Grâu integral

Integral al

f(x)

{\ displaystyle f (x)}

f (x)

.
Aria subtinsă de grafic de funcție

f(x)

{\ displaystyle f (x)}

f (x)

în domeniu

\left[a,b\right]

{\ displaystyle \ left [a, b \ right]}

{\ displaystyle \ left [a, b \ right]}

.
Zona se presupune că are o valoare negativă atunci când

f(x)

{\ displaystyle f (x)}

f (x)

este negativ.

În analiza matematică , integralul este un operator care, în cazul unei funcții a unei singure variabile cu valori reale non-negative, asociază funcției aria subtendută de graficul său într-un interval dat $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ în domeniu. Dacă funcția își asumă și valori negative, atunci integralul poate fi interpretat geometric ca zona orientată subtendută de graficul funcției.

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție continuă a unei variabile cu valoare reală și ambele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ un element din domeniul $f,$ ${\ displaystyle f,}$ $f,$ apoi din teorema fundamentală a calculului integral rezultă că integralul din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o primitivă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

fundal

Ideea de bază a conceptului de integral a fost cunoscută de Arhimede din Siracuza , care a trăit între 287 și 212 î.Hr. , și a fost conținută în metoda pe care a folosit-o pentru calcularea ariei cercului sau a ariei care stă la baza segmentului de o ramură a unei parabole , numită metoda epuizării , propusă deja de Eudox din Cnid .

În secolul al XVII-lea, unii matematicieni au găsit alte metode pentru a calcula aria care stă la baza graficului funcțiilor simple, printre care se numără, de exemplu, Luca Valerio , Bonaventura Cavalieri , (care a descoperit metoda indivizibilului în anii 1640 ), Pierre de Fermat ( 1636 ), Evangelista Torricelli ( 1658 ) și Nicolaus Mercator ( 1668 ). În aceiași ani, Pietro Mengoli ( 1659 ) a dat o primă definiție a integralului.

În secolele al XVII-lea și al XVIII-lea Isaac Newton , Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli a dovedit independent teorema fundamentală a calculului integral , care a condus această problemă înapoi la căutarea primitivei unei funcții.

Care este integrala (animație)

Definiția integralei pentru funcții continue într-un interval a fost formulată inițial de Augustin-Louis Cauchy , care, pornind de la lucrarea lui Mengoli, a descris integralul folosind definiția limitei. Bernhard Riemann și- a propus ulterior definiția, pentru a include clase mai extinse de funcții. În 1875 , Gaston Darboux a reformulat definiția deja identificată de Cauchy pentru a evita utilizarea limitelor și a arătat că era în întregime echivalentă cu definiția dată de Riemann. Din acest motiv vorbim adesea despre integrala Riemann-Darboux. Pentru a înțelege o clasă mult mai mare de funcții, Henri Lebesgue a produs o definiție mai complexă a integralului, prin introducerea teoriei măsurii . Mai târziu Thomas Stieltjes a reușit să generalizeze integrala Riemann prin introducerea conceptului de funcție de integrare și, cu o procedură complet analogă, Johann Radon a generalizat integralul Lebesgue. O definiție integrală alternativă la cea Lebesgue-Radon a fost furnizată de Percy J. Daniell , care a derivat-o din integrala Riemann-Stieltjes.

Notaţie

Simbolul integralei în literatura engleză, germană și rusă (de la stânga)

Simbolul $\int$ ${\ displaystyle \ int}$ $\ int$ reprezentarea integralei în notația matematică a fost introdusă de Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Simbolul se bazează pe personaj s ( esse lung ), o scrisoare pe care Leibniz utilizat ca inițiala summa cuvântul (summa), în latină sumă, din moment ce el a considerat integralei ca o sumă infinită de addends infinitezimale.

Variabila de integrare, adică variabila funcției integrand, este o variabilă stupidă, adică $\int f(x)dx$ ${\ displaystyle \ int f (x) dx}$ ${\ displaystyle \ int f (x) dx}$ are același sens ca $\int f(t)dt$ ${\ displaystyle \ int f (t) dt}$ ${\ displaystyle \ int f (t) dt}$ și de $\int f(j)dj$ ${\ displaystyle \ int f (j) dj}$ ${\ displaystyle \ int f (j) dj}$ . Forma diferențială $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ este diferențialul variabilei de integrare.

Există mici diferențe în notația integralei în literaturile diferitelor limbi: simbolul englezesc este înclinat spre dreapta, cel german este drept, în timp ce varianta rusă este înclinată spre stânga.

Introducere euristică

Luați în considerare o funcție $x\mapsto f(x)$ ${\ displaystyle x \ mapsto f (x)}$ ${\ displaystyle x \ mapsto f (x)}$ real al variabilei reale limitate și definit pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ pe axa absciselor. Când continuăm să calculăm integralul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește funcția integrand și intervalul $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ se numește interval de integrare și extreme $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numite extreme ale integrării . Cifra care limitează graficul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , axa absciselor și segmentele verticale efectuate de la extremele intervalului de integrare la extremele graficului funcției se numește trapez . Valoarea integralei funcției calculate pe intervalul de integrare este egală cu aria (cu semn) a trapezului, adică numărul real care exprimă această zonă orientată se numește integral (definit) al funcției extinse la intervalul de integrare. Termenul „integral” sau „ operator integral” indică, de asemenea, operația în sine care asociază valoarea zonei orientată funcției.

Au fost concepute mai multe moduri de a defini riguros integralul; în funcție de procedura adoptată, se modifică și setul de funcții care pot fi măsurate cu o integrală. O metodă este de a „aproxima” graficul funcției cu o linie formată din unul sau mai multe segmente, astfel încât figura să poată fi descompusă într-unul sau mai multe trapezoide a căror zonă este ușor de calculat: suma algebrică a ariilor tuturor trapezelor este atunci integralul căutat. O astfel de abordare este utilizată pentru a defini integralul Riemann , în care calculul ariei se realizează prin împărțirea figurii în benzi verticale subțiri, obținându-se astfel dreptunghiuri. Mai exact, împărțirea unui interval de integrare $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ intervalele de tip $[x_{k-1},x_{k}]$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}]}$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}]}$ , pentru $k=1,2,\dots ,n$ ${\ displaystyle k = 1,2, \ dots, n}$ ${\ displaystyle k = 1,2, \ dots, n}$ , si cu $x_{0}=a$ ${\ displaystyle x_ {0} = a}$ $x _ {{0}} = a$ Și $x_{n}=b$ ${\ displaystyle x_ {n} = b}$ $x _ {{n}} = b$ , pentru fiecare interval poate fi luat în considerare un punct $t_{k}$ ${\ displaystyle t_ {k}}$ $t_ {k}$ a cărui imagine este $f(t_{k})$ ${\ displaystyle f (t_ {k})}$ ${\ displaystyle f (t_ {k})}$ . Se construiește apoi dreptunghiul bazat pe interval $[x_{k-1},x_{k}]$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}]}$ ${\ displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k}]}$ și după înălțime $f(t_{k})$ ${\ displaystyle f (t_ {k})}$ ${\ displaystyle f (t_ {k})}$ . Cifra alcătuită din toate dreptunghiurile astfel construite se numește multi-dreptunghi și aria multi-dreptunghiului se numește suma integrală a lui Cauchy sau suma integrală a lui Riemann-Darboux :

\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})\,\Delta x_{k}:=\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1}).

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (t_ {k}) \, \ Delta x_ {k}: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (t_ {k} ) (x_ {k} -x_ {k-1}).}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (t_ {k}) \, \ Delta x_ {k}: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (t_ {k} ) (x_ {k} -x_ {k-1}).}

Dacă pe măsură ce lățimea intervalelor scade $\Delta x_{k}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {k}}$ valorile astfel obținute sunt concentrate într-un cartier care este din ce în ce mai mic decât un număr $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat pe interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ Și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este valoarea integralei sale.

Dacă funcția integrabilă $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este pozitivă atunci integralul capătă semnificația ariei regiunii:

{\mathcal {R}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},\,0\leq y\leq f(x),x\in [a,b]\}.

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, \, 0 \ leq y \ leq f (x), x \ in [a, b ] \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, \, 0 \ leq y \ leq f (x), x \ in [a, b ] \}.}

Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ schimbare înscrie-te $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ atunci integralul reprezintă o sumă de arii cu semn diferit.

Definiție

Prima definiție riguroasă care a fost formulată a integralei unei funcții pe un interval este integrala Riemann , formulată de Bernhard Riemann, deși pentru a o defini preferăm să folosim formularea dată de Gaston Darboux.

Integrala Lebesgue permite integrarea unei clase mai mari de funcții decât integrala Riemann. Pentru a arăta relația dintre cele două integrale este necesar să se utilizeze clasa funcțiilor continue cu suport compact , pentru care integrala Riemann există întotdeauna. Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue cu suport compact activat $\mathbb {R} ^{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ . Distanța lor poate fi definită după cum urmează: ^[1]

\operatorname {d} (f,g)=\int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)-g(t)|\ \mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ operatorname {d} (f, g) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (t) -g (t) | \ \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle \ operatorname {d} (f, g) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (t) -g (t) | \ \ mathrm {d} t.}

Echipat cu funcția de distanță, spațiul funcțiilor continue cu suport compact este un spațiu metric . Completarea acestui spațiu metric este ansamblul funcțiilor integrabile conform lui Lebesgue. ^[2] ^[3]

În literatură există mai mulți alți operatori de integrare, totuși aceștia se bucură de o difuzie mai mică decât cei de la Riemann și Lebesgue.

Integrala Riemann-Darboux

Același subiect în detaliu: integrala Riemann și integrala Darboux .

Este $PC[a,b]$ ${\ displaystyle PC [a, b]}$ $PC [a, b]$ ansamblul de funcții delimitate și continue pe intervale $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , și astfel încât să fie continuu din dreapta:

\lim _{x\to y^{+}}f(x)=f(y).

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to y ^ {+}} f (x) = f (y).}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to y ^ {+}} f (x) = f (y).}

Norma unor astfel de funcții poate fi definită ca:

\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |.}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |.}

Este $(a,x_{1},\dots ,x_{n-1},b)$ ${\ displaystyle (a, x_ {1}, \ dots, x_ {n-1}, b)}$ $(a, x_ {1}, \ dots, x _ {{n-1}}, b)$ o partiție de $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ Și $\chi _{i}(x)$ ${\ displaystyle \ chi _ {i} (x)}$ $\ chi _ {i} (x)$ funcția care indică intervalul i al partiției $[x_{i-1},x_{i}]$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ $[x _ {{i-1}}, x_ {i}]$ .

Întregul $S[a,b]$ ${\ displaystyle S [a, b]}$ $S [a, b]$ a posibilelor partiții ale intervalului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ constituie un spațiu vector normat, cu norma dată de:

\|\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{i}(x)\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{i}(x)|=\max _{i=1,\dots ,n}|c_{i}|\qquad c_{i}\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle \ | \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ chi _ {i} (x) \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in [a, b] } | \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ chi _ {i} (x) | = \ max _ {i = 1, \ dots, n} | c_ {i} | \ qquad c_ {i} \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle \ | \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ chi _ {i} (x) \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in [a, b] } | \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ chi _ {i} (x) | = \ max _ {i = 1, \ dots, n} | c_ {i} | \ qquad c_ {i} \ in \ mathbb {R}.}

Întregul $S[a,b]$ ${\ displaystyle S [a, b]}$ $S [a, b]$ este dens în $PC[a,b]$ ${\ displaystyle PC [a, b]}$ $PC [a, b]$ . Este definită transformarea liniară mărginită $I:S[a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I: S [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ $I: S [a, b] \ to \ mathbb {R}$ după cum urmează: ^[4]

I\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-x_{i-1}).

{\ displaystyle I \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ chi _ {i} (x) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ { i} (x_ {i} -x_ {i-1}).}

{\ displaystyle I \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ chi _ {i} (x) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ { i} (x_ {i} -x_ {i-1}).}

Se arată că un operator liniar delimitat care mapează un spațiu vector normat într-un spațiu normat complet poate fi întotdeauna extins într-un mod unic la un operator liniar delimitat care mapează finalizarea spațiului de pornire în același spațiu de sosire. Deoarece numerele reale alcătuiesc un set complet, $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ de aceea poate fi extins la un operator ${\hat {I}}$ ${\ displaystyle {\ hat {I}}}$ ${\ hat I}$ că completarea hărților ${\hat {S}}[a,b]$ ${\ displaystyle {\ hat {S}} [a, b]}$ ${\ hat S} [a, b]$ din $S[a,b]$ ${\ displaystyle S [a, b]}$ $S [a, b]$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Operatorul este definit ca integrala Riemann-Darboux ${\hat {I}}\colon {\hat {S}}[a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle {\ hat {I}} \ colon {\ hat {S}} [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ hat {I}} \ colon {\ hat {S}} [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ și este indicat cu: ^[5]

{\hat {I}}(f):=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x.

{\ displaystyle {\ hat {I}} (f): = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ \ mathrm {d} x.}

{\ displaystyle {\ hat {I}} (f): = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ \ mathrm {d} x.}

Integrala Lebesgue

Același subiect în detaliu: integral Lebesgue .

Este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură pe o sigma-algebră $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de subseturi ale unui set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . De exemplu, $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ poate fi un spațiu n euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sau un subset al acestuia, măsurabil prin Lebesgue , $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sigma-algebră a tuturor subseturilor măsurabile Lebesgue ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ măsura Lebesgue.

În teoria lui Lebesgue, integralele sunt limitate la o clasă de funcții, numite funcții măsurabile . O functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este măsurabilă dacă imaginea contorului fiecărui set este deschisă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ din gama este în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , adică dacă $f^{-1}(I)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (I)}$ $f ^ {{- 1}} (I)$ este un set măsurabil de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pentru fiecare deschidere $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . ^[6] Setul de funcții măsurabile este închis în ceea ce privește operațiile algebrice și, în special, clasa este închisă în raport cu diferite tipuri de limite punctuale ale secvențelor.

O funcție simplă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este o combinație liniară finită de funcții indicatoare ale seturilor măsurabile . ^[7] Fie că sunt numere reale sau complexe $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$ valorile asumate de funcția simplă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și ambele:

A_{i}=\{x:s(x)=a_{i}\}.

{\ displaystyle A_ {i} = \ {x: s (x) = a_ {i} \}.}

{\ displaystyle A_ {i} = \ {x: s (x) = a_ {i} \}.}

Apoi: ^[7]

s(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\chi _{A_{i}}(x),

{\ displaystyle s (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x),}

{\ displaystyle s (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x),}

unde este $\chi _{A_{k}}(x)$ ${\ displaystyle \ chi _ {A_ {k}} (x)}$ $\ chi _ {{A_ {k}}} (x)$ este funcția indicator în raport cu setul $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ pentru fiecare $the .$ ${\ displaystyle i.}$ ${\ displaystyle i.}$

Integrala Lebesgue a unei funcții simple este definită după cum urmează:

\int _{F}s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu (A_{i}\cap F),\quad F\in X.

{\ displaystyle \ int _ {F} s \, \ mathrm {d} \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mu (A_ {i} \ cap F), \ quad F \ în X.}

{\ displaystyle \ int _ {F} s \, \ mathrm {d} \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mu (A_ {i} \ cap F), \ quad F \ în X.}

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție non-negativă măsurabilă pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ la valori pe linia reală extinsă . Integrala Lebesgue a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în ansamblu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ cu privire la măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este definit după cum urmează: ^[8]

\int _{F}f\,\mathrm {d} \mu :=\sup \int _{F}s\,\mathrm {d} \mu ,

{\ displaystyle \ int _ {F} f \, \ mathrm {d} \ mu: = \ sup \ int _ {F} s \, \ mathrm {d} \ mu,}

{\ displaystyle \ int _ {F} f \, \ mathrm {d} \ mu: = \ sup \ int _ {F} s \, \ mathrm {d} \ mu,}

unde limita superioară este evaluată luând în considerare toate funcțiile simple $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ astfel încât $0\leq s\leq f$ ${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq f}$ $0 \ leq s \ leq f$ . Valoarea integralei este un număr din interval $[0,\infty ]$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$ $[0, \ infty]$ .

Setul de funcții astfel încât:

\int _{E}|f|\,\mathrm {d} \mu <\infty

{\ displaystyle \ int _ {E} | f | \, \ mathrm {d} \ mu <\ infty}

{\ displaystyle \ int _ {E} | f | \, \ mathrm {d} \ mu <\ infty}

se numește setul de funcții integrabile pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ conform lui Lebesgue cu privire la măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , sau, de asemenea, un set de funcții sumabile și este notat cu $L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mu)}$ $L ^ {1} (\ mu)$ .

Integrala Lebesgue este, de asemenea, o funcționalitate liniară și având în vedere o funcție definită pe un interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Teorema lui Riesz ne permite să afirmăm că pentru orice funcționalitate liniară $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este asociată o măsură Borel finită $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ astfel încât: ^[9]

\lambda f=\int _{I}f\,\mathrm {d} \mu .

{\ displaystyle \ lambda f = \ int _ {I} f \, \ mathrm {d} \ mu.}

{\ displaystyle \ lambda f = \ int _ {I} f \, \ mathrm {d} \ mu.}

În acest fel, valoarea funcțională depinde continuu de lungimea intervalului de integrare.

Integral în mai multe variabile

Același subiect în detaliu: integral multiplu .

Este $x=(x_{1},\dots ,x_{k})$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}$ $x = (x_ {1}, \ dots, x_ {k})$ un vector în câmpul real. Un set ca:

I^{k}=\{x:\quad a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\quad 1\leq i\leq k\}

{\ displaystyle I ^ {k} = \ {x: \ quad a_ {i} \ leq x_ {i} \ leq b_ {i} \ quad 1 \ leq i \ leq k \}}

I ^ {k} = \ {x: \ quad a_ {i} \ leq x_ {i} \ leq b_ {i} \ quad 1 \ leq i \ leq k \}

si a zis $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -celulă . Este $f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$ $f_ {k}$ definit pe $I^{k}$ ${\ displaystyle I ^ {k}}$ $Eu ^ {k}$ o funcție continuă cu valori reale și definește:

f_{k-1}(x_{1},\dots ,x_{k-1})=\int _{a_{k}}^{b_{k}}f_{k}(x_{1},\dots ,x_{k})dx_{k}.

{\ displaystyle f_ {k-1} (x_ {1}, \ dots, x_ {k-1}) = \ int _ {a_ {k}} ^ {b_ {k}} f_ {k} (x_ {1 }, \ dots, x_ {k}) dx_ {k}.}

{\ displaystyle f_ {k-1} (x_ {1}, \ dots, x_ {k-1}) = \ int _ {a_ {k}} ^ {b_ {k}} f_ {k} (x_ {1 }, \ dots, x_ {k}) dx_ {k}.}

Această funcție este definită pe $I^{k-1}$ ${\ displaystyle I ^ {k-1}}$ $I ^ {{k-1}}$ și este la rândul său continuu datorită continuității lui $f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$ $f_ {k}$ . Prin iterația procedurii, se obține o clasă de funcții $f_{j}$ ${\ displaystyle f_ {j}}$ $f_ {j}$ continua $I^{j}$ ${\ displaystyle I ^ {j}}$ $Eu ^ {j}$ care sunt rezultatul integralei din $f_{j+1}$ ${\ displaystyle f_ {j + 1}}$ $f _ {{j + 1}}$ în ceea ce privește variabila $x_{j+1}$ ${\ displaystyle x_ {j + 1}}$ $x _ {{j + 1}}$ pe interval $[a_{j+1},b_{j+1}]$ ${\ displaystyle [a_ {j + 1}, b_ {j + 1}]}$ $[a _ {{j + 1}}, b _ {{j + 1}}]$ . După $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ de câte ori primiți numărul:

f_{0}=\int _{a_{1}}^{b_{1}}f_{1}(x_{1})dx_{1}.

{\ displaystyle f_ {0} = \ int _ {a_ {1}} ^ {b_ {1}} f_ {1} (x_ {1}) dx_ {1}.}

{\ displaystyle f_ {0} = \ int _ {a_ {1}} ^ {b_ {1}} f_ {1} (x_ {1}) dx_ {1}.}

Aceasta este integralul $f_{k}(x)$ ${\ displaystyle f_ {k} (x)}$ $f_ {k} (x)$ pe $I^{k}$ ${\ displaystyle I ^ {k}}$ $Eu ^ {k}$ în comparație cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și nu depinde de ordinea în care $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ completări.

Mai exact, fie $g(x)=f_{1}(x_{1})\dots f_{k}(x_{k})$ ${\ displaystyle g (x) = f_ {1} (x_ {1}) \ dots f_ {k} (x_ {k})}$ $g (x) = f_ {1} (x_ {1}) \ dots f_ {k} (x_ {k})$ . Atunci noi avem:

\int _{I^{k}}g(x)dx=\prod _{i=1}^{k}\int _{a_{i}}^{b_{i}}f_{i}(x_{i})dx_{i}.

{\ displaystyle \ int _ {I ^ {k}} g (x) dx = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ int _ {a_ {i}} ^ {b_ {i}} f_ {i } (x_ {i}) dx_ {i}.}

{\ displaystyle \ int _ {I ^ {k}} g (x) dx = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ int _ {a_ {i}} ^ {b_ {i}} f_ {i } (x_ {i}) dx_ {i}.}

De asemenea, fie el $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție de suport compactă și presupunem că $I^{k}$ ${\ displaystyle I ^ {k}}$ $Eu ^ {k}$ conține suport pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Apoi este posibil să scrieți:

\int _{I^{k}}f=\int _{\mathbb {R} ^{k}}f.

{\ displaystyle \ int _ {I ^ {k}} f = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} f.}

{\ displaystyle \ int _ {I ^ {k}} f = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} f.}

În cadrul teoriei integrale Lebesgue este posibilă extinderea acestei definiții la seturi mai mari de funcții.

O proprietate foarte importantă a integralei unei funcții multi-variabile este următoarea. Sunt:

$T\colon E\subset \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle T \ colon E \ subset \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ displaystyle T \ colon E \ subset \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$ o funcție injectivă de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ definit pe un deschis $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și astfel încât matricea sa iacobiană $J_{T}(x)$ ${\ displaystyle J_ {T} (x)}$ $J_ {T} (x)$ este diferit de 0 oriunde în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .
$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție de suport compactă continuă definită pe $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ și astfel încât $T(E)$ ${\ displaystyle T (E)}$ $TU)$ conține suport pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Atunci noi avem:

\int _{\mathbb {R} ^{k}}f(y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{k}}f(T(x))|J_{T}(x)|dx.

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} f (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} f (T (x)) | J_ {T} ( x) | dx.}

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} f (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} f (T (x)) | J_ {T} ( x) | dx.}

Integrarea $f(T(x))|J_{T}(x)|$ ${\ displaystyle f (T (x)) | J_ {T} (x) |}$ $f (T (x)) | J_ {T} (x) |$ are un suport compact datorită reversibilității $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , datorită ipotezei $J_{T}(x)\neq 0$ ${\ displaystyle J_ {T} (x) \ neq 0}$ $J_ {T} (x) \ neq 0$ pentru fiecare $x\in E$ ${\ displaystyle x \ în E}$ $x \ în E$ care garantează continuitatea $T^{-1}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}}$ $T ^ {{- 1}}$ în $T(E)$ ${\ displaystyle T (E)}$ $TU)$ prin teorema funcției inverse .

Integrală curbiliniară

Același subiect în detaliu: integral de linie și integral de suprafață .

Având în vedere un câmp scalar $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ , definim integralul liniei ( de primul fel ) pe o curbă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , parametrizat de $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf {r}} (t)$ , cu $t\in [a,b]$ ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ $t \ in [a, b]$ , cum ar fi: ^[10]

\int _{C}f\ \operatorname {d} \!s=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\|\mathbf {r} '(t)\|\,\mathrm {d} t,

{\ displaystyle \ int _ {C} f \ \ operatorname {d} \! s = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) \ | \ mathbf {r} '( t) \ | \, \ mathrm {d} t,}

{\ displaystyle \ int _ {C} f \ \ operatorname {d} \! s = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) \ | \ mathbf {r} '( t) \ | \, \ mathrm {d} t,}

unde termenul $\mathrm {d} s$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$ ${\ mathrm {d}} s$ indică faptul că integralul se execută pe o abscisă curbiliniară . Dacă domeniul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , integralul curbiliniar este redus la integralul Riemann comun evaluat în interval $[r(a),r(b)]$ ${\ displaystyle [r (a), r (b)]}$ $[r (a), r (b)]$ . Integralele eliptice de primul și al doilea fel aparțin, de asemenea, familiei integralelor de linie, acesta din urmă fiind utilizat și în câmpul statistic pentru calcularea lungimii curbei Lorenz .

În mod similar, pentru un câmp vector $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathbf {F}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ , integrala de linie ( de al doilea fel ) de-a lungul unei curbe $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , parametrizat de $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf {r}} (t)$ cu $t\in [a,b]$ ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ $t \ in [a, b]$ , este definit de: ^[11]

\int _{C}\mathbf {F} =\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} = \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} = \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, \ mathrm {d} t.}

Continuitate și integrabilitate

Același subiect în detaliu: Funcția integrabilă .

O condiție suficientă pentru integrabilitate este aceea că o funcție definită pe un interval închis și delimitat este continuă: o funcție continuă definită pe un compact și, prin urmare, uniform continuă de teorema Heine-Cantor , este integrabilă.

Demonstrație

Împărțiți gama $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sub-intervale $[x_{i-1},x_{i}]$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ de lățime egală:

\delta x={{(b-a)} \over {n}}.

{\ displaystyle \ delta x = {{(ba)} \ over {n}}.}

{\ displaystyle \ delta x = {{(b-a)} \ over {n}}.}

Alegeți un punct în fiecare interval $t_{i}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ intern pentru $[x_{i-1},x_{i}]$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ iar suma integrală este definită:

\sigma _{n}=\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\,\delta x_{s}={{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}).

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = \ sum _ {s = 1} ^ {n} f (t_ {s}) \, \ delta x_ {s} = {{ba} \ over {n}} \ sum _ {s = 1} ^ {n} f (t_ {s}).}

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = \ sum _ {s = 1} ^ {n} f (t_ {s}) \, \ delta x_ {s} = {{ba} \ over {n}} \ sum _ {s = 1} ^ {n} f (t_ {s}).}

Prin plasare $M_{i}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ $Pe mine}$ Și $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $pe mine$ maximul și minimul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în fiecare interval $[x_{i-1},x_{i}]$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ atunci sumele sunt construite:

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1}),\qquad s_{n}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1}).

{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} M_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}), \ qquad s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}).}

{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} M_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}), \ qquad s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}).}

Dupa cum $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , avem asta $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ scade e $s_{n}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ dezvoltă. Deoarece cele două secvențe sunt apoi monotone , ele admit o limită, care este finită. Să fie acum:

\ m_{i}\leq f(t_{i})\leq M_{i}.

{\ displaystyle \ m_ {i} \ leq f (t_ {i}) \ leq M_ {i}.}

{\ displaystyle \ m_ {i} \ leq f (t_ {i}) \ leq M_ {i}.}

Avem asta:

\ s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n}.

{\ displaystyle \ s_ {n} \ leq \ sigma _ {n} \ leq S_ {n}.}

{\ displaystyle \ s_ {n} \ leq \ sigma _ {n} \ leq S_ {n}.}

Prin teorema existenței limitei secvențelor monotone rezultă $s_{n}\to s$ ${\ displaystyle s_ {n} \ to s}$ ${\ displaystyle s_ {n} \ to s}$ Și $S_{n}\to S$ ${\ displaystyle S_ {n} \ to S}$ ${\ displaystyle S_ {n} \ to S}$ , cu $s\leq S$ ${\ displaystyle s \ leq S}$ ${\ displaystyle s \ leq S}$ . Ca partiție a $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ se dovedește $s=S$ ${\ displaystyle s = S}$ ${\ displaystyle s = S}$ , de fapt este posibil să remediați un $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ cât de mici doriți și un număr de subdiviziuni de partiție suficient de mari pentru a rezulta:

S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<\varepsilon ,

{\ displaystyle S_ {n} -s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (M_ {i} -m_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1}) < \ varepsilon,}

{\ displaystyle S_ {n} -s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (M_ {i} -m_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1}) < \ varepsilon,}

întrucât pentru continuitatea uniformă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ avem:

M_{i}-m_{i}<{{\varepsilon } \over {(b-a)}}.

{\ displaystyle M_ {i} -m_ {i} <{{\ varepsilon} \ over {(ba)}}.}

{\ displaystyle M_ {i} -m_ {i} <{{\ varepsilon} \ over {(b-a)}}.}

Adică pentru o serie de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ subdiviziuni destul de mari:

S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<{{\varepsilon } \over {(b-a)}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=\varepsilon .

{\ displaystyle S_ {n} -s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (M_ {i} -m_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1}) < {{\ varepsilon} \ over {(ba)}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) = \ varepsilon.}

{\ displaystyle S_ {n} -s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (M_ {i} -m_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1}) < {{\ varepsilon} \ over {(ba)}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) = \ varepsilon.}

Prin teorema de comparație a secvențelor avem:

\ \lim _{n\to +\infty }(S_{n}-s_{n})\leq \varepsilon ,

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to + \ infty} (S_ {n} -s_ {n}) \ leq \ varepsilon,}

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to + \ infty} (S_ {n} -s_ {n}) \ leq \ varepsilon,}

sau:

S-s\leq \varepsilon ,

{\ displaystyle Ss \ leq \ varepsilon,}

{\ displaystyle S-s \ leq \ varepsilon,}

prin urmare, având în vedere arbitrariul factorului $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , rezultă că odată cu trecerea la limită, diferența dintre maximizarea și minimizarea sumelor integrale tinde la zero. Din aceasta rezultă că:

S=s=I.

{\ displaystyle S = s = I.}

{\ displaystyle S = s = I.}

În cele din urmă, fiind:

s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n},

{\ displaystyle s_ {n} \ leq \ sigma _ {n} \ leq S_ {n},}

{\ displaystyle s_ {n} \ leq \ sigma _ {n} \ leq S_ {n},}

prin teorema comparației rezultă $\sigma _{n}\to I$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n} \ to I}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n} \ to I}$ , din care deducem că dacă funcția de integrare este continuă pe un compact $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ atunci operația de integrare nu depinde de alegerea punctelor din intervale $[x_{i-1},x_{i}]$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ ${\ displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$ , adică funcția este integrabilă.

Integrabilitate absolută

O functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se spune că este absolut integrabil pe un interval deschis de tipul $[a,+\infty )$ ${\ displaystyle [a, + \ infty)}$ $[a, + \ infty)$ dacă pe acest interval poate fi integrat $\left|f\right|$ ${\ displaystyle \ left | f \ right |}$ $\ left | f \ right |$ . Nu toate funcțiile integrabile sunt absolut integrabile: un exemplu de funcție de acest tip este $\sin x/x$ ${\ displaystyle \ sin x / x}$ $\ sin x / x$ . Dimpotrivă, teorema privind existența integralelor necorespunzătoare la infinit garantează că o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty )$ $[a,+\infty )$ $[a,+\infty )$ .

Dimostrazione

Infatti, una condizione necessaria e sufficiente affinché $\int _{a}^{+\infty }\!f(x)\,\mathrm {d} x$ $\int _{a}^{+\infty }\!f(x)\,\mathrm {d} x$ $\int _{{a}}^{{+\infty }}\!f(x)\,{\mathrm {d}}x$ esista finito è che per ogni $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ esista $\gamma >0$ $\gamma >0$ $\gamma >0$ tale che per ogni $x_{1},x_{2}<\gamma$ $x_{1},x_{2}<\gamma$ $x_{1},x_{2}<\gamma$ si abbia:

\left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

\left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

\left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

Sostituendo in quest'ultima espressione $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ con $|f(x)|$ ${\displaystyle |f(x)|}$ $|f(x)|$ la condizione di esistenza diventa:

\left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|\right|<\varepsilon ,

\left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|\right|<\varepsilon ,

\left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|\right|<\varepsilon ,

da cui si ha:

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,{\mathrm {d}}x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,{\mathrm {d}}x

e quindi si può scrivere:

\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

Si ricava così che $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ è integrabile.

Teorema di Vitali-Lebesgue

Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\R^n$ che siano integrabili secondo Riemann . Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano Giuseppe Vitali contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese Henri Lebesgue .

Data una funzione su $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\R^n$ che sia limitata e nulla al di fuori di un sottoinsieme limitato di $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , essa è integrabile secondo Riemann se e solo se è trascurabile l'insieme dei suoi punti di discontinuità . Se si verifica questo, la funzione è anche integrabile secondo Lebesgue ei due integrali coincidono. Nel caso in cui $n=1$ ${\displaystyle n=1}$ $n=1$ l'enunciato assume la seguente forma: una funzione $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ limitata in un intervallo $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a, b]$ è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è di misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue . ^[12]

Calcolo differenziale e calcolo integrale

Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata .

Il teorema fondamentale del calcolo integrale , grazie agli studi e alle intuizioni di Leibniz , Newton , Torricelli e Barrow , stabilisce la relazione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale. Esso è generalizzato dal fondamentale teorema di Stokes .

Funzioni primitive

Lo stesso argomento in dettaglio: Primitiva (matematica) .

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ sia una primitiva di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ (cioè se $F'(x)=f(x)$ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ $F'(x)=f(x)$ ) allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

G(x)=F(x)+c,

{\displaystyle G(x)=F(x)+c,}

G(x)=F(x)+c,

che differisca da $F(x)$ ${\displaystyle F(x)}$ $F(x)$ per una costante arbitraria $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ , risulta essere primitiva di $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ . Infatti:

G'(x)=F'(x)+0=f(x).

{\displaystyle G'(x)=F'(x)+0=f(x).}

G'(x)=F'(x)+0=f(x).

Quindi, se una funzione $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ ammette primitiva $F(x)$ ${\displaystyle F(x)}$ $F(x)$ allora esiste un'intera classe di primitive del tipo:

G(x)=F(x)+c.

{\displaystyle G(x)=F(x)+c.}

G(x)=F(x)+c.

Viceversa, tutte le primitive di $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ sono della forma $F(x)+c$ ${\displaystyle F(x)+c}$ $F(x)+c$ .

Integrale indefinito

La totalità delle primitive di una funzione $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ si chiama integrale indefinito di tale funzione. Il simbolo:

\int \!f(x)\,\mathrm {d} x,

\int \!f(x)\,\mathrm {d} x,

\int \!f(x)\,\mathrm {d} x,

denota l'integrale indefinito della funzione $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ rispetto a $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ . La funzione $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ è detta anche in questo caso funzione integranda . In un certo senso (non formale), si può vedere l'integrale indefinito come "l'operazione inversa della derivata". Tuttavia, da un punto di vista formale, la derivazione non è iniettiva e quindi non è invertibile e l'operatore integrale restituisce l'insieme delle primitive che o è vuoto oppure contiene infiniti elementi.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ allora l'integrale indefinito di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è:

\int \!f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+c,

\int \!f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+c,

\int \!f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+c,

dove $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ è una generica costante reale.

Funzione integrale

Sia $f\colon I\to \mathbb {R}$ $f\colon I\to \mathbb {R}$ $f\colon I\to \mathbb {R}$ una funzione definita su un intervallo $I=[a,b]$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ $I=[a,b]$ . Se la funzione è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $J$ ${\displaystyle J}$ $J$ contenuto in $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ , al variare dell'intervallo $J$ ${\displaystyle J}$ $J$ varia il valore dell'integrale. Si ponga $J=[x_{0},x]$ $J=[x_{0},x]$ $J=[x_{0},x]$ , dove $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ è fissato e l'altro estremo $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è variabile: l'integrale di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ su $J$ ${\displaystyle J}$ $J$ diventa allora una funzione di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ . Tale funzione si dice funzione integrale di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ o integrale di Torricelli , e si indica con:

F(x)=\int _{x_{0}}^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t.

F(x)=\int _{x_{0}}^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t.

F(x)=\int _{x_{0}}^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t.

La variabile di integrazione $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ è detta variabile muta , e varia tra $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ e $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ .

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale del calcolo integrale .

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo , afferma che la funzione integrale (come sopra definita)

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt,\qquad a\leq x\leq b,

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt,\qquad a\leq x\leq b,

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt,\qquad a\leq x\leq b,

è una primitiva della funzione di partenza. Cioè

F^{\prime }(x)=f(x),

F^{\prime }(x)=f(x),

F^{\prime }(x)=f(x),

La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo , e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),

\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),

\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),

e tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale .

Lemma di derivazione degli integrali

Sia $I\subset \mathbb {R}$ $I\subset \mathbb {R}$ $I\subset \mathbb {R}$ un intervallo, $f\colon {\underset {(x,t)}{I}}{\underset {\mapsto }{\longrightarrow }}{\underset {f(x,t)}{\mathbb {R} }}$ $f\colon {\underset {(x,t)}{I}}{\underset {\mapsto }{\longrightarrow }}{\underset {f(x,t)}{\mathbb {R} }}$ $f\colon {\underset {(x,t)}{I}}{\underset {\mapsto }{\longrightarrow }}{\underset {f(x,t)}{\mathbb {R} }}$ funzione di classe ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ in $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e $\alpha ,\beta \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$ $\alpha ,\beta \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$ $\alpha ,\beta \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$ curve di classe ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ . Sia $\Phi \colon {\underset {x}{I}}{\underset {\mapsto }{\longrightarrow }}{\underset {\Phi (x)}{\mathbb {R} }}$ $\Phi \colon {\underset {x}{I}}{\underset {\mapsto }{\longrightarrow }}{\underset {\Phi (x)}{\mathbb {R} }}$ $\Phi \colon {\underset {x}{I}}{\underset {\mapsto }{\longrightarrow }}{\underset {\Phi (x)}{\mathbb {R} }}$ la funzione integrale di classe ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ definita come:

\Phi (x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}\!\!\!f(x,t)dt\implies \Phi ^{\prime }(x)=f(x,\beta (x))\cdot \beta ^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x))\cdot \alpha ^{\prime }(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt.

\Phi (x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}\!\!\!f(x,t)dt\implies \Phi ^{\prime }(x)=f(x,\beta (x))\cdot \beta ^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x))\cdot \alpha ^{\prime }(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt.

\Phi (x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}\!\!\!f(x,t)dt\implies \Phi ^{\prime }(x)=f(x,\beta (x))\cdot \beta ^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x))\cdot \alpha ^{\prime }(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt.

Proprietà degli integrali

Di seguito si riportano le proprietà principali dell'operatore integrale.

Linearità

Siano $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ e $g$ ${\displaystyle g}$ $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a, b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ $\alpha ,\beta \in {\mathbb {R}}$ . Allora:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}\,[\alpha f(t_{s})+\beta g(t_{s})],

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}\,[\alpha f(t_{s})+\beta g(t_{s})],

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}\,[\alpha f(t_{s})+\beta g(t_{s})],

da cui:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}[\alpha \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \sum _{s=1}^{n}g(t_{s})].

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}[\alpha \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \sum _{s=1}^{n}g(t_{s})].

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}[\alpha \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \sum _{s=1}^{n}g(t_{s})].

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}g(t_{s})

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}g(t_{s})

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}g(t_{s})

da cui discende la proprietà di linearità.

Additività

Sia $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ continua e definita in un intervallo $[a,c]$ ${\displaystyle [a,c]}$ $[a,c]$ e sia $b\in [a,c]$ $b\in [a,c]$ $b\in [a,c]$ . Allora:

\int _{a}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x.

\int _{a}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x.

\int _{a}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}),

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}),

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}),

da cui se si ha $c\in [a,b]$ $c\in [a,b]$ $c\in [a,b]$ esistono un valore $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ e un valore $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ la cui somma è $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti:

{\frac {b-c}{h}}={\frac {c-a}{k}}=\delta x

{\frac {bc}{h}}={\frac {ca}{k}}=\delta x

{\frac {b-c}{h}}={\frac {c-a}{k}}=\delta x

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\left(\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})\right).

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\left(\sum _{s=1}^{nk}f(t_{s})+\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})\right).

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\left(\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})\right).

Distribuendo la misura dell'intervallo:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{\frac {ba}{n}}\sum _{s=1}^{nk}f(t_{s})+\lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})

in cui $n-k=h$ ${\displaystyle nk=h}$ $n-k=h$ . Considerando l'intervallo $[c,b]$ ${\displaystyle [c,b]}$ $[c,b]$ , l'indice $s=h+1,\ldots ,n$ $s=h+1,\ldots ,n$ $s=h+1,\ldots ,n$ può essere riscritto come $s=1,\ldots ,k$ $s=1,\ldots ,k$ $s=1,\ldots ,k$ in quanto $t_{h+1}$ $t_{h+1}$ $t_{h+1}$ è il valore superiore del primo intervallo della partizione di $[c,b]$ ${\displaystyle [c,b]}$ $[c,b]$ . Ricordando che:

{{b-c} \over {h}}={{c-a} \over {k}}=\delta x,

{{bc} \over {h}}={{ca} \over {k}}=\delta x,

{{b-c} \over {h}}={{c-a} \over {k}}=\delta x,

risulta allora:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h\to +\infty }{{c-a} \over {h}}\sum _{s=1}^{h}f(t_{s})+\lim _{k\to +\infty }{{b-c} \over {k}}\sum _{s=1}^{k}f\left(t(s)\right)

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h\to +\infty }{{ca} \over {h}}\sum _{s=1}^{h}f(t_{s})+\lim _{k\to +\infty }{{bc} \over {k}}\sum _{s=1}^{k}f\left(t(s)\right)

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h\to +\infty }{{c-a} \over {h}}\sum _{s=1}^{h}f(t_{s})+\lim _{k\to +\infty }{{b-c} \over {k}}\sum _{s=1}^{k}f\left(t(s)\right)

da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia (o teorema del confronto)

Siano $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ e $g$ ${\displaystyle g}$ $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a, b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ $f(x)\leq g(x)$ $f(x)\leq g(x)$ in $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a, b]$ . Allora:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione

Infatti, se si verifica che $f(x)\leq g(x)$ $f(x)\leq g(x)$ $f(x)\leq g(x)$ nel compatto $\ [a,b]$ $\ [a,b]$ $\ [a,b]$ , effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore $b-a/n$ ${\displaystyle ba/n}$ $b-a/n$ si ottiene:

{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq {{b-a} \over {n}}g(t_{s}),

{{ba} \over {n}}f(t_{s})\leq {{ba} \over {n}}g(t_{s}),

{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq {{b-a} \over {n}}g(t_{s}),

per ogni $t_{s}$ $t_{s}$ $t_{{s}}$ . A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente:

\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}g(t_{s}).

\sum _{s=1}^{n}{{ba} \over {n}}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}{{ba} \over {n}}g(t_{s}).

\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}g(t_{s}).

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti , applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata:

\lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}g(t_{s}).

\lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{ba} \over {n}}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{ba} \over {n}}g(t_{s}).

\lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}{{b-a} \over {n}}g(t_{s}).

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del confronto. Se $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è integrabile in un intervallo $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a, b]$ si ha:

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x.

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x.

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione

Infatti, essendo valida la relazione $-|f(t_{s})|\leq f(t_{s})\leq |f(t_{s})|$ $-|f(t_{s})|\leq f(t_{s})\leq |f(t_{s})|$ $-|f(t_{{s}})|\leq f(t_{{s}})\leq |f(t_{{s}})|$ per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

-\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|.

-\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|.

-\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|.

Moltiplicando ogni membro per il fattore $b-a/n$ ${\displaystyle ba/n}$ $b-a/n$ e applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

-\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|

-\lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }{{ba} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|

-\lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }{{b-a} \over {n}}\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|

-\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x,

-\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x,

-\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x,

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come:

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,{\mathrm {d}}x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,{\mathrm {d}}x

la quale è la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Teorema della media

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della media integrale e Teorema della media pesata .

Se $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ è continua allora esiste $c\in (a,b)$ $c\in (a,b)$ $c \in (a,b)$ tale che:

{{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=f(c).

{{1} \over {ba}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=f(c).

{{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=f(c).

Integrale improprio

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale improprio .

Un integrale improprio è un limite della forma:

\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

\lim _{{b\to \infty }}\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm {d}}x\qquad \lim _{{a\to -\infty }}\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm {d}}x

oppure:

\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

\lim _{{c\to b^{-}}}\int _{a}^{c}f(x)\,{\mathrm {d}}x\quad \lim _{{c\to a^{+}}}\int _{c}^{b}f(x)\,{\mathrm {d}}x

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Metodi di integrazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodi di integrazione .

L'integrazione di una funzione reale è un calcolo matematico di non semplice risoluzione generale. Il caso più semplice si ha quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota $\Phi$ $\Phi$ $\Phi$ . In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la ricerca della primitiva dell'integranda sono queste due:

se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l' integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di una funzione e un altro integrale che può ricondursi al caso più semplice descritto sopra in cui l'integranda è la derivata di una funzione nota;
se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l' integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di differenziabilità che dipende dalla trasformazione in gioco.

Stima di somme tramite integrale

Un metodo che consente di ottenere la stima asintotica di una somma è l'approssimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{+}$ una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni $a\in \mathbb {N}$ $a\in \mathbb {N}$ $a\in \mathbb {N}$ e ogni intero $n\geq a$ $n\geq a$ $n\geq a$ si ha:

f(a)+\int _{a}^{n}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n}\!f(k)\leq \int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x+f(n).

f(a)+\int _{a}^{n}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n}\!f(k)\leq \int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x+f(n).

f(a)+\int _{a}^{n}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n}\!f(k)\leq \int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x+f(n).

Infatti, se $n=a$ ${\displaystyle n=a}$ $n=a$ la proprietà è banale, mentre se $n\,>\,a$ $n\,>\,a$ $n\,>\,a$ si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb{R} ^{+}$ , e che per ogni $k\in \mathbb {N}$ $k\in \mathbb {N}$ $k\in \mathbb{N}$ vale la relazione:

f(k)\leq \int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq f(k+1).

f(k)\leq \int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq f(k+1).

f(k)\leq \int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq f(k+1).

Sommando per $k=a,a+1,\ldots ,n-1$ $k=a,a+1,\ldots ,n-1$ $k=a,a+1,\ldots ,n-1$ si ottiene dalla prima disuguaglianza:

\sum _{k=a}^{n-1}f(k)\leq \sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,

\sum _{k=a}^{n-1}f(k)\leq \sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,

\sum _{k=a}^{n-1}f(k)\leq \sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,

mentre dalla seconda segue che:

\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n-1}f(k+1).

\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n-1}f(k+1).

\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n-1}f(k+1).

Aggiungendo ora $f(a)$ ${\displaystyle f(a)}$ $f(a)$ e $f(n)$ ${\displaystyle f(n)}$ $f(n)$ alle due somme precedenti si verifica la relazione.

Altri operatori di integrazione

Accanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L' integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, ed è a sua volta generalizzato dall' integrale di Lebesgue-Stieltjes , che è anche un'estensione dell'integrale di Lebesgue.

Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Denjoy , Integrale di Perron e Integrale di Henstock-Kurzweil .

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, alcune delle quali sono dovute a Denjoy , Perron , Henstock e altri. I tre nominati condividono la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale rispetto alla trattazione di Riemann e Lebesgue.

Il primo in ordine cronologico a essere introdotto è stato l' integrale di Denjoy , definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le funzioni assolutamente continue . Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la sua definizione con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo, Ralph Henstock e (indipendentemente) Jaroslaw Kurzweil forniscono una terza definizione equivalente, detta anche integrale di gauge : essa sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

Integrale di Itō

Lo stesso argomento in dettaglio: Lemma di Itō .

L'integrale di Itō fa parte dell'analisi di Itō per i processi stocastici . In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni, una delle quali è la seguente:

\int _{0}^{T}X_{s}\,\mathrm {d} W_{s},

\int _{0}^{T}X_{s}\,\mathrm {d} W_{s},

\int _{0}^{T}X_{s}\,\mathrm {d} W_{s},

dove $W_{s}$ $W_{s}$ $W_{{s}}$ è il processo di Wiener . L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto il processo di Wiener ha variazione totale infinita. In particolare, gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti integrali stocastici , che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (come il moto aleatorio delle particelle o il prezzo delle azioni nei mercati finanziari) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.

Esempi di calcolo di un integrale

In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale si può effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto le tavole d'integrazione . Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza $f(x)=mx$ ${\displaystyle f(x)=mx}$ $f(x)=mx$ attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula:

\int mx^{\alpha }\,\mathrm {d} x={{mx^{\alpha +1}} \over {\alpha +1}}+c,

\int mx^{\alpha }\,\mathrm {d} x={{mx^{\alpha +1}} \over {\alpha +1}}+c,

\int mx^{\alpha }\,\mathrm {d} x={{mx^{\alpha +1}} \over {\alpha +1}}+c,

la cui derivata coincide proprio con

\ mx^{\alpha }

\ mx^{\alpha }

\ mx^{{\alpha }}

. Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione

\ f(x)=mx

\ f(x)=mx

\ f(x)=mx

e integrandola si ottiene:

\int mx\,\mathrm {d} x={{mx^{2}} \over {2}}+c.

\int mx\,\mathrm {d} x={{mx^{2}} \over {2}}+c.

\int mx\,\mathrm {d} x={{mx^{2}} \over {2}}+c.

Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto

\ [a,b]

\ [a,b]

\ [a,b]

si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\left[{{mb^{2}} \over {2}}+c\right]-\left[{{ma^{2}} \over {2}}+c\right]=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\left[{{mb^{2}} \over {2}}+c\right]-\left[{{ma^{2}} \over {2}}+c\right]=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}

\int _{{a}}^{{b}}mx\,{\mathrm {d}}x=\left[{{mb^{{2}}} \over {2}}+c\right]-\left[{{ma^{{2}}} \over {2}}+c\right]=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}

esattamente lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

Si supponga di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali e orientate delle ascisse e delle ordinate. Si supponga ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è $f(x)=mx$ ${\displaystyle f(x)=mx}$ $f(x)=mx$ . Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a,b]$ situato sull'asse delle ascisse. Si supponga per semplicità che i punti $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi. Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a,b]$ è uguale all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza uguale a $b-a$ ${\displaystyle ba}$ $b-a$ , base maggiore $m b$ ${\displaystyle mb}$ $mb$ e base minore $\ ma$ $\ ma$ $\ ma$ . L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula ${{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a)$ ${{1} \over {2}}(mb+ma)(ba)$ ${{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a)$ , ovvero $m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}$ $m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}$ $m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}$ .

Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto

\ [a,b]

\ [a,b]

\ [a,b]

si effettua una partizione di tale intervallo, dividendolo in

n

{\displaystyle n}

n

parti uguali:

\ x_{0}=a;\quad x_{1}=a+{{b-a} \over {n}};\quad x_{2}=a+2{{b-a} \over {n}};\quad \dots \,;\quad x_{n}=a+n{{b-a} \over {n}}=b.

\ x_{0}=a;\quad x_{1}=a+{{ba} \over {n}};\quad x_{2}=a+2{{ba} \over {n}};\quad \dots \,;\quad x_{n}=a+n{{ba} \over {n}}=b.

\ x_{0}=a;\quad x_{1}=a+{{b-a} \over {n}};\quad x_{2}=a+2{{b-a} \over {n}};\quad \dots \,;\quad x_{n}=a+n{{b-a} \over {n}}=b.

Nel generico intervallo

[x_{i-1},x_{i}]

[x_{i-1},x_{i}]

[x_{{i-1}},x_{{i}}]

si sceglie come punto arbitrario il punto più esterno

x_{i}

x_{i}

x_{{i}}

(ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione

\ y=mx

\ y=mx

\ y=mx

nel generico punto

x_{i}

x_{i}

x_{{i}}

interno all'intervallo

[x_{i-1},x_{i}]

[x_{i-1},x_{i}]

[x_{{i-1}},x_{{i}}]

. Si avrà quindi

f(x_{i})=m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]

f(x_{i})=m\left[a+i{{ba} \over {n}}\right]

f(x_{{i}})=m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]

, e la somma integrale di Riemann diventa:

\ \sigma _{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}){{b-a} \over {n}}=\sum _{i=1}^{n}m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m\left({{b-a} \over {n}}\right)^{2}\sum _{i=1}^{n}i

\ \sigma _{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}){{ba} \over {n}}=\sum _{i=1}^{n}m\left[a+i{{ba} \over {n}}\right]{{ba} \over {n}}=ma(ba)+m\left({{ba} \over {n}}\right)^{2}\sum _{i=1}^{n}i

\ \sigma _{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}){{b-a} \over {n}}=\sum _{i=1}^{n}m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m\left({{b-a} \over {n}}\right)^{2}\sum _{i=1}^{n}i

nella quale la progressione aritmetica

\sum _{i=1}^{n}i={{n(n+1)} \over {2}}

\sum _{i=1}^{n}i={{n(n+1)} \over {2}}

\sum _{{i=1}}^{{n}}i={{n(n+1)} \over {2}}

restituisce un'espressione delle somme di Riemann uguale a:

\sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}{{n+1} \over {2n}}.

\sigma _{n}=ma(ba)+m(ba)^{2}{{n+1} \over {2n}}.

\sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}{{n+1} \over {2n}}.

Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}\lim _{n\to +\infty }{{n+1} \over {2n}}.

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(ba)+m(ba)^{2}\lim _{n\to +\infty }{{n+1} \over {2n}}.

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}\lim _{n\to +\infty }{{n+1} \over {2n}}.

Calcolando il limite per

\ n\to \infty

\ n\to \infty

\ n\to \infty

, dato che

\ {{n+1} \over {2n}}\to \ {{1} \over {2}}

\ {{n+1} \over {2n}}\to \ {{1} \over {2}}

\ {{n+1} \over {2n}}\to \ {{1} \over {2}}

, si ottiene:

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+{{m(b-a)^{2}} \over {2}},

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(ba)+{{m(ba)^{2}} \over {2}},

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+{{m(b-a)^{2}} \over {2}},

dalla quale, eseguendo la somma si ricava:

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}

\int _{{a}}^{{b}}mx\,{\mathrm {d}}x=m{{b^{2}-a^{2}} \over {2}}

la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta

\ y=mx

\ y=mx

\ y=mx

sul piano insieme all'asse delle ascisse.

Note

^ W. Rudin , Pag. 68 .
^ Si pone in tale contesto che due funzioni uguali quasi ovunque siano coincidenti.
^ W. Rudin , Pag. 69 .
^ Reed, Simon , Pag. 10 .
^ Reed, Simon , Pag. 11 .
^ W. Rudin , Pag. 8 .
^ ^a ^b W. Rudin , Pag. 15 .
^ W. Rudin , Pag. 19 .
^ W. Rudin , Pag. 34 .
^ LD Kudryavtsev, Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral , su encyclopediaofmath.org , 2012.
^ Eric Weisstein, MathWorld - Line Integral , su mathworld.wolfram.com , 2012.
^ Gianluca Gorni - Il teorema di Vitali-Lebesgue ( PDF ), su sole.dimi.uniud.it . URL consultato il 9 agosto 2014 (archiviato dall' url originale il 10 agosto 2014) .

Bibliografia

Paolo Marcellini e Carlo Sbordone , Analisi matematica Uno , Napoli, Liguori, 1998, ISBN 9788820728199 , OCLC 848639831 . URL consultato il 20 febbraio 2019 .
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone e Nicola Fusco , Analisi matematica Due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , OCLC 848628114 . URL consultato il 20 febbraio 2019 .
Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .
( EN ) Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Voci correlate

Tavole di integrali

Integrali indefiniti

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario « integrale »
Wikiversità contiene risorse sugli integrale
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sugli integrale

Collegamenti esterni

Integrale , su Treccani.it – Enciclopedie on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana .
( EN ) Integrale / Integrale (altra versione) , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
The Integrator - Calcolo formale di primitive ( Wolfram Research )
Interactive Multipurpose Server , su wims.unice.fr .
Marshall Evans Munroe, Misura e integrazione , in Enciclopedia del Novecento , Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1975-2004.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 32858 · LCCN ( EN ) sh85067099 · BNF ( FR ) cb119395946 (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] W. Rudin , Pag. 68 .

[2] Si pone in tale contesto che due funzioni uguali quasi ovunque siano coincidenti.

[3] W. Rudin , Pag. 69 .

[4] Reed, Simon , Pag. 10 .

[5] Reed, Simon , Pag. 11 .

[6] W. Rudin , Pag. 8 .

[def-7] W. Rudin , Pag. 15 .

[int-8] W. Rudin , Pag. 19 .

[9] W. Rudin , Pag. 34 .

[10] LD Kudryavtsev, Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral , su encyclopediaofmath.org , 2012.

[mathworld-11] Eric Weisstein, MathWorld - Line Integral , su mathworld.wolfram.com , 2012.

[12] Gianluca Gorni - Il teorema di Vitali-Lebesgue ( PDF ), su sole.dimi.uniud.it . URL consultato il 9 agosto 2014 (archiviato dall' url originale il 10 agosto 2014) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione ( di funzioni ) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite ( di una funzione · di una successione · Forma indeterminata ) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie ( di funzioni ) · Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy