Funcție diferențiată

În matematică , în special în analiza matematică și geometria diferențială , o funcție diferențiată la un punct este o funcție care poate fi aproximată la mai puțin de un rest infinitesimal dintr-o transformare liniară într-un vecinătate destul de mic al acelui punct. Pentru ca acest lucru să se întâmple, este necesar să existe toate derivatele parțiale calculate în punct, adică, dacă este diferențiat, atunci este diferențiat în punct, deoarece limitele raporturilor direcționale incrementale există și sunt finite. Conceptul de diferențialitate permite generalizarea conceptului de funcție diferențiată la funcțiile vectoriale ale unei variabile vectoriale, iar diferențialitatea unei funcții permite identificarea unui hiperplan tangent pentru fiecare punct al graficului său.

O funcție poate fi diferențiată $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ori, și în acest caz vorbim despre o funcție de clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ . O funcție care poate fi diferențiată infinit se numește și netedă . În analiza funcțională , distincțiile dintre diferitele clase $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ acestea sunt foarte importante, în timp ce în alte domenii ale matematicii aceste diferențe sunt mai puțin luate în considerare, iar termenul „funcție diferențiată” este adesea folosit greșit pentru a defini o funcție lină.

Definiție

O funcție din

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ R

în

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ R

Este diferențiat la un punct dacă este aproximat aproape de acel punct de la o linie. Prin urmare, această linie trebuie să fie tangentă la graficul funcției. Această noțiune se extinde la dimensiuni arbitrare și se numește o funcție diferențiată .

O funcție :

\mathbf {F} \colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}

{\ mathbf {F}} \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}

definit pe un set deschis de spațiu euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ se spune că poate fi diferențiat la un moment dat $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ a domeniului dacă există o aplicație liniară :

\mathbf {L} \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}

{\ displaystyle \ mathbf {L} \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}

{\ mathbf {L}} \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}

astfel încât aproximarea să aibă: ^[1]

\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} +\mathbf {r} (\mathbf {h} )

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h} + \ mathbf {r} (\ mathbf {h})}

\ mathbf {F} (\ mathbf {x} _0 + \ mathbf {h}) - \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _0) = \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _0) \ mathbf { h} + \ mathbf r (\ mathbf {h})

unde este $\mathbf {r} (\mathbf {h} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (\ mathbf {h})}$ $\ mathbf r (\ mathbf {h})$ dispare, cu o ordine de infinitesimal mai mare de 1, când creșterea dispare $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ $\ mathbf {h}$ . Această condiție poate fi scrisă într-un mod echivalent:

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})-\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ lim _ {\ mathbf {h} \ to \ mathbf {0}} {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - \ mathbf { F} (\ mathbf {x} _ {0}) - \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h}} {\ begin {Vmatrix} \ mathbf {h} \ end { Vmatrix}}} = \ mathbf {0}}

\ lim _ {\ mathbf {h} \ to \ mathbf {0}} \ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {x} _0 + \ mathbf {h}) - \ mathbf {F} (\ mathbf {x } _0) - \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _0) \ mathbf {h}} {\ begin {Vmatrix} \ mathbf {h} \ end {Vmatrix}} = \ mathbf {0}

Dacă funcția $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ este diferențiat în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ , aplicația $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$ este reprezentată de matricea iacobiană $J_{F}\$ ${\ displaystyle J_ {F} \}$ $J_F \$ .

Vectorul:

\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} =\mathrm {d} \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=J_{F}\mathbf {h}

{\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h} = \ mathrm {d} \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0}) = J_ {F } \ mathbf {h}}

\ mathbf {L} (\ mathbf {x} _0) \ mathbf {h} = \ mathrm {d} \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _0) = J_F \ mathbf h

se numește diferențial ( exact ) al $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ și $\mathbf {L} (\mathbf {x_{0}} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x_ {0}})}$ $\ mathbf {L} (\ mathbf {x_0})$ se numește derivată sau, de asemenea, derivată totală a funcției $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ .

Functia $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ în cele din urmă este diferențiat dacă este așa în fiecare punct al domeniului. ^[2] În special, teorema diferențială totală afirmă că o funcție este diferențiată la un punct dacă toate derivatele parțiale există într-un vecinătate al punctului pentru fiecare componentă a funcției și dacă sunt și funcții continue. De asemenea, dacă aplicația care leagă $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ la $\mathbf {L} (\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x})}$ $\ mathbf {L} (\ mathbf {x})$ este continuă, funcția se spune că poate fi diferențiată prin continuitate . ^[3]

În cazul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a unei variabile definite pe un interval deschis al axei reale, se spune că este diferențiată în ${x}_{0}$ ${\ displaystyle {x} _ {0}}$ ${x} _0$ dacă există o aplicație liniară ${L}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle {L}: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${L}: \ mathbb R \ rightarrow \ mathbb R$ astfel încât: ^[4]

\lim _{{h}\to {0}}{\frac {{f}({x}_{0}+{h})-{f}({x}_{0})-{L}({x}_{0}){h}}{h}}={0}

{\ displaystyle \ lim _ {{h} \ to {0}} {\ frac {{f} ({x} _ {0} + {h}) - {f} ({x} _ {0}) - {L} ({x} _ {0}) {h}} {h}} = {0}}

{\ displaystyle \ lim _ {{h} \ to {0}} {\ frac {{f} ({x} _ {0} + {h}) - {f} ({x} _ {0}) - {L} ({x} _ {0}) {h}} {h}} = {0}}

și în acest caz avem:

L=f'(x).

{\ displaystyle L = f '(x).}

L = f '(x).

Matrice iacobiană

Același subiect în detaliu: matricea iacobiană .

Dacă o funcție este diferențiată într-un punct, atunci există toate derivatele parțiale calculate în punct, dar viceversa nu este adevărată. Cu toate acestea, dacă toate derivatele parțiale există și sunt continue într-o vecinătate a punctului, atunci funcția este diferențiată la punct, adică este de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ .

Spus $\{\mathbf {e} _{j}\}_{1\leq j\leq n}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {j} \} _ {1 \ leq j \ leq n}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {j} \} _ {1 \ leq j \ leq n}}$ Și $\{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {u} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq m}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {u} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq m}}$ baza canonică a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ Și $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb {R} ^ {m}$ respectiv, avem:

\mathbf {L} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\cdot \mathbf {u} _{i}.

{\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial F_ {i} ( \ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} \ cdot \ mathbf {u} _ {i}.}

{\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {\ partial F_ {i} ( \ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} \ cdot \ mathbf {u} _ {i}.}

Aplicația liniară $\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0})}$ $\ mathbf L (\ mathbf x_0)$ este deci reprezentată în bazele canonice printr-o matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ , numită matrice iacobiană $J_{F}$ ${\ displaystyle J_ {F}}$ $J_F$ din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ .

The $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -a vectorul coloanei a matricei iacobiene este dat de relația anterioară și avem: ^[5]

\mathbf {L} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\sum _{i=1}^{m}\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}h_{j}\right]\mathbf {u} _{i}=J_{F}\mathbf {h} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\mathbf {h} .

{\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x}) \ mathbf {h} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ left [\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} h_ {j} \ right] \ mathbf {u} _ {i} = J_ {F} \ mathbf {h } = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial F_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial F_ {1}} {\ partial x_ {n} }} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial F_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial F_ {m}} { \ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}} \ mathbf {h}.}

{\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x}) \ mathbf {h} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ left [\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} h_ {j} \ right] \ mathbf {u} _ {i} = J_ {F} \ mathbf {h } = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial F_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial F_ {1}} {\ partial x_ {n} }} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial F_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial F_ {m}} { \ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}} \ mathbf {h}.}

În funcție de mărime $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Jacobianul are mai multe interpretări geometrice:

De sine $m=1$ ${\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$ , matricea iacobiană este redusă la un vector $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, numit gradientul de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ . În acest caz avem:

L(\mathbf {x} )=\nabla F(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\qquad \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {{F}(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-{F}(\mathbf {x} _{0})-\nabla F(\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}={0}.

{\ displaystyle L (\ mathbf {x}) = \ nabla F (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} \ mathbf {e} _ {i} \ qquad \ lim _ {\ mathbf {h} \ to \ mathbf {0}} {\ frac {{F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - {F} (\ mathbf {x} _ {0}) - \ nabla F (\ mathbf {x} _ {0}) \ cdot \ mathbf {h}} { \ begin {Vmatrix} \ mathbf {h} \ end {Vmatrix}}} = {0}.}

{\ displaystyle L (\ mathbf {x}) = \ nabla F (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} \ mathbf {e} _ {i} \ qquad \ lim _ {\ mathbf {h} \ to \ mathbf {0}} {\ frac {{F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - {F} (\ mathbf {x} _ {0}) - \ nabla F (\ mathbf {x} _ {0}) \ cdot \ mathbf {h}} { \ begin {Vmatrix} \ mathbf {h} \ end {Vmatrix}}} = {0}.}

Gradientul indică direcția "cea mai abruptă" a graficului funcțional în punct.

De sine $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , functia $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ parametrizează o curbă în $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ , diferențialul său este o funcție care definește direcția liniei tangente la curbă în punct.

De sine $m=n=1$ ${\ displaystyle m = n = 1}$ $m = n = 1$ , condiția de diferențiere coincide cu condiția de diferențiere. Matricea iacobiană este redusă la un număr, egal cu derivata.

Diferențialitate în analiza complexă

Același subiect în detaliu: funcția holomorfă .

Este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ un subset deschis al planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . O functie $f\colon U\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}$ este diferențiat în sens complex ( $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ -diferențiat) într-un punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ dacă există limita :

f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}

{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ rightarrow z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}}

f '(z_0) = \ lim_ {z \ rightarrow z_0} {f (z) - f (z_0) \ over z - z_0}

Limita trebuie înțeleasă în raport cu topologia podelei. Cu alte cuvinte, pentru fiecare succesiune de numere complexe care converg către $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ raportul incremental trebuie să tindă la același număr, indicat cu $f'(z_{0})$ ${\ displaystyle f '(z_ {0})}$ $f '(z_ {0})$ . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi diferențiat în sens complex în fiecare punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , este o funcție holomorfă pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Se mai spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este holomorf în acest punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ dacă este holomorf în vreun cartier al punctului și asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este holomorf într-un set nedeschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă este holomorf într-un conținut deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Relația dintre diferențialitatea funcțiilor reale și funcțiile complexe este dată de faptul că dacă o funcție complexă $f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ ${\ displaystyle f (z) \ equiv f (x + iy) = u (x, y) + i \, v (x, y)}$ $f (z) \ equiv f (x + iy) = u (x, y) + i \, v (x, y)$ atunci este holomorf $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ posedă prima derivată parțială cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și să satisfacă ecuațiile Cauchy-Riemann :

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ qquad {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \,}

\ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y} \ qquad \ frac {\ partial u} {\ partial y} = - \ frac {\ partial v} {\ parțial x} \,

În mod echivalent, derivatul Wirtinger $\partial f/\partial {\overline {z}}$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial {\ overline {z}}}$ $\ partial f / \ partial \ overline {z}$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în ceea ce privește complexul conjugat ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Nu-i nimic.

Proprietățile funcțiilor diferențiate

O funcție diferențiată la un moment dat $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este continuu în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ . Intr-adevar:

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})=\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}+{A\mathbf {h} }=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ lim _ {\ mathbf {h} \ to \ mathbf {0}} F (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) -F (\ mathbf {x} _ {0} ) = \ lim _ {\ mathbf {h} \ to \ mathbf {0}} {\ begin {Vmatrix} \ mathbf {h} \ end {Vmatrix}} {\ frac {F (\ mathbf {x} _ {0 } + \ mathbf {h}) -F (\ mathbf {x} _ {0}) - A \ mathbf {h}} {\ begin {Vmatrix} \ mathbf {h} \ end {Vmatrix}}} + {A \ mathbf {h}} = \ mathbf {0}}

\ lim _ {\ mathbf h \ to \ mathbf 0} F (\ mathbf x_0 + \ mathbf h) -F (\ mathbf x_0) = \ lim _ {\ mathbf h \ to \ mathbf 0} {\ begin {Vmatrix} \ mathbf h \ end {Vmatrix}} \ frac {F (\ mathbf x_0 + \ mathbf h) -F (\ mathbf x_0) -A \ mathbf h} {\ begin {Vmatrix} \ mathbf h \ end {Vmatrix}} + {A \ mathbf h} = \ mathbf 0

pentru definiția dată a funcției diferențiabile și pentru continuitatea funcțiilor liniare.

De sine $F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle F \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ $F \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}$ este o funcție diferențiată în $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ , apoi admite toate derivatele parțiale din $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ . Dimpotrivă, nu este întotdeauna adevărat că existența derivatelor parțiale într-un punct garantează, de asemenea, diferențialitate în punct. De exemplu, funcția reală a două variabile reale:

F(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&(x,y)=(0,0)\\{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}&(x,y)\neq (0,0)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle F (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & (x, y) = (0,0) \\ {\ frac {xy ^ {2}} {x ^ {2 } + y ^ {4}}} & (x, y) \ neq (0,0) \ end {matrix}} \ right.}

F (x, y) = \ left \ {\ begin {matrix} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \ frac {xy ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 4} & (x , y) \ neq (0,0) \ end {matrix} \ right.

admite derivate parțiale peste tot, dar faptul că în

(0,0)

{\ displaystyle (0,0)}

(0,0)

funcția nu este continuă împiedică diferențierea acesteia în

(0,0)

{\ displaystyle (0,0)}

(0,0)

.

Cu toate acestea, dacă

F.

{\ displaystyle F}

F.

este elegant

C^{1}

{\ displaystyle C ^ {1}}

C ^ 1

într-un cartier al

\mathbf {x} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}

\ mathbf x_0

, adică dacă toate derivatele parțiale ale

F.

{\ displaystyle F}

F.

și acestea sunt funcții continue , atunci

F.

{\ displaystyle F}

F.

este diferențiat în

\mathbf {x} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}

\ mathbf x_0

. Prin urmare, dacă

\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

\ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}

este deschis, asta

F\in C^{1}(\Omega )

{\ displaystyle F \ în C ^ {1} (\ Omega)}

F \ în C ^ 1 (\ Omega)

implică diferențialitate în

\Omega

{\ displaystyle \ Omega}

\Omega

ceea ce la rândul său implică faptul că

F\in C^{0}(\Omega )

{\ displaystyle F \ în C ^ {0} (\ Omega)}

F \ în C ^ 0 (\ Omega)

.

Aproximări

Același subiect în detaliu: seria Taylor .

Din punct de vedere informal, o funcție diferențiată este una care apare tot mai mult ca o transformare afină atunci când este privită la măriri tot mai mari. Transformarea afină care se apropie $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ într-un cartier al $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este funcția:

\mathbf {x} \mapsto F(\mathbf {x} _{0})+\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto F (\ mathbf {x} _ {0}) + \ mathrm {D} F (\ mathbf {x} _ {0}) (\ mathbf {x} - \ mathbf { x} _ {0})}

\ mathbf x \ mapsto F (\ mathbf x_0) + \ mathrm {D} F (\ mathbf x_0) (\ mathbf x - \ mathbf x_0)

.

Pentru a verifica acest lucru, luați în considerare un cartier al $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ de rază $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ .

Dacă măriți graficul $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ astfel încât să apară în jurul nostru dintr-o rază $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , distanța pe care o vedeți între funcție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și funcția afină care o aproximează la punct $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}}$ $\ mathbf x = \ mathbf x_0 + \ mathbf h$ este egal cu:

{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}

{\ displaystyle {\ frac {F (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) -F (\ mathbf {x} _ {0}) - \ mathrm {D} F (\ mathbf {x } _ {0}) \ mathbf {h}} {\ delta}}}

\ frac {F (\ mathbf x_0 + \ mathbf h) -F (\ mathbf x_0) - \ mathrm {D} F (\ mathbf x_0) \ mathbf h} \ delta

unde împărțirea prin $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ corespunde redimensionării datorită „zoomului” care se operează în împrejurimi. Deci, distanța maximă care poate fi văzută în zona redefinită este:

\sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-\mathrm {D} F(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}

{\ displaystyle \ sup _ {\ left \ | \ mathbf {h} \ right \ | \ leq \ delta} {\ frac {F (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) -F ( \ mathbf {x} _ {0}) - \ mathrm {D} F (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h}} {\ delta}}}

\ sup _ {\ left \ | \ mathbf h \ right \ | \ leq \ delta} \ frac {F (\ mathbf x_0 + \ mathbf h) -F (\ mathbf x_0) - \ mathrm {D} F (\ mathbf x_0) \ mathbf h} \ delta

,

acum se poate arăta că din definiția diferențierii de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ rezultă că:

\lim _{\delta \to 0}\sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}=0

{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} \ sup _ {\ left \ | \ mathbf {h} \ right \ | \ leq \ delta} {\ frac {F (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) -F (\ mathbf {x} _ {0}) - DF (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h}} {\ delta}} = 0}

\ lim _ {\ delta \ to 0} \ sup _ {\ left \ | \ mathbf h \ right \ | \ leq \ delta} \ frac {F (\ mathbf x_0 + \ mathbf h) -F (\ mathbf x_0) -DF (\ mathbf x_0) \ mathbf h} \ delta = 0

,

ceea ce înseamnă că ceea ce se observă prin mărirea progresivă a graficului de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și aproximarea sa afină în jur $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este că acestea tind să coincidă. În schimb, relația implică în mod direct diferențialitatea $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .

Notă

^ Rudin , p. 213 .
^ Rudin , p. 214 .
^ Rudin , p. 220 .
^ Rudin , p. 212 .
^ Rudin , p. 217 .

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis Due , Naples, Liguori Editore, 2001, ISBN 9788820731373 . (capitolul 2, paragraful 13)
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lessons in Mathematical Analysis Due , Bologna, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 . (capitolul 3, paragraful 29)
Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikibooks conține texte sau manuale despre funcția diferențiată

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rudin , p. 213 .

[2] Rudin , p. 214 .

[3] Rudin , p. 220 .

[4] Rudin , p. 212 .

[5] Rudin , p. 217 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy