Tabelul integralelor definite

Această pagină conține un tabel de integrale definite . Pentru alte integrale vezi tabelele integrale .

Există multe funcții integrabile a căror primitivă nu poate fi exprimată în formă închisă , adică cu o expresie construită cu funcții cunoscute. Cu toate acestea, unele integrale definite ale acestor funcții pot fi exprimate în formă închisă. Prima secțiune a acestei pagini prezintă câteva exemple utilizate în mod obișnuit.

Unele integrale definite cu funcții integrand dependente de parametri identifică funcțiile acestor parametri care sunt de mare interes și, prin urmare, ar trebui considerate funcții speciale caracterizate printr-un simbol și un nume: definițiile unora dintre aceste funcții constituie a doua secțiune a acestei pagini .

Cele mai comune integrale generalizate

\int _{0}^{+\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ sqrt {x}} \, e ^ {- x} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {2} } {\ sqrt {\ pi}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ sqrt {x}} \, e ^ {- x} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {2} } {\ sqrt {\ pi}}}

\int _{0}^{+\infty }{e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} x}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \, \ mathrm {d} x} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \, \ mathrm {d} x} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}

( Integral Gauss ) sau

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {2 \ pi }}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {2 \ pi }}}

( Integrala lui Euler )

\int _{0}^{+\infty }{e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {e ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt { \ pi}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {e ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt { \ pi}}}

\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {\ pi ^ { 2}} {6}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {\ pi ^ { 2}} {6}}}

\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\pi ^{4}}{15}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac { \ pi ^ {4}} {15}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac { \ pi ^ {4}} {15}}}

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x = \ pi}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x = \ pi}

\int _{0}^{+\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x=\Gamma (z)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {z-1} \, e ^ {- x} \, \ mathrm {d} x = \ Gamma (z)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {z-1} \, e ^ {- x} \, \ mathrm {d} x = \ Gamma (z)}

(

\Gamma

{\ displaystyle \ Gamma}

\Gamă

denotă funcția Gamma )

\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{3}}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{3}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {3}}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {3 }} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {3}}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {3 }} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}

( integral eliptic ),

\mathrm {B} \left(p,q\right)

{\ displaystyle \ mathrm {B} \ left (p, q \ right)}

\ mathrm {B} \ left (p, q \ right)

denotă funcția Beta

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\cos(x))\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\sin(x))\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}\ln(2)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ cos (x)) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ frac { \ pi} {2}} \ ln (\ sin (x)) \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (2)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (\ cos (x)) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ frac { \ pi} {2}} \ ln (\ sin (x)) \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {\ pi} {2}} \ ln (2)}

Demonstrație

Pentru a calcula valoarea acestei integrale este convenabil să utilizați una dintre proprietățile transformatei Fourier , în funcție de care dacă $S(f)={\mathcal {F}}\{s(t)\}$ ${\ displaystyle S (f) = {\ mathcal {F}} \ {s (t) \}}$ $S (f) = {\ mathcal {F}} \ {s (t) \}$ asa de $S(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle S (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle S (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ mathrm {d} t}$ . Acest lucru rezultă direct din definiție, de fapt, indicând cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ unitatea imaginară , se dovedește

$S(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle S (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) e ^ {- i2 \ pi ft} \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle S (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) e ^ {- i2 \ pi ft} \ mathrm {d} t}$

în consecință

$S(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i2\pi \cdot 0\cdot t}\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle S (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) e ^ {- i2 \ pi \ cdot 0 \ cdot t} \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle S (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) e ^ {- i2 \ pi \ cdot 0 \ cdot t} \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ mathrm {d} t}$

Pentru a rezolva integralul propus, este convenabil să se facă înlocuirea $x=\pi t$ ${\ displaystyle x = \ pi t}$ $x = \ pi t$ , de la care $\mathrm {d} x=\pi \mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ pi \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ pi \ mathrm {d} t}$ iar integralul devine $\pi \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}} \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}} \ mathrm {d} t}$

Ce trebuie să faceți este să calculați transformata Fourier a ${\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}}}$ ${\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}}$ , și pentru a face acest lucru introducem funcția ${\textit {rect}}(t)$ ${\ displaystyle {\ textit {rect}} (t)}$ ${\ textit {rect}} (t)$ , definit după cum urmează ${\textit {rect}}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\textit {se}}\quad |t|<{\frac {1}{2}}\\0&{\textit {altrimenti}}\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle {\ textit {rect}} (t) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 1 & {\ textit {se}} \ quad | t | <{\ frac {1} {2 }} \\ 0 & {\ textit {else}} \ end {array}} \ right.}$ ${\ textit {rect}} (t) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 1 & {\ textit {se}} \ quad | t | <{\ frac {1} {2}} \ \ 0 & {\ textit {else}} \ end {array}} \ right.$

Se calculează transformata Fourier a acelei funcții, se pare

${\mathcal {F}}\{{\textit {rect}}(t)\}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\textit {rect}}(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t=$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {{\ textit {rect}} (t) \} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ textit {rect}} (t) și ^ {- i2 \ pi ft} \ mathrm {d} t =}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {{\ textit {rect}} (t) \} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ textit {rect}} (t) și ^ {- i2 \ pi ft} \ mathrm {d} t =}$ $=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t=[{\frac {e^{-i2\pi ft}}{-i2\pi f}}]_{t=-{\frac {1}{2}}}^{t={\frac {1}{2}}}=$ ${\ displaystyle = \ int _ {- {\ frac {1} {2}}} ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- i2 \ pi ft} \ mathrm {d} t = [{\ frac {e ^ {- i2 \ pi ft}} {- i2 \ pi f}}] _ {t = - {\ frac {1} {2}}} ^ {t = {\ frac {1} {2} }} =}$ ${\ displaystyle = \ int _ {- {\ frac {1} {2}}} ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- i2 \ pi ft} \ mathrm {d} t = [{\ frac {e ^ {- i2 \ pi ft}} {- i2 \ pi f}}] _ {t = - {\ frac {1} {2}}} ^ {t = {\ frac {1} {2} }} =}$ ${\frac {e^{-i\pi f}-e^{i\pi f}}{-i2\pi f}}={\frac {e^{i\pi f}-e^{-i\pi f}}{i2\pi f}}={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- i \ pi f} -e ^ {i \ pi f}} {- i2 \ pi f}} = {\ frac {e ^ {i \ pi f} -e ^ {-i \ pi f}} {i2 \ pi f}} = {\ frac {\ sin (\ pi f)} {\ pi f}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- i \ pi f} -e ^ {i \ pi f}} {- i2 \ pi f}} = {\ frac {e ^ {i \ pi f} -e ^ {-i \ pi f}} {i2 \ pi f}} = {\ frac {\ sin (\ pi f)} {\ pi f}}}$

unde ultima relație a fost dedusă din formula lui Euler , conform căreia $\sin(\theta )={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$ ${\ displaystyle \ sin (\ theta) = {\ frac {e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}} {2i}}}$ ${\ displaystyle \ sin (\ theta) = {\ frac {e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}} {2i}}}$

Prin urmare, s-a arătat că transformata Fourier a ${\textit {rect}}(t)$ ${\ displaystyle {\ textit {rect}} (t)}$ ${\ textit {rect}} (t)$ Și ${\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi f)} {\ pi f}}}$ ${\ frac {\ sin (\ pi f)} {\ pi f}}$ .

Conform proprietății dualității transformatei Fourier, se dovedește că dacă $S(f)={\mathcal {F}}\{s(t)\}$ ${\ displaystyle S (f) = {\ mathcal {F}} \ {s (t) \}}$ $S (f) = {\ mathcal {F}} \ {s (t) \}$ asa de $s(-f)={\mathcal {F}}\{S(t)\}$ ${\ displaystyle s (-f) = {\ mathcal {F}} \ {S (t) \}}$ $s (-f) = {\ mathcal {F}} \ {S (t) \}$ . Prin urmare transformata Fourier a ${\frac {sin(\pi t)}{\pi t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {sin (\ pi t)} {\ pi t}}}$ ${\ frac {sin (\ pi t)} {\ pi t}}$ Și ${\textit {rect}}(-f)$ ${\ displaystyle {\ textit {rect}} (- f)}$ ${\ textit {rect}} (- f)$ dar funcția ${\textit {rect}}$ ${\ displaystyle {\ textit {rect}}}$ ${\ textit {rect}}$ este chiar , în consecință ${\textit {rect}}(f)={\textit {rect}}(-f)$ ${\ displaystyle {\ textit {rect}} (f) = {\ textit {rect}} (- f)}$ ${\ textit {rect}} (f) = {\ textit {rect}} (- f)$ , deci transformata Fourier a lui ${\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}}}$ ${\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}}$ este funcția ${\textit {rect}}(f)$ ${\ displaystyle {\ textit {rect}} (f)}$ ${\ textit {rect}} (f)$ . Amintind proprietatea menționată inițial, se dovedește $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\mathrm {d} x=\pi \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}\mathrm {d} t=\pi \cdot {\textit {rect}}(0)=\pi \cdot 1=\pi$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ mathrm {d} x = \ pi \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} {\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}} \ mathrm {d} t = \ pi \ cdot {\ textit {rect}} (0) = \ pi \ cdot 1 = \ pi}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ mathrm {d} x = \ pi \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} {\ frac {\ sin (\ pi t)} {\ pi t}} \ mathrm {d} t = \ pi \ cdot {\ textit {rect}} (0) = \ pi \ cdot 1 = \ pi}$

\int _{-\infty }^{+\infty }\cos(x^{2})\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{+\infty }\sin(x^{2})\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ sin (x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ sin (x ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}

( Integrale Fresnel )

\int _{0}^{\pi }\ln(1-2\alpha \cos \,x+\alpha ^{2})\,\mathrm {d} x=2\pi \ln |\alpha |

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ ln (1-2 \ alpha \ cos \, x + \ alpha ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = 2 \ pi \ ln | \ alfa |}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ ln (1-2 \ alpha \ cos \, x + \ alpha ^ {2}) \, \ mathrm {d} x = 2 \ pi \ ln | \ alfa |}

\int _{0}^{+\infty }{xe^{-x^{3}}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{3}}\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {xe ^ {- x ^ {3}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {3}} \ Gamma \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {xe ^ {- x ^ {3}} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {1} {3}} \ Gamma \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)}

\int _{0}^{+\infty }x^{z}\,e^{-\beta x^{\alpha }}\,\mathrm {d} x=\left(\alpha \beta ^{\frac {z+1}{\alpha }}\right)^{-1}\Gamma \left({\frac {z+1}{\alpha }}\right)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {z} \, e ^ {- \ beta x ^ {\ alpha}} \, \ mathrm {d} x = \ left (\ alpha \ beta ^ {\ frac {z + 1} {\ alpha}} \ right) ^ {- 1} \ Gamma \ left ({\ frac {z + 1} {\ alpha}} \ right)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {z} \, e ^ {- \ beta x ^ {\ alpha}} \, \ mathrm {d} x = \ left (\ alpha \ beta ^ {\ frac {z + 1} {\ alpha}} \ right) ^ {- 1} \ Gamma \ left ({\ frac {z + 1} {\ alpha}} \ right)}

Funcții speciale din integrale trigonometrice și hiperbolice

Sânul integrant și varianta:

{\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ rm {Si}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ rm {Si}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

{\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t={\rm {Si}}(x)-{\frac {1}{2}}\pi

{\ displaystyle {\ rm {si}} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t = {\ rm {Si}} (x) - {\ frac {1} {2}} \ pi}

{\ displaystyle {\ rm {si}} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t = {\ rm {Si}} (x) - {\ frac {1} {2}} \ pi}

Cosinusul integral și variantele:

{\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ rm {Ci}} (x) = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cos t-1} {t}} \, \ mathrm { d} t}

{\ displaystyle {\ rm {Ci}} (x) = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cos t-1} {t}} \, \ mathrm { d} t}

{\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ rm {Cin}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1- \ cos t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ rm {Cin}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1- \ cos t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

{\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ rm {ci}} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ rm {ci}} (x) = - \ int _ {x} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos t} {t}} \, \ mathrm {d} t}

Sinus hiperbolic integral :

{\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,\mathrm {d} t={\rm {shi}}(x)

{\ displaystyle {\ rm {Shi}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sinh t} {t}} \, \ mathrm {d} t = {\ rm {shi }} (X)}

{\ displaystyle {\ rm {Shi}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sinh t} {t}} \, \ mathrm {d} t = {\ rm {shi }} (X)}

Integrala cosinusului hiperbolic :

{\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,\mathrm {d} t={\rm {chi}}(x)

{\ displaystyle {\ rm {Chi}} (x) = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cosh t-1} {t}} \, \ mathrm { d} t = {\ rm {chi}} (x)}

{\ displaystyle {\ rm {Chi}} (x) = \ gamma + \ ln x + \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ cosh t-1} {t}} \, \ mathrm { d} t = {\ rm {chi}} (x)}

Bibliografie

( DE ) Meier Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln , Berlin, Duncker und Humblot, 1810
( DE ) Ferdinand Minding, Sammlung von Integraltafeln zum Gebrauch für den Unterricht an der Königl , Berlin, Carl Reimarus, 1849
( FR ) David Bierens de Haan, Nouvelles tables d'intégrales définies , Leide , P. Engels, 1867
( FR ) David Bierens de Haan, Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies , Amsterdam, CG Van der Post, 1862
( EN ) Benjamin Osgood Peirce, Un scurt tabel de integrale - ediția a doua , Boston, Ginn & co., 1910
( EN ) HB Dwight, Tables of Integrals and Other Mathematical Data , New York, MacMillan, 1967
G. Fatuzzo, Tabelele de integrale: 4000 de integrale calculate și 2000 raționalizate: pentru utilizarea inginerilor, tehnicienilor și studenților Facultăților de Inginerie și Științe , Torino, Libreria Tecnica editrice dott. V. Giorgio, 1976, ISBN L5000
( EN ) AP Prudnikov, Yu. A. Brychkov, OI Marichev, Integrale și serie , New York, Gordon & Breach, 1986

ISBN 2881240976

( EN ) IS Gradshteyn, IM Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products , Alan Jeffrey și Daniel Zwillinger (eds.), New York, Academic Press, 2007 ISBN 0123736374

Elemente conexe

Constanta lui Euler - Mascheroni ( $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ )
Tabel cu integrale nedeterminate ale funcțiilor trigonometrice

linkuri externe

Calculator de funcții ( WIMS )

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică