Teorema lui Wick

Teorema lui Wick este o metodă de reducere a dezvoltării derivatelor de ordin superior la o problemă combinatorie . ^[1] Acesta poartă numele fizicianului italian Gian Carlo Wick . ^[2]

Este utilizat pe scară largă în teoria cuantică a câmpului pentru a reduce produsele arbitrare ale operatorilor de creație și distrugere la adăugiri de produse de perechi ale acestor operatori. Acest lucru permite utilizarea metodei funcției Green și, în consecință, utilizarea diagramelor Feynman . O idee mai generală în teoria probabilității este teorema lui Isserlis .

Definiția contraction

Având în vedere doi operatori ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ Și ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat {B}}$ , contracția lor este definită după cum urmează:

{\hat {A}}^{\bullet }\,{\hat {B}}^{\bullet }\equiv {\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}}

{\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ bullet} \, {\ hat {B}} ^ {\ bullet} \ equiv {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} \, - {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} {\ mathclose {:}}}

{\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ bullet} \, {\ hat {B}} ^ {\ bullet} \ equiv {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} \, - {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} {\ mathclose {:}}}

unde este ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ ${\ displaystyle {\ mathopen {:}} {\ hat {O}} {\ mathclose {:}}}$ ${\ displaystyle {\ mathopen {:}} {\ hat {O}} {\ mathclose {:}}}$ indică ordinea normală a operatorului ${\hat {O}}$ ${\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {O}}}$ . Un simbol alternativ pentru contracții este o linie de legătură ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ Și ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat {B}}$ .

În cazul în care ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ Și ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat {B}}$ sunt operatori de creație și distrugere, există patru cazuri speciale. Pentru $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particulele sunt notate de operatorii de creație ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$ și operatorii de distrugere cu ${\hat {a}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i}}$ $(i=1,2,3\ldots ,N)$ ${\ displaystyle (i = 1,2,3 \ ldots, N)}$ ${\ displaystyle (i = 1,2,3 \ ldots, N)}$ . Acestea satisfac relațiile obișnuite de comutare $[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}$ ${\ displaystyle [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger}] = \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger}] = \ delta _ {ij}}$ , unde este $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ este delta Kronecker .

Deci avem

{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} \ , {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} \ , {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=0

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, { \ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, { \ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=\delta _{ij}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a} } _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a} } _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = \ delta _ {ij}}

unde este $i,j=1,\ldots ,N$ ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$ ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$ .

Aceste relații sunt valabile atât pentru operatorii bosonici, cât și pentru cei fermionici datorită modului în care este definită ordonarea normală.

Teză

Afirmația teoremei lui Wick afirmă că produsul comandat în T al N operatorilor este egal cu produsul normal al N operatorilor plus produsul normal al sumei tuturor modalităților posibile de a contracta operatorii între ei.

Aplicarea imediată a teoremei lui Wick se bazează pe evaluarea perturbativă a funcțiilor lui Green ale teoriei considerate. De fapt, valoarea de așteptare a golului produsului normal al N operatorilor este, prin definiție, nulă (produsul normal „aranjează” operatorii de distrugere din dreapta) și, în consecință, valoarea de așteptare a golului produsului T este redusă la suma tuturor contracțiilor complete posibile ale N operatorilor.

Teorema aplicată câmpurilor

Funcția de corelație care apare în teoria cuantică a câmpului poate fi exprimată printr-o contracție asupra operatorilor de câmp:

{\mathcal {C}}(x_{1},x_{2})=\left\langle 0|{\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})|0\right\rangle =\langle 0|{\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}|0\rangle =i\Delta _{F}(x_{1}-x_{2})=i\int {{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik(x_{1}-x_{2})}}{(k^{2}-m^{2})+i\epsilon }}},

{\ displaystyle {\ mathcal {C}} (x_ {1}, x_ {2}) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2}) | 0 \ right \ rangle = \ langle 0 | {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}} | 0 \ rangle = i \ Delta _ {F} (x_ {1} -x_ {2}) = i \ int {{\ frac {d ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}} } {\ frac {e ^ {- ik (x_ {1} -x_ {2})}} {(k ^ {2} -m ^ {2}) + i \ epsilon}}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {C}} (x_ {1}, x_ {2}) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2}) | 0 \ right \ rangle = \ langle 0 | {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}} | 0 \ rangle = i \ Delta _ {F} (x_ {1} -x_ {2}) = i \ int {{\ frac {d ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}} } {\ frac {e ^ {- ik (x_ {1} -x_ {2})}} {(k ^ {2} -m ^ {2}) + i \ epsilon}}},}

unde operatorul ${\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}}}$ este cantitatea care nu distruge starea de gol $|0\rangle$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ . Aceasta înseamnă că ${\overline {AB}}={\mathcal {T}}AB-{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}AB{\mathclose {:}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}} = {\ mathcal {T}} AB - {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} AB {\ mathclose {:}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}} = {\ mathcal {T}} AB - {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} AB {\ mathclose {:}}}$ . Aceasta înseamnă că ${\overline {AB}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ $\ overline {AB}$ este o contracție pe ${\mathcal {T}}AB$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} AB}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} AB}$ . Rețineți că contracția unui produs comandat T de doi operatori de teren este un număr c.

În cele din urmă, ajungem la teorema lui Wick

Produsul comandat temporal al câmpurilor libere poate fi exprimat după cum urmează:

{\mathcal {T}}\Pi _{k=1}^{m}\phi (x_{k})={\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\Pi \phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\sum _{\alpha ,\beta }{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\Pi _{k\not =\alpha ,\beta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k = 1} ^ {m} \ phi (x_ {k}) = {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ sum _ {\ alpha, \ beta} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ {\ beta} )}} {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} +}

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k = 1} ^ {m} \ phi (x_ {k}) = {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ sum _ {\ alpha, \ beta} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ {\ beta} )}} {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} +}

{\mathcal {+}}\sum _{(\alpha ,\beta ),(\gamma ,\delta )}{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}\;{\overline {\phi (x_{\gamma })\phi (x_{\delta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\Pi _{k\not =\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\ldots .

{\ displaystyle {\ mathcal {+}} \ sum _ {(\ alpha, \ beta), (\ gamma, \ delta)} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ { \ beta})}} \; {\ overline {\ phi (x _ {\ gamma}) \ phi (x _ {\ delta})}} {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ ldots.}

{\ displaystyle {\ mathcal {+}} \ sum _ {(\ alpha, \ beta), (\ gamma, \ delta)} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ { \ beta})}} \; {\ overline {\ phi (x _ {\ gamma}) \ phi (x _ {\ delta})}} {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ ldots.}

Prin aplicarea acestei teoreme elementelor matricei S , rezultă că termenii în ordine normală care acționează asupra stării de vid dau o contribuție zero la sumă. Se concluzionează că m este egal și rămân doar termenii complet contractați.

F_{m}^{i}(x)=\left\langle 0|{\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})|0\right\rangle =\sum _{\mathrm {coppie} }{\overline {\phi (x_{1})\phi (x_{2})}}\cdots {\overline {\phi (x_{m-1})\phi (x_{m}}})

{\ displaystyle F_ {m} ^ {i} (x) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2 }) | 0 \ right \ rangle = \ sum _ {\ mathrm {pairs}} {\ overline {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2})}} \ cdots {\ overline {\ phi ( x_ {m-1}) \ phi (x_ {m}}})}}

{\ displaystyle F_ {m} ^ {i} (x) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2 }) | 0 \ right \ rangle = \ sum _ {\ mathrm {pairs}} {\ overline {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2})}} \ cdots {\ overline {\ phi ( x_ {m-1}) \ phi (x_ {m}}})}}

G_{p}^{(n)}=\left\langle 0|{\mathcal {T}}{\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}\dots {\mathopen {:}}v_{i}(y_{n}){\mathclose {:}}\phi _{i}(x_{1})\cdots \phi _{i}(x_{p})|0\right\rangle

{\ displaystyle G_ {p} ^ {(n)} = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:} } \ dots {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {n}) {\ mathclose {:}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {i} (x_ { p}) | 0 \ right \ rangle}

{\ displaystyle G_ {p} ^ {(n)} = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:} } \ dots {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {n}) {\ mathclose {:}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {i} (x_ { p}) | 0 \ right \ rangle}

unde p este numărul de câmpuri care interacționează sau, echivalent, numărul de particule care interacționează) și n este ordinea de dezvoltare (sau numărul de vârfuri de interacțiuni). De exemplu, dacă

v=gy^{4}\Rightarrow {\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}={\mathopen {:}}\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1}){\mathclose {:}}

{\ displaystyle v = gy ^ {4} \ Rightarrow {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}} = {\ mathopen {:}} \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}}}

{\ displaystyle v = gy ^ {4} \ Rightarrow {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}} = {\ mathopen {:}} \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}}}

Aceasta este analogă teoremei corespunzătoare (teorema lui Isserlis ) în statistici pentru momentele unei distribuții gaussiene .

Rețineți că această discuție este în termenii definiției obișnuite a ordonării normale, care este adecvată pentru valorile de așteptare de vid (VAV) ale câmpurilor. (Teorema lui Wick oferă o modalitate de exprimare a VAV-urilor din n câmpuri în termenii VAV-urilor a două câmpuri.) Există alte definiții posibile ale ordonării normale, iar teorema lui Wick se menține indiferent. Cu toate acestea, teorema lui Wick simplifică calculele numai dacă definiția ordinii normale utilizate se potrivește cu tipul de valoare așteptată dorită, adică dorim ca valoarea așteptării produsului în ordinea normală să fie zero. De exemplu, în teoria câmpului termic, un tip diferit de valoare așteptării, o urmă termică pe matricea densității, necesită o definiție diferită a ordonării normale . ^[3]

Notă

^ Tony Philips, Diagrame Feynman cu dimensiuni finite , în What's New In Math , American Mathematical Society , noiembrie 2001. Accesat la 23 octombrie 2007 .
^ GC Wick, Evaluarea matricii de coliziune , în Phys. Rev. , vol. 80, n. 2, 1950, pp. 268-272, DOI : 10.1103 / PhysRev.80.268 .
^ TS Evans și DA Steer, teorema lui Wick la temperaturi finite , în Nucl. Fizic. B , vol. 474, 1996, pp. 481–496, DOI : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00286-6 , arXiv : hep-ph / 9601268 .

Bibliografie

AL Fetter, JD Walecka, Teoria cuantică a sistemelor cu multe particule , Dover Publications, 2003, ISBN 0486428273

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Tony Philips, Diagrame Feynman cu dimensiuni finite , în What's New In Math , American Mathematical Society , noiembrie 2001. Accesat la 23 octombrie 2007 .

[2] GC Wick, Evaluarea matricii de coliziune , în Phys. Rev. , vol. 80, n. 2, 1950, pp. 268-272, DOI : 10.1103 / PhysRev.80.268 .

[3] TS Evans și DA Steer, teorema lui Wick la temperaturi finite , în Nucl. Fizic. B , vol. 474, 1996, pp. 481–496, DOI : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00286-6 , arXiv : hep-ph / 9601268 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Teoria câmpului cuantic
Diagrama Feynman · Istoria teoriei câmpului cuantic
Premise	Teoria gabaritului · Teoria câmpului · Simetria Poincaré · Mecanica cuantică · spontană de simetrie de rupere · Casimir Efect
Simetria în fizică	Încrucișare · Conjugare de încărcare · Paritate · Simetrie de timp
Instrumente	Anomalie · Teorie eficientă a câmpului · valoare așteptării · Fantomă Faddeev-Popov · Diagramă Feynman · Formula de reducere LSZ · Funcție de partiție · propagator · cuantizare · renormalizare · Regularizare · Vid cuantic · Teorema lui Wick · Axiome ale lui Wightman
Ecuații	Ecuația Dirac · Ecuația Klein-Gordon · Ecuația Proca · Ecuația Wheeler-DeWitt
Model standard	Interacțiune electro-slabă · Mecanism Higgs · Cromodinamică cuantică · Electrodinamică cuantică · Teoria Yang-Mills
Teorii incomplete	Gravitația cuantică · Teoria corzilor · Supersimetrie · Tehnicolor · Teoria tuturor
Oamenii de știință	Bethe · Bogoljubov · Callan · Coleman · DeWitt · Dirac · Dyson · Fermi · Feynman · Fierz · Fröhlich · Gell-Mann · Goldstone · Gross · Haag · 't Hooft · Jackiw · Klein · Landau · Lee · Lehmann · Majorana · Nambu · Parisi · Poliakov · Salam · Schwinger · Skyrme · Stueckelberg · Symanzik · Tomonaga · Veltman · Weinberg · Weisskopf · Wightman · Wilson · Witten · Yang · Yukawa · Wilczek · Zimmermann