Matrix S.

În mecanica cuantică și în teoriile de câmp, matricea S este ansamblul tuturor amplitudinilor tranzițiilor posibile între stările inițiale și finale ale proceselor de împrăștiere . Conform definiției, dată o stare inițială reprezentată de vector $|a\rangle$ ${\ displaystyle | a \ rangle}$ $| a \ rangle$ și unul final reprezentat de $|b\rangle$ ${\ displaystyle | b \ rangle}$ $| b \ rangle$ elementul matricial S, notat cu $M_{ab}$ ${\ displaystyle M_ {ab}}$ ${\ displaystyle M_ {ab}}$ Sara:

M_{ab}=\langle a|S|b\rangle

{\ displaystyle M_ {ab} = \ langle a | S | b \ rangle}

{\ displaystyle M_ {ab} = \ langle a | S | b \ rangle}

Pornind de la matricea S este posibil să se calculeze secțiunile transversale și, prin urmare, să se furnizeze previziuni care pot fi verificate direct cu măsurători experimentale, deoarece secțiunea transversală este o cantitate importantă direct măsurabilă.

Calculul matricei S.

În cadrul teoriei câmpului cuantic , problemele de împrăștiere (adică coliziunile dintre particule) nu pot fi tratate exact decât în câteva cazuri simple. Una dintre metodele cele mai utilizate este să presupunem că stările inițiale și finale , în care fizic sistemul este găsit în cauză sunt eigenstates de liber hamiltonianul (adică departe de orice potențial). Starea inițială este asumată pentru perioade mult mai timpurii decât evenimentul de împrăștiere, în timp ce starea finală este presupusă a fi mult mai târzie (un eveniment de împrăștiere are o durată medie de $10^{-10}{\text{ s}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 10} {\ text {s}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 10} {\ text {s}}}$ , prin urmare, va fi suficient să vorbim despre zecimi de secundă înainte și după eveniment). În aceste condiții, se presupune că particulele sunt suficient de îndepărtate pentru a fi considerate neinteracționale ( aproximare adiabatică ). Prin urmare, definim două baze ale stărilor asimptotice care descriu particulele observate experimental ca stări inițiale (stări "în") și ca stări finale (stări "în afara"): matricea unitară care realizează tranziția de la o bază la alta este, pentru definire , matricea S în sine:

|\psi \rangle _{in}\equiv S|\psi \rangle _{out}\;;\quad |\psi \rangle _{out}\equiv S^{\dagger }|\psi \rangle _{in}

{\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {in} \ equiv S | \ psi \ rangle _ {out} \ ;; \ quad | \ psi \ rangle _ {out} \ equiv S ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle _ {in}}

{\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {in} \ equiv S | \ psi \ rangle _ {out} \ ;; \ quad | \ psi \ rangle _ {out} \ equiv S ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle _ {in}}

unde indicele „in” și „out” identifică baza e $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ este orice vector de bază al stărilor asimptotice. Amplitudinea probabilității de a observa un proces de împrăștiere cu o stare inițială $|a\rangle$ ${\ displaystyle | a \ rangle}$ ${\ displaystyle | a \ rangle}$ și ca stare finală $|b\rangle$ ${\ displaystyle | b \ rangle}$ ${\ displaystyle | b \ rangle}$ este dat, prin definiție, de:

prob.(a\to b)\equiv \,_{out}\langle b|a\rangle _{in}=\,_{out}\langle b|S|a\rangle _{out}=\,_{in}\langle b|S|a\rangle _{in}\equiv S_{ba}

{\ displaystyle prob. (a \ to b) \ equiv \, _ {out} \ langle b | a \ rangle _ {in} = \, _ {out} \ langle b | S | a \ rangle _ {out} = \, _ {in} \ langle b | S | a \ rangle _ {in} \ equiv S_ {ba}}

{\ displaystyle prob. (a \ to b) \ equiv \, _ {out} \ langle b | a \ rangle _ {in} = \, _ {out} \ langle b | S | a \ rangle _ {out} = \, _ {in} \ langle b | S | a \ rangle _ {in} \ equiv S_ {ba}}

Fiecare element al matricei S, atât în baza „in”, cât și în baza „out”, reprezintă, prin urmare, amplitudinea probabilității unui proces fizic. Rețineți că statele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt stările ideale definite în absența interacțiunii, adică stările asimptotice.

Observăm că vectorii care identifică starea de vid și starea unei particule sunt aceiași în ambele baze, adică elementele matricei S sunt, cel mult, faze care pot fi setate egale cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ cu o alegere adecvată a fazei vectorilor de bază.

Calculul matricei S: seria Dyson

Hamiltonianul care descrie un sistem poate fi împărțit într-o parte care nu interacționează ${\hat {H}}^{0}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {0}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {0}}$ , care nu conține termenii de interacțiune dintre particule, ci descrie doar mișcarea liberă a acestora și un hamiltonian de interacțiune ${\hat {H}}^{I}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {I}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {I}}$ .

În reprezentarea ecuației Schrödinger se aplică ecuația Schrödinger

i\hbar {\frac {\partial \left|\psi _{S}(t)\right\rangle }{\partial t}}=H_{S}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle} {\ partial t}} = H_ {S} \ left | \ psi _ {S} ( t) \ right \ rangle}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle} {\ partial t}} = H_ {S} \ left | \ psi _ {S} ( t) \ right \ rangle}

.

Definiți reprezentarea interacțiunii ca:

\left|\psi _{I}(t)\right\rangle =e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{S}^{0}t}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle}

și, prin urmare, putem scrie:

{\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{I}(t)\right\rangle &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{S}^{0}t}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle \right)\\&=-H_{S}^{0}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{S}^{0}t}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle +e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{S}^{0}t}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle \\&=-H_{S}^{0}\left|\psi _{I}(t)\right\rangle +e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{S}^{0}t}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle \\&=-H_{S}^{0}\left|\psi _{I}(t)\right\rangle +H_{S}\left|\psi _{I}(t)\right\rangle =H_{S}^{I}\left|\psi _{I}(t)\right\rangle \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle & = i \ hbar {\ frac { \ partial} {\ partial t}} \ left (e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle \ right) \\ & = - H_ {S} ^ {0} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S } (t) \ right \ rangle + e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle \\ & = - H_ {S} ^ {0} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle + e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle \\ & = - H_ {S} ^ {0} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle + H_ {S} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = H_ {S} ^ {I} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle & = i \ hbar {\ frac { \ partial} {\ partial t}} \ left (e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle \ right) \\ & = - H_ {S} ^ {0} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S } (t) \ right \ rangle + e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle \\ & = - H_ {S} ^ {0} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle + e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {S} ^ {0} t} \ left | \ psi _ {S} (t) \ right \ rangle \\ & = - H_ {S} ^ {0} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle + H_ {S} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = H_ {S} ^ {I} \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle \ end {align}}}

sau în reprezentarea interacțiunii stările evoluează în urma interacțiunii hamiltoniene.

Pentru a obține matricea S, îi definim elementele:

S_{f,i}=\left\langle \psi _{f}|\psi (t=+\infty )\right\rangle =\left\langle \psi _{f}|S|\psi _{i}\right\rangle

{\ displaystyle S_ {f, i} = \ left \ langle \ psi _ {f} | \ psi (t = + \ infty) \ right \ rangle = \ left \ langle \ psi _ {f} | S | \ psi _ {i} \ right \ rangle}

{\ displaystyle S_ {f, i} = \ left \ langle \ psi _ {f} | \ psi (t = + \ infty) \ right \ rangle = \ left \ langle \ psi _ {f} | S | \ psi _ {i} \ right \ rangle}

.

A calcula $S_{f,i}$ ${\ displaystyle S_ {f, i}}$ ${\ displaystyle S_ {f, i}}$ rescriem în formă integrală ecuația Schrödinger pentru funcțiile de undă în reprezentarea interacțiunii:

\left|\psi _{I}(t)\right\rangle =\left|\psi _{I}(t=-\infty )\right\rangle -{\frac {i}{\hbar }}\int _{-\infty }^{t}d\tau H_{S}^{I}\left(\tau \right)\left|\psi _{I}(\tau )\right\rangle

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = \ left | \ psi _ {I} (t = - \ infty) \ right \ rangle - {\ frac {i} {\ hbar }} \ int _ {- \ infty} ^ {t} d \ tau H_ {S} ^ {I} \ left (\ tau \ right) \ left | \ psi _ {I} (\ tau) \ right \ rangle }

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = \ left | \ psi _ {I} (t = - \ infty) \ right \ rangle - {\ frac {i} {\ hbar }} \ int _ {- \ infty} ^ {t} d \ tau H_ {S} ^ {I} \ left (\ tau \ right) \ left | \ psi _ {I} (\ tau) \ right \ rangle }

.

De cand $\left|\psi _{I}(\tau )\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (\ tau) \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (\ tau) \ right \ rangle}$ satisface o ecuație analogă, este posibil să iterați la nesfârșit această ecuație până la obținerea ( abordare perturbativă ):

\left|\psi _{I}(t)\right\rangle =\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\int _{-\infty }^{t_{1}}dt_{2}\int _{-\infty }^{t_{2}}dt_{3}\ldots \int _{-\infty }^{t_{n-1}}dt_{n}\left(H_{S}^{I}(t_{1})\cdot H_{S}^{I}(t_{2})\cdot H_{S}^{I}(t_{3})\cdot \ldots \right.\right.

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = \ left [1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } dt_ {1} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \ ldots \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} \ left (H_ {S} ^ {I} (t_ {1}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {2}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {3}) \ cdot \ ldots \ right. \ right.}

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {I} (t) \ right \ rangle = \ left [1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } dt_ {1} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \ ldots \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} \ left (H_ {S} ^ {I} (t_ {1}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {2}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {3}) \ cdot \ ldots \ right. \ right.}

\ldots \left.\left.\cdot H_{S}^{I}(t_{n})\right)\right]\left|\psi _{I}(t=-\infty )\right\rangle

{\ displaystyle \ ldots \ left. \ left. \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {n}) \ right) \ right] \ left | \ psi _ {I} (t = - \ infty) \ dreapta \ rangle}

{\ displaystyle \ ldots \ left. \ left. \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {n}) \ right) \ right] \ left | \ psi _ {I} (t = - \ infty) \ dreapta \ rangle}

și, prin urmare, avem:

{\begin{aligned}S&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\int _{-\infty }^{t_{1}}dt_{2}\int _{-\infty }^{t_{2}}dt_{3}\cdots \int _{-\infty }^{t_{n-1}}dt_{n}\left(H_{S}^{I}(t_{1})\cdot H_{S}^{I}(t_{2})\cdot H_{S}^{I}(t_{3})\cdots H_{S}^{I}(t_{n})\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dt_{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dt_{3}\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }dt_{n}T\left(H_{S}^{I}(t_{1})\cdot H_{S}^{I}(t_{2})\cdot H_{S}^{I}(t_{3})\cdots H_{S}^{I}(t_{n})\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} S & = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {1} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {n-1} } dt_ {n} \ left (H_ {S} ^ {I} (t_ {1}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {2}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {3}) \ cdots H_ {S} ^ {I} (t_ {n}) \ right) \\ & = 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n !}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {1} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dt_ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dt_ {3} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dt_ {n} T \ left (H_ {S} ^ {I} (t_ {1}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {2}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {3}) \ cdots H_ {S} ^ {I} (t_ {n}) \ right) \ end {align} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} S & = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {1} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {t_ {n-1} } dt_ {n} \ left (H_ {S} ^ {I} (t_ {1}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {2}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {3}) \ cdots H_ {S} ^ {I} (t_ {n}) \ right) \\ & = 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n !}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {1} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dt_ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dt_ {3} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dt_ {n} T \ left (H_ {S} ^ {I} (t_ {1}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {2}) \ cdot H_ {S} ^ {I} (t_ {3}) \ cdots H_ {S} ^ {I} (t_ {n}) \ right) \ end {align} }}

.

unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ indică produsul cronologic al operatorilor între paranteze:

T\phi (x)\psi (y)=\theta (x^{0}-y^{0})\left(\phi (x)\psi (y)\right)+\theta (y^{0}-x^{0})\left(\psi (y)\phi (x)\right)

{\ displaystyle T \ phi (x) \ psi (y) = \ theta (x ^ {0} -y ^ {0}) \ left (\ phi (x) \ psi (y) \ right) + \ theta ( y ^ {0} -x ^ {0}) \ left (\ psi (y) \ phi (x) \ right)}

{\ displaystyle T \ phi (x) \ psi (y) = \ theta (x ^ {0} -y ^ {0}) \ left (\ phi (x) \ psi (y) \ right) + \ theta ( y ^ {0} -x ^ {0}) \ left (\ psi (y) \ phi (x) \ right)}

,

Și $\theta (x^{0}-y^{0})$ ${\ displaystyle \ theta (x ^ {0} -y ^ {0})}$ ${\ displaystyle \ theta (x ^ {0} -y ^ {0})}$ este funcția pas a Heaviside .

Aceasta nu este altceva decât o dezvoltare Dyson a matricei S. Matricea de împrăștiere este calculată la diferite ordine (adică continuarea însumării până la un ordin dat) folosind teorema lui Wick .

Calculul matricei S: formule LSZ

Același subiect în detaliu: formule de reducere LSZ .

O modalitate alternativă de extragere a elementelor matricei S din teorie, mai sofisticată și utilizată în special în mecanica cuantică relativistă , nu folosește seria Dyson, ci exploatează funcțiile verzi furnizate de formulare cu integrale funcționale ale teoriei. De exemplu, luați în considerare o teorie a particulelor scalare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ masa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , cu o acțiune:

{\mathcal {S}}[\phi ]=\int {\text{d}}^{4}x{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}\right)-V(\phi )

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ phi] = \ int {\ text {d}} ^ {4} x {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {\ mu} \ phi \ partial ^ {\ mu} \ phi -m ^ {2} \ phi ^ {2} \ right) -V (\ phi)}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ phi] = \ int {\ text {d}} ^ {4} x {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {\ mu} \ phi \ partial ^ {\ mu} \ phi -m ^ {2} \ phi ^ {2} \ right) -V (\ phi)}

unde este $V(\phi )$ ${\ displaystyle V (\ phi)}$ ${\ displaystyle V (\ phi)}$ poate fi, de exemplu, un termen de interacțiune $\lambda \phi ^{4}$ ${\ displaystyle \ lambda \ phi ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ phi ^ {4}}$ , pe care în acest moment nu este necesar să îl precizăm. Funcțiile lui Green a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ punctele sunt definite ca valorile de așteptare de vid ale produsului comandat în timp de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ câmpuri:

G^{(n)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\equiv \langle 0|T\left(\phi (x_{1})\phi (x_{2})\dots \phi (x_{n})\right)|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x_{1})\phi (x_{2})\dots \phi (x_{n})\,e^{i{\mathcal {S}}}}{\int {\mathcal {D}}\phi \,e^{i{\mathcal {S}}}}}\,.

{\ displaystyle G ^ {(n)} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ equiv \ langle 0 | T \ left (\ phi (x_ {1}) \ phi ( x_ {2}) \ dots \ phi (x_ {n}) \ right) | 0 \ rangle = {\ frac {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ dots \ phi (x_ {n}) \, e ^ {i {\ mathcal {S}}}} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, e ^ {i { \ mathcal {S}}}}} \,.}

{\ displaystyle G ^ {(n)} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ equiv \ langle 0 | T \ left (\ phi (x_ {1}) \ phi ( x_ {2}) \ dots \ phi (x_ {n}) \ right) | 0 \ rangle = {\ frac {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ dots \ phi (x_ {n}) \, e ^ {i {\ mathcal {S}}}} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, e ^ {i { \ mathcal {S}}}}} \,.}

Ele pot fi calculate perturbativ prin teorema Wick menționată mai sus. Se arată că transformatele Fourier ale funcțiilor lui Green au poli care corespund maselor fizice ale particulelor, adică atunci când $p_{i}^{2}=m^{2}$ ${\ displaystyle p_ {i} ^ {2} = m ^ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {i} ^ {2} = m ^ {2}}$ . Stările asimptotice ale teoriei corespund acestor poli: de fapt aceste stări sunt create și distruse de câmpurile „in” și „out”, care satisfac ecuația Klein-Gordon :

(\Box _{x}+m^{2})\phi _{in}(x)=(\Box _{x}+m^{2})\phi _{out}(x)=0\,,

{\ displaystyle (\ Box _ {x} + m ^ {2}) \ phi _ {in} (x) = (\ Box _ {x} + m ^ {2}) \ phi _ {out} (x) = 0 \ ,,}

{\ displaystyle (\ Box _ {x} + m ^ {2}) \ phi _ {in} (x) = (\ Box _ {x} + m ^ {2}) \ phi _ {out} (x) = 0 \ ,,}

care diferă de ecuațiile corecte ale mișcării datorită absenței potențialului de interacțiune. În consecință, într-un mod intuitiv, este necesar să se extragă contribuția polară a funcțiilor lui Green pentru a obține funcțiile lui Green construite cu câmpuri asimptotice, care generează exact elementele dorite ale matricei S. Dacă în starea inițială există m particule de impuls $q_{1},\;q_{2},\ldots ,q_{m}$ ${\ displaystyle q_ {1}, \; q_ {2}, \ ldots, q_ {m}}$ ${\ displaystyle q_ {1}, \; q_ {2}, \ ldots, q_ {m}}$ iar în starea finală sunt prezenți $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule de puls $p_{1},\;p_{2},\ldots ,p_{n}$ ${\ displaystyle p_ {1}, \; p_ {2}, \ ldots, p_ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {1}, \; p_ {2}, \ ldots, p_ {n}}$ , formula care descrie procedura este dată de:

\langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}\ i{\frac {e^{-iq_{i}\cdot x_{i}}}{(2\pi )^{3/2}Z^{1/2}}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)\right\}\times

{\ displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle = \ int \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} x_ {i} \ i {\ frac {e ^ {- iq_ {i} \ cdot x_ {i}}} {( 2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (\ Box _ {x_ {i}} + m ^ {2} \ right) \ right \} \ times}

{\ displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle = \ int \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} x_ {i} \ i {\ frac {e ^ {- iq_ {i} \ cdot x_ {i}}} {( 2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (\ Box _ {x_ {i}} + m ^ {2} \ right) \ right \} \ times}

\times \prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}\ i{\frac {e^{+ip_{j}\cdot y_{j}}}{(2\pi )^{3/2}Z^{1/2}}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)\right\}G^{(n+m)}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})

{\ displaystyle \ times \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} y_ {j} \ i {\ frac {e ^ {+ ip_ {j} \ cdot y_ {j}}} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (\ Box _ {y_ {j}} + m ^ {2} \ right) \ right \} G ^ {(n + m)} (x_ {1}, \ dots, x_ {m}, y_ {1}, \ dots, y_ {n})}

{\ displaystyle \ times \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} y_ {j} \ i {\ frac {e ^ {+ ip_ {j} \ cdot y_ {j}}} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (\ Box _ {y_ {j}} + m ^ {2} \ right) \ right \} G ^ {(n + m)} (x_ {1}, \ dots, x_ {m}, y_ {1}, \ dots, y_ {n})}

Procesul de extracție al polului este mai evident dacă formula este scrisă în termenii transformatei Fourier a funcției Green. În afară de multiplicarea cu unele constante (inclusiv constantele de renormalizare ale câmpurilor $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ) formula arată că este suficient să multiplicați funcția lui Green cu factori $p^{2}-m^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2} -m ^ {2}}$ ${\ displaystyle p ^ {2} -m ^ {2}}$ , care elimină polii și apoi trimit impulsurile pe shell , adică execută limita $p^{2}\to m^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2} \ to m ^ {2}}$ ${\ displaystyle p ^ {2} \ to m ^ {2}}$ corespunzător particulelor fizice:

\langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{{\frac {-i}{(2\pi )^{3/2}Z^{1/2}}}\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)\right\}\times

{\ displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle = \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {{\ frac {-i} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (p_ {i} ^ {2} -m ^ {2} \ right) \ right \} \ times}

{\ displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle = \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {{\ frac {-i} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (p_ {i} ^ {2} -m ^ {2} \ right) \ right \} \ times}

\times \prod _{j=1}^{n}\left\{{\frac {-i}{(2\pi )^{3/2}Z^{1/2}}}\left(q_{i}^{2}-m^{2}\right)\right\}{\tilde {G}}^{(n+m)}(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m})

{\ displaystyle \ times \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {{\ frac {-i} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (q_ {i} ^ {2} -m ^ {2} \ right) \ right \} {\ tilde {G}} ^ {(n + m)} (p_ {1}, \ ldots, p_ {n }; - q_ {1}, \ ldots, -q_ {m})}

{\ displaystyle \ times \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {{\ frac {-i} {(2 \ pi) ^ {3/2} Z ^ {1/2}}} \ left (q_ {i} ^ {2} -m ^ {2} \ right) \ right \} {\ tilde {G}} ^ {(n + m)} (p_ {1}, \ ldots, p_ {n }; - q_ {1}, \ ldots, -q_ {m})}

Secțiunea transversală

Scopul final al calculului matricei de împrăștiere este de a obține secțiunea transversală (care este parametrul care poate fi verificat experimental). Relația dintre secțiunea transversală și matricea S este dată de:

\operatorname {d} \!\sigma ={\frac {\left|S_{fi}\right|^{2}}{T\left\|{\vec {J}}_{inc}\right\|}}\operatorname {d} \!n_{f}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ sigma = {\ frac {\ left | S_ {fi} \ right | ^ {2}} {T \ left \ | {\ vec {J}} _ {inc} \ dreapta \ |}} \ operatorname {d} \! n_ {f}}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ sigma = {\ frac {\ left | S_ {fi} \ right | ^ {2}} {T \ left \ | {\ vec {J}} _ {inc} \ dreapta \ |}} \ operatorname {d} \! n_ {f}}

unde este $J_{inc}$ ${\ displaystyle J_ {inc}}$ ${\ displaystyle J_ {inc}}$ este fluxul incident e $\mathbf {d} n_{f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} n_ {f}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} n_ {f}}$ numărul stărilor finale din con $\mathbf {d} \Omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} \ Omega}$ .

Bibliografie

Matricea S în mecanica cuantică
- ML Goldberger și KM Watson Collision Theory (John Wiley & Sons, NY, 1964)
- LD Landau și EM Lifshitz Mecanica cuantică (Riuniti, Roma, 1980)
- RG Newton Teoria împrăștierii undelor și particulelor (Springer, Heidelberg, 1982)
Matricea S în teoria câmpului cuantic
- Teoria matricei GF Chew S a interacțiunilor puternice: o notă de curs și un volum de reeditare (Benjamin, Reading, MA, 1961)
- Steven C. Frautschi Regge poli și teoria matricei S (Benjamin, Reading, MA, 1963)
- G. Barton Introducere în tehnicile de dispersie în teoria câmpului (Benjamin, Reading, MA, 1965)
- GF Chew Matricea Analitic S: o bază pentru democrația nucleară (Benjamin, Reading, MA, 1966)
- Richard J. Eden, PV Landshoff, DI Olive și JC Polkinghorne The Analytic S Matrix (Cambridge University Press, 1966)
- D. Iagolnitzer The S Matrix (Olanda de Nord, Amsterdam, 1978)

Elemente conexe

Teoria matricei S.

linkuri externe

F. Scarpa Istoria programelor Matrix S (noiembrie 2004)

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00562048

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica