ^ {2} | x_ {i-2} - \ alpha | \ leq .... \ leq k ^ {i} | x_ {0 } - \ alpha |}

Atâta timp cât $k^{i}$ ${\ displaystyle k ^ {i}}$ ${\ displaystyle k ^ {i}}$ tinde la zero când i tinde spre infinit, secvența converge.

Este absurd să presupunem că în interval există β, rădăcina funcției altele decât α. Avem:

|\beta -\alpha |=|\phi (\beta )-\phi (\alpha )|=|\phi (\xi )(\beta -\alpha )|\leq k|\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |

{\ displaystyle | \ beta - \ alpha | = | \ phi (\ beta) - \ phi (\ alpha) | = | \ phi (\ xi) (\ beta - \ alpha) | \ leq k | \ beta - \ alfa | \ leq | \ beta - \ alfa |}

{\ displaystyle | \ beta - \ alpha | = | \ phi (\ beta) - \ phi (\ alpha) | = | \ phi (\ xi) (\ beta - \ alpha) | \ leq k | \ beta - \ alfa | \ leq | \ beta - \ alfa |}

Faptul că:

|\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |

{\ displaystyle | \ beta - \ alpha | \ leq | \ beta - \ alpha |}

{\ displaystyle | \ beta - \ alpha | \ leq | \ beta - \ alpha |}

este absurd și, prin urmare, α este singura rădăcină a intervalului.

Convergența secvențelor și a seriilor de funcții

Același subiect în detaliu: Secvența funcțiilor și Seria de funcții .

Pentru succesiuni $\{f_{n}(x)\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \} _ {n}}$ există următoarele tipuri de convergență:

Convergența punctelor :

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) = f (x)}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) = f (x)}

Convergență uniformă :

\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 0}

Pentru seturi de caracteristici $\sum f_{n}(x)$ ${\ displaystyle \ sum f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle \ sum f_ {n} (x)}$ există următoarele tipuri de convergență:

Convergența punctuală apare dacă seria numerică $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x_{0})$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x_ {0})}$ converge pentru fiecare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .
Convergența uniformă apare dacă succesiunea sumelor parțiale converge uniform.
Convergența totală apare dacă există o serie numerică $\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} M_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} M_ {n}}$ convergente astfel încât:

|f_{n}(x)|\leq M_{n}\

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n} \}

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n} \}

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

Și

n

{\ displaystyle n}

n

.

Convergența variabilelor aleatorii

Același subiect în detaliu: Convergența variabilelor aleatorii .

Având în vedere o succesiune de variabile aleatorii $\{X_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n}}$ , există mai multe tipuri de convergență: