Integrala lui Euler

În matematică există două funcții speciale cunoscute sub numele de integrale ale lui Euler : ^[1]

integralul Euler de primul tip : funcția beta Euler
$\mathrm {\beta } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$ ${\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt}$ ${\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt}$ .
integralul Euler de al doilea tip : funcția gamma Euler
$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$ ${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} \, e ^ {- t} \, dt}$ ${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} \, e ^ {- t} \, dt}$ .

Prin teorema lui Fubini se arată o relație importantă care leagă cele două funcții și permite exprimarea funcției beta în raport cu funcția gamma, arătând de asemenea imediat simetria beta:

\beta (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}

{\ displaystyle \ beta (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \ cdot \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}

{\ displaystyle \ beta (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \ cdot \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}

.

Funcția gamma este o extensie a factorialului la numere și complexe reale; din acest motiv cele două funcții își asumă o expresie mai simplă în domeniul numerelor naturale ( $m,n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ ):