Teorema convergenței monotone

În matematică , pentru teorema convergenței monotone identificați mai multe teoreme referitoare la convergența secvențelor și a seriilor .

Secvențe de numere reale

În cazul secvențelor de numere, teorema monotonă a convergenței afirmă că dacă $\{s_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ este o secvență monotonă de numere reale, apoi secvența converge dacă și numai dacă este delimitată.

Dovada că, dacă o secvență monotonă converge, atunci aceasta este delimitată provine din faptul că fiecare secvență convergentă este delimitată (detaliile probei sunt date aici ).

Implicația inversă, adică, dacă o secvență monotonă este mărginită, atunci ea converge, este prezentată în felul următor: luăm o secvență monotonă în creștere (în cazul secvențelor descrescătoare, dovada este analogă) și numim $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ imaginea succesiunii $\{s_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ . Limitarea face ca un element să existe finit

s=\sup I

{\ displaystyle s = \ sup I}

{\ displaystyle s = \ sup I}

astfel încât pentru fiecare element al succesiunii pe care îl deține $s_{n}\leq s$ ${\ displaystyle s_ {n} \ leq s}$ ${\ displaystyle s_ {n} \ leq s}$ . Ales a $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ arbitrar, există un index $N>0$ ${\ displaystyle N> 0}$ $N> 0$ astfel încât

s-\varepsilon <s_{N}\leq s

{\ displaystyle s- \ varepsilon <s_ {N} \ leq s}

{\ displaystyle s- \ varepsilon <s_ {N} \ leq s}

deoarece $s-\varepsilon$ ${\ displaystyle s- \ varepsilon}$ ${\ displaystyle s- \ varepsilon}$ nu este mai mare decât $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . Deci, dacă alegem un index $n\geq N$ ${\ displaystyle n \ geq N}$ $n \ geq N$ , implică monotonia succesiunii $s_{n}\geq s_{N}$ ${\ displaystyle s_ {n} \ geq s_ {N}}$ ${\ displaystyle s_ {n} \ geq s_ {N}}$ și de aceea este valabil

s-\varepsilon <s_{n}\leq s.

{\ displaystyle s- \ varepsilon <s_ {n} \ leq s.}

{\ displaystyle s- \ varepsilon <s_ {n} \ leq s.}

Din arbitrariul $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ urmărește convergența $\{s_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ la $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ .

Seria numerelor

În cazul seriilor de numere, teorema monotonă a convergenței afirmă că dacă pentru orice pereche de numere naturale j și k numărul $a_{j,k}$ ${\ displaystyle a_ {j, k}}$ ${\ displaystyle a_ {j, k}}$ este real și nu negativ e $a_{j,k}\leq a_{j+1,k}$ ${\ displaystyle a_ {j, k} \ leq a_ {j + 1, k}}$ ${\ displaystyle a_ {j, k} \ leq a_ {j + 1, k}}$ , apoi: ^[1]

\lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}

{\ displaystyle \ lim _ {j \ to \ infty} \ sum _ {k} a_ {j, k} = \ sum _ {k} \ lim _ {j \ to \ infty} a_ {j, k}}

{\ displaystyle \ lim _ {j \ to \ infty} \ sum _ {k} a_ {j, k} = \ sum _ {k} \ lim _ {j \ to \ infty} a_ {j, k}}

Secvențe de funcții

În cazul secvențelor de funcții, teorema convergenței monotone, numită și teorema lui Beppo Levi , afirmă că dacă $(X,\Sigma ,\mu )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ $(X, \ Sigma, \ mu)$ este un spațiu de măsurare și $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ o succesiune de funcții măsurabile pe $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ astfel încât:

0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \dots \leq \infty \quad \forall x\in X

{\ displaystyle 0 \ leq f_ {1} (x) \ leq f_ {2} (x) \ leq \ dots \ leq \ infty \ quad \ forall x \ in X}

{\ displaystyle 0 \ leq f_ {1} (x) \ leq f_ {2} (x) \ leq \ dots \ leq \ infty \ quad \ forall x \ in X}

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\to f(x)\quad \forall x\in X

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x \ în X}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x \ în X}

asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este măsurabilă în $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ și: ^[2]

\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu \

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} f_ {n} d \ mu = \ int _ {X} fd \ mu \}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} f_ {n} d \ mu = \ int _ {X} fd \ mu \}

unde integralul este al lui Lebesgue . Rețineți că valoarea oricărei integrale poate fi infinită.

Demonstrație

Este $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ o succesiune non-descrescătoare de funcții și seturi non-negative măsurabile:

f=\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}

{\ displaystyle f = \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}}

{\ displaystyle f = \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}}

Pentru proprietatea monotonă a integralei, este imediat să vedem că:

\int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu

{\ displaystyle \ int fd \ mu \ geq \ lim _ {k} \ int f_ {k} d \ mu}

{\ displaystyle \ int fd \ mu \ geq \ lim _ {k} \ int f_ {k} d \ mu}

Vrem să dovedim inegalitatea în cealaltă direcție, adică:

\int fd\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}d\mu

{\ displaystyle \ int fd \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int f_ {k} d \ mu}

{\ displaystyle \ int fd \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int f_ {k} d \ mu}

Din definiția integralului rezultă că există o secvență nedescrescătoare $g_{n}$ ${\ displaystyle g_ {n}}$ $g_ {n}$ a funcțiilor simple non-negative care converg punctual către $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aproape peste tot și astfel încât:

\lim _{k}\int g_{k}d\mu =\int fd\mu

{\ displaystyle \ lim _ {k} \ int g_ {k} d \ mu = \ int fd \ mu}

{\ displaystyle \ lim _ {k} \ int g_ {k} d \ mu = \ int fd \ mu}

Deci, doar dovedește asta pentru fiecare $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ avem:

\int g_{k}d\mu \leq \lim _{j}\int f_{j}d\mu

{\ displaystyle \ int g_ {k} d \ mu \ leq \ lim _ {j} \ int f_ {j} d \ mu}

{\ displaystyle \ int g_ {k} d \ mu \ leq \ lim _ {j} \ int f_ {j} d \ mu}

Vrei să demonstrezi asta dacă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o funcție simplă și:

\lim _{j}f_{j}(x)\geq g(x)

{\ displaystyle \ lim _ {j} f_ {j} (x) \ geq g (x)}

{\ displaystyle \ lim _ {j} f_ {j} (x) \ geq g (x)}

aproape peste tot, atunci:

\lim _{j}\int f_{j}d\mu \geq \int gd\mu

{\ displaystyle \ lim _ {j} \ int f_ {j} d \ mu \ geq \ int gd \ mu}

{\ displaystyle \ lim _ {j} \ int f_ {j} d \ mu \ geq \ int gd \ mu}

Întreruperea funcției $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în părțile sale cu valoare constantă, aceasta se reduce la cazul în care $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este funcția indicator a unui set. Rezultatul pe care doriți să-l încercați este următorul. Asuma ca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un set măsurabil și $\{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ este o secvență non-descendentă de funcții măsurabile pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât:

\lim _{n}f_{n}(x)\geq 1

{\ displaystyle \ lim _ {n} f_ {n} (x) \ geq 1}

{\ displaystyle \ lim _ {n} f_ {n} (x) \ geq 1}

pentru aproape toți $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ . Atunci:

\lim _{n}\int f_{n}d\mu \geq \mu (A)

{\ displaystyle \ lim _ {n} \ int f_ {n} d \ mu \ geq \ mu (A)}

{\ displaystyle \ lim _ {n} \ int f_ {n} d \ mu \ geq \ mu (A)}

Pentru a demonstra acest rezultat, fixați ε> 0 și definiți succesiunea seturilor măsurabile:

B_{n}=\{x\in A:f_{n}(x)\geq 1-\varepsilon \}

{\ displaystyle B_ {n} = \ {x \ în A: f_ {n} (x) \ geq 1- \ varepsilon \}}

{\ displaystyle B_ {n} = \ {x \ în A: f_ {n} (x) \ geq 1- \ varepsilon \}}

Pentru monotona integralei, rezultă că pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ avem:

\mu (B_{n})(1-\varepsilon )=\int (1-\varepsilon )1_{B_{n}}d\mu \leq \int f_{n}d\mu

{\ displaystyle \ mu (B_ {n}) (1- \ varepsilon) = \ int (1- \ varepsilon) 1_ {B_ {n}} d \ mu \ leq \ int f_ {n} d \ mu}

{\ displaystyle \ mu (B_ {n}) (1- \ varepsilon) = \ int (1- \ varepsilon) 1_ {B_ {n}} d \ mu \ leq \ int f_ {n} d \ mu}

Prin ipoteză:

\bigcup _{i}B_{i}=A

{\ displaystyle \ bigcup _ {i} B_ {i} = A}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i} B_ {i} = A}

până la un set de măsuri 0. Prin urmare, pentru aditivitatea numărabilă a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ :

\mu (A)=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\varepsilon )^{-1}\int f_{n}d\mu

{\ displaystyle \ mu (A) = \ lim _ {n} \ mu (B_ {n}) \ leq \ lim _ {n} (1- \ varepsilon) ^ {- 1} \ int f_ {n} d \ mu}

{\ displaystyle \ mu (A) = \ lim _ {n} \ mu (B_ {n}) \ leq \ lim _ {n} (1- \ varepsilon) ^ {- 1} \ int f_ {n} d \ mu}

Deoarece acest lucru este adevărat pentru orice ε pozitiv, urmează teza.

Notă

^ J Yeh, Analiză reală. Teoria măsurii și integrării , 2006.
^ W. Rudin , Pagina 21 .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] J Yeh, Analiză reală. Teoria măsurii și integrării , 2006.

[2] W. Rudin , Pagina 21 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy