Funcția beta Euler

Graficul curbelor de nivel ale funcției beta

Funcția beta a lui Euler , numită și integrala Euler de primul tip, este dată de integralul definit :

\beta (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt,

{\ displaystyle \ beta (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} dt,}

{\ displaystyle \ beta (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} dt,}

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ acea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ au o parte reală pozitivă și nu zero (în caz contrar, integralul ar fi divergent). Această funcție a fost studiată pentru prima dată de Euler și Legendre , dar Jacques Binet a fost cel care a botezat-o cu numele actual.

Caracteristici

Este o funcție simetrică , adică valoarea ei nu se schimbă prin schimb $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ :

\beta \left({x,y}\right)=\beta \left({y,x}\right).

{\ displaystyle \ beta \ left ({x, y} \ right) = \ beta \ left ({y, x} \ right).}

{\ displaystyle \ beta \ left ({x, y} \ right) = \ beta \ left ({y, x} \ right).}

În plus, se aplică și următoarele două identități:

$\beta (1,1)=1;$ ${\ displaystyle \ beta (1,1) = 1;}$ ${\ displaystyle \ beta (1,1) = 1;}$
$\beta \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi .$ ${\ displaystyle \ beta \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right) = \ pi.}$ ${\ displaystyle \ beta \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right) = \ pi.}$

Funcția beta poate fi scrisă în mai multe moduri, dintre care cele mai frecvente sunt următoarele:

\mathrm {\beta } (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}};

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = {\ dfrac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}};}

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = {\ dfrac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}};}

\mathrm {\beta } (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0;

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta \ cos ^ {2y-1} \ theta \ , d \ theta, \ qquad \ Re (x)> 0, \ \ Re (y)> 0;}

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta \ cos ^ {2y-1} \ theta \ , d \ theta, \ qquad \ Re (x)> 0, \ \ Re (y)> 0;}

\mathrm {\beta } (x,y)=\int _{0}^{+\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0;

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {t ^ {x-1}} {(1 + t) ^ {x + y }}} \, dt, \ qquad \ Re (x)> 0, \ \ Re (y)> 0;}

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {t ^ {x-1}} {(1 + t) ^ {x + y }}} \, dt, \ qquad \ Re (x)> 0, \ \ Re (y)> 0;}

\mathrm {\beta } (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\dfrac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}};

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = {\ dfrac {1} {y}} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ dfrac {(y) _ {n + 1}} {n! (x + n)}};}

{\ displaystyle \ mathrm {\ beta} (x, y) = {\ dfrac {1} {y}} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ dfrac {(y) _ {n + 1}} {n! (x + n)}};}

unde este $\Gamma (x)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (x)}$ este funcția Gamma și $(x)_{n}$ ${\ displaystyle (x) _ {n}}$ ${\ displaystyle (x) _ {n}}$ este factorul descendent , adică $x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)$ ${\ displaystyle x (x-1) (x-2) \ ldots (x-n + 1)}$ ${\ displaystyle x (x-1) (x-2) \ ldots (x-n + 1)}$ . În special, combinarea primei și a doua forme arată că $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ ${\ displaystyle \ Gamma (1/2) = {\ sqrt {\ pi}}}$ ${\ displaystyle \ Gamma (1/2) = {\ sqrt {\ pi}}}$ .

La fel cum funcția gamma descrie factorialele întregi, adică dacă argumentul este un număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rezultatul său este factorialul $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ , funcția beta (cu o mică ajustare a indicilor) descrie coeficienții binomiali; mai exact este

{n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.

{\ displaystyle {n \ choose k} = {\ frac {1} {(n + 1) \ mathrm {B} (n-k + 1, k + 1)}}.}

{\ displaystyle {n \ choose k} = {\ frac {1} {(n + 1) \ mathrm {B} (n-k + 1, k + 1)}}.}

Funcția beta a fost primul model de matrice S în teoria corzilor , pentru prima dată conjecturat de Gabriele Veneziano .

Relațiile dintre funcția gamma și funcția beta

Pentru a obține forma integrală a funcției beta, putem scrie produsul a două factori ca:

\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{+\infty }e^{-u}u^{x-1}\mathrm {d} u\int _{0}^{+\infty }e^{-v}v^{y-1}\mathrm {d} v.

{\ displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- u} u ^ {x-1} \ mathrm {d} u \ int _ {0 } ^ {+ \ infty} e ^ {- v} v ^ {y-1} \ mathrm {d} v.}

{\ displaystyle \ Gamma (x) \ Gamma (y) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- u} u ^ {x-1} \ mathrm {d} u \ int _ {0 } ^ {+ \ infty} e ^ {- v} v ^ {y-1} \ mathrm {d} v.}

Acum să spunem $u\equiv a^{2}$ ${\ displaystyle u \ equals ^ {2}}$ ${\ displaystyle u \ equals ^ {2}}$ , $v\equiv b^{2}$ ${\ displaystyle v \ equiv b ^ {2}}$ ${\ displaystyle v \ equiv b ^ {2}}$ astfel încât:

{\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=4\int _{0}^{+\infty }e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{+\infty }e^{-b^{2}}b^{2y-1}\mathrm {d} b\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = 4 \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- a ^ {2}} a ^ {2x-1 } \ mathrm {d} a \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- b ^ {2}} b ^ {2y-1} \ mathrm {d} b \\ & = \ int _ { - \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- (a ^ {2} + b ^ {2})} | a | ^ {2x-1 } | b | ^ {2y-1} \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = 4 \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- a ^ {2}} a ^ {2x-1 } \ mathrm {d} a \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- b ^ {2}} b ^ {2y-1} \ mathrm {d} b \\ & = \ int _ { - \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- (a ^ {2} + b ^ {2})} | a | ^ {2x-1 } | b | ^ {2y-1} \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b. \ end {align}}}

Ne transformăm în coordonate polare cu $a=r\cos \theta$ ${\ displaystyle a = r \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle a = r \ cos \ theta}$ , $b=r\sin \theta$ ${\ displaystyle b = r \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle b = r \ sin \ theta}$ :

{\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\\&=\int _{0}^{+\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }|\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta |\,\mathrm {d} \theta =\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})\,\cdot 4\int _{0}^{\pi /2}\ \cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=2\Gamma (x+y)\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=\Gamma (x+y)\beta (x,y).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} | r \ cos \ theta | ^ {2x-1} | r \ sin \ theta | ^ {2y-1} r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- r ^ {2}} r ^ {2x + 2y-2} r \, \ mathrm {d} r \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} | \ cos ^ {2x-1} \ theta \ sin ^ {2y-1} \ theta | \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} r ^ {2 (x + y-1)} \, \ mathrm {d} (r ^ {2 }) \, \ cdot 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ \ cos ^ {2x-1} \ theta \ sin ^ {2y-1} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = 2 \ Gamma (x + y) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {2x-1} \ theta \ sin ^ {2y-1} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = \ Gamma (x + y) \ beta (x, y). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (x) \ Gamma (y) & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} | r \ cos \ theta | ^ {2x-1} | r \ sin \ theta | ^ {2y-1} r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- r ^ {2}} r ^ {2x + 2y-2} r \, \ mathrm {d} r \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} | \ cos ^ {2x-1} \ theta \ sin ^ {2y-1} \ theta | \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} r ^ {2 (x + y-1)} \, \ mathrm {d} (r ^ {2 }) \, \ cdot 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ \ cos ^ {2x-1} \ theta \ sin ^ {2y-1} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = 2 \ Gamma (x + y) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {2x-1} \ theta \ sin ^ {2y-1} \ theta \, \ mathrm {d} \ theta = \\ & = \ Gamma (x + y) \ beta (x, y). \ end {align}}}

și apoi rescriem argumentele în forma obișnuită a funcției beta:

\beta (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.

{\ displaystyle \ beta (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}

{\ displaystyle \ beta (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}

Derivat

Derivatul funcției beta poate fi scris folosind, din nou, funcția gamma:

{\partial  \over \partial x}\mathrm {\beta } (x,y)=\mathrm {\beta } (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {\beta } (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))

{\ displaystyle {\ partial \ over \ partial x} \ mathrm {\ beta} (x, y) = \ mathrm {\ beta} (x, y) \ left ({\ Gamma '(x) \ over \ Gamma ( x)} - {\ Gamma '(x + y) \ over \ Gamma (x + y)} \ right) = \ mathrm {\ beta} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y))}

{\ displaystyle {\ partial \ over \ partial x} \ mathrm {\ beta} (x, y) = \ mathrm {\ beta} (x, y) \ left ({\ Gamma '(x) \ over \ Gamma ( x)} - {\ Gamma '(x + y) \ over \ Gamma (x + y)} \ right) = \ mathrm {\ beta} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y))}

unde este $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ este funcția digamă .

Integrale

Integrala Nörlund-Rice este o integrală de circuit care implică funcția beta.

Funcția beta incompletă

Funcția beta incompletă este o generalizare a funcției beta care înlocuiește integrala definită a funcției beta cu o integrală nedeterminată . Este o generalizare destul de analogă cu cea a funcției gamma ( funcția gamma incompletă ).

Funcția beta incompletă este definită ca:

\beta (x;a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm {d} t.

{\ displaystyle \ beta (x; a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} (1-t) ^ {b-1} \, \ mathrm {d} t. }

{\ displaystyle \ beta (x; a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} (1-t) ^ {b-1} \, \ mathrm {d} t. }

Pentru $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ , funcția beta incompletă devine din nou funcția beta normală.

Funcția beta regularizată incompletă (sau funcția beta mai regularizată pe scurt) este definită în termenii ambelor:

I_{x}(a,b)={\dfrac {\beta (x;a,b)}{\beta (a,b)}}.

{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ beta (x; a, b)} {\ beta (a, b)}}.}

{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ beta (x; a, b)} {\ beta (a, b)}}.}

Calcularea integralei pentru valorile întregi ale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , noi obținem:

I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.

{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = \ sum _ {j = a} ^ {a + b-1} {(a + b-1)! \ over j! (a + b-1-j)!} x ^ {j} (1-x) ^ {a + b-1-j}.}

{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = \ sum _ {j = a} ^ {a + b-1} {(a + b-1)! \ over j! (a + b-1-j)!} x ^ {j} (1-x) ^ {a + b-1-j}.}

Proprietate

I_{0}(a,b)=0;

{\ displaystyle I_ {0} (a, b) = 0;}

{\ displaystyle I_ {0} (a, b) = 0;}

I_{1}(a,b)=1;

{\ displaystyle I_ {1} (a, b) = 1;}

{\ displaystyle I_ {1} (a, b) = 1;}

I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a).

{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = 1-I_ {1-x} (b, a).}

{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = 1-I_ {1-x} (b, a).}

Bibliografie

ET Whittaker și GN Watson Un curs de analiză modernă p. 247 (Cambridge University Press, 1915)
TM MacRobert Funcțiile unei variabile complexe p. 144 (Londra: MacMillan, 1917)
M. Abramowitz și I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Washington: Government Government Office, 1964)[1] (funcție beta) p. 263 (funcție beta incompletă)

Elemente conexe

Funcția gamma
Funcție (matematică)
Grâu integral
Integrala definita
Tabelul integralelor definite
Leonhard Euler (Euler) a studiat funcțiile beta și gamma
Teoria corzilor
Variabilă aleatorie beta
Variabilă aleatoare binomială
Distribuție uniformă continuă

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția beta a lui Euler

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00560632

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică