Propagator

În mecanica cuantică și teoria câmpului cuantic , propagatorul oferă amplitudinea probabilității ca o particulă să se deplaseze dintr-un loc în altul într-un timp dat, sau chiar cu o anumită energie și moment. Propagatorul poate fi văzut ca inversul operatorului de undă adecvat particulei și, prin urmare, este adesea identificat cu funcția Green .

În teoriile în care există câmpuri interacționale, propagatorul poate fi exprimat printr-o reprezentare spectrală, numită Källén-Lehmann , care conține un termen proporțional cu funcția verde a ecuației în absența interacțiunilor, cu un pol legat de fizic. masă a particulei de câmp și astfel descrie propagarea unei singure particule și un termen fără poli care descrie contribuțiile la propagator date de stările cu mai multe particule, cu o masă invariantă mai mare decât cea a particulei de câmp.

Rețineți că în calculul amplitudinilor proceselor fizice propagatorii sunt integrați pe tot spațiul-timp ; aceasta implică faptul că, cel puțin pe distanțe scurte, există amplitudini de probabilitate pentru propagarea particulelor de la orice punct din spațiu-timp la oricare altul. Pe măsură ce distanța crește, contribuțiile dominante sunt în mod natural cele de tipul timpului pentru particulele masive și cele de tipul luminii pentru particulele cu masă zero.

Definiție

În mecanica cuantică nerelativistă, propagatorul oferă probabilitatea ca o particulă situată într-un punct x de spațiu la timpul t, să ajungă la un alt punct x „la momentul t”. Este funcția verde a ecuației Schrödinger . Aceasta înseamnă că dacă un sistem are operator hamiltonian ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ , propagatorul este o funcție $K(x,t;x't')$ ${\ displaystyle K (x, t; x't ')}$ ${\ displaystyle K (x, t; x't ')}$ astfel încât:

\left({\hat {H}}_{x}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')

{\ displaystyle \ left ({\ hat {H}} _ {x} -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) K (x, t; x ', t') = -i \ hbar \ delta (xx ') \ delta (t-t')}

{\ displaystyle \ left ({\ hat {H}} _ {x} -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) K (x, t; x ', t') = -i \ hbar \ delta (xx ') \ delta (t-t')}

unde este ${\hat {H}}_{x}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {x}}$ indică hamiltonienul în funcție de coordonate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $\delta (x,x')$ ${\ displaystyle \ delta (x, x ')}$ ${\ displaystyle \ delta (x, x ')}$ este delta Dirac .
Propagatorul poate fi, de asemenea, exprimat ca:

K(x,t;x',t')=\langle x|{\hat {U}}(t,t')|x'\rangle =\langle xt|x't'\rangle \

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ langle x | {\ hat {U}} (t, t ') | x' \ rangle = \ langle xt | x't '\ rangle \ }

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ langle x | {\ hat {U}} (t, t ') | x' \ rangle = \ langle xt | x't '\ rangle \ }

unde este ${\hat {U}}(t,t')$ ${\ displaystyle {\ hat {U}} (t, t ')}$ ${\ displaystyle {\ hat {U}} (t, t ')}$ este operatorul de evoluție a timpului care traduce starea din timpul ta t '.

Calea integrală în mecanica cuantică nerelativistă

Propagatorul, în mecanica cuantică, poate fi obținut și folosind integralul pe căi :

K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ int \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t} ^ {t '} L ({\ dot {q}}, q, t) dt \ right] D [q (t)]}

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ int \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t} ^ {t '} L ({\ dot {q}}, q, t) dt \ right] D [q (t)]}

unde condițiile limită ale integralei căii sunt q (t) = x, q (t ') = x'. $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ indică Lagrangianul sistemului.

Fiind

S=\int _{t}^{t'}\;L(q,{\dot {q}},t)dt

{\ displaystyle S = \ int _ {t} ^ {t '} \; L (q, {\ dot {q}}, t) dt}

{\ displaystyle S = \ int _ {t} ^ {t '} \; L (q, {\ dot {q}}, t) dt}

se obține acțiunea Lagrangianului

K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}S[q(t)]\right]D[q(t)]

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ int \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} S [q (t)] \ right] D [q (t) ]}

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ int \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} S [q (t)] \ right] D [q (t) ]}

Deoarece exponențialul este o funcție automată a operatorului de integrare, putem scrie în cele din urmă:

K(x,t;x',t')=N\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}S[q(t)]\right]

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = N \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} S [q (t)] \ right]}

{\ displaystyle K (x, t; x ', t') = N \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} S [q (t)] \ right]}

unde N este un factor de normalizare.
În mecanica cuantică nerelativistă, propagatorul vă permite să găsiți starea sistemului în orice moment al timpului:

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'

{\ displaystyle \ psi (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x ', t') K (x, t; x ', t') dx '}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x ', t') K (x, t; x ', t') dx '}

De sine $K(x,t;x',t')$ ${\ displaystyle K (x, t; x ', t')}$ ${\ displaystyle K (x, t; x ', t')}$ depinde doar de diferență $x-x'$ ${\ displaystyle x-x '}$ ${\ displaystyle x-x '}$ , această integrală este convoluția stării inițiale și a propagatorului.

Propagatori relativisti

În mecanica cuantică relativistă și teoria câmpului cuantic, propagatorii sunt invarianți Lorentz . Ele dau amplitudinea unei particule care călătorește între cele două puncte în spațiu-timp .

Propagator scalar

În teoria câmpului cuantic, teoria unui câmp scalar liber (care nu interacționează) este un exemplu simplu și util care servește pentru a ilustra conceptele necesare pentru teorii mai complicate. Descrie particulele de spin 0. Există o serie de posibili propagatori pentru teoria câmpului scalar liber.

Poziționează spațiul

Propagatorii din spațiul de poziție sunt funcțiile verzi pentru ecuația Klein-Gordon . Aceasta înseamnă că acestea sunt funcții $G(x,y)$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ care satisfac

(\square _{x}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)

{\ displaystyle (\ square _ {x} + m ^ {2}) G (x, y) = - \ delta (xy)}

{\ displaystyle (\ square _ {x} + m ^ {2}) G (x, y) = - \ delta (x-y)}

unde este:

$X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ sunt două puncte în spațiu-timp Minkowski .
$\square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ square _ {x} = {\ tfrac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ square _ {x} = {\ tfrac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}$ este operatorul alembertian care acționează pe coordonate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .
$\delta (x-y)$ ${\ displaystyle \ delta (xy)}$ ${\ displaystyle \ delta (x-y)}$ este delta Dirac .

(Așa cum este tipic în teoria relativistă a câmpului, viteza luminii și constanta redusă a lui Planck sunt setate la 1.)

Trebuie să ne restrângem la spațiul-timp Minkowski în 4 dimensiuni. Putem efectua o transformată Fourier a ecuației pentru propagator, obținând

\left(-p^{2}+m^{2}\right)G(p)=-1.

{\ displaystyle \ left (-p ^ {2} + m ^ {2} \ right) G (p) = - 1.}

{\ displaystyle \ left (-p ^ {2} + m ^ {2} \ right) G (p) = - 1.}

Această ecuație poate fi inversată în sensul distribuțiilor notând că ecuația $xf(x)=1$ ${\ displaystyle xf (x) = 1}$ ${\ displaystyle xf (x) = 1}$ are soluția,

f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x \ pm i \ varepsilon}} = {\ frac {1} {x}} \ mp i \ pi \ delta (x),}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x \ pm i \ varepsilon}} = {\ frac {1} {x}} \ mp i \ pi \ delta (x),}

unde este implicită limita pentru $\varepsilon \to 0$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0}$ .

Soluția este

G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }}~,

{\ displaystyle G (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy) }} {p ^ {2} -m ^ {2} \ pm i \ varepsilon}} ~,}

{\ displaystyle G (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy) }} {p ^ {2} -m ^ {2} \ pm i \ varepsilon}} ~,}

unde este

p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})

{\ displaystyle p (xy): = p_ {0} (x ^ {0} -y ^ {0}) - {\ vec {p}} \ cdot ({\ vec {x}} - {\ vec {y }})}

{\ displaystyle p (xy): = p_ {0} (x ^ {0} -y ^ {0}) - {\ vec {p}} \ cdot ({\ vec {x}} - {\ vec {y }})}

este produsul scalar cu patru vectori.

Diferitele alegeri pentru modul de deformare a integrării la graniță în expresia de mai sus conduc la diferite forme pentru propagator. Alegerea conturului este de obicei exprimată în termeni de integrală pe $p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ .

Prin urmare, integranda are doi poli în

p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}

{\ displaystyle p_ {0} = \ pm {\ sqrt {{\ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}}}

{\ displaystyle p_ {0} = \ pm {\ sqrt {{\ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}}}

prin urmare, diferitele alegeri pentru a evita acestea conduc la difuzori diferiți.

Propagator Feynman

Un contur care trece sub polul stâng și deasupra polului drept dă propagatorul Feynman .

Această alegere a conturului este echivalentă cu calcularea limitei ^[1]

G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\frac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&s\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&s<0.\end{cases}}

{\ displaystyle G_ {F} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \ , {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ delta (s) + {\ frac {m} {8 \ pi {\ sqrt {s}}}} H_ {1} ^ {(1)} (m {\ sqrt {s}}) & s \ geq 0 \\ - {\ frac {im} {4 \ pi ^ {2} {\ sqrt {-s}}}} K_ {1} (m {\ sqrt {-s}}) & s <0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle G_ {F} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \ , {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ delta (s) + {\ frac {m} {8 \ pi {\ sqrt {s}}}} H_ {1} ^ {(1)} (m {\ sqrt {s}}) & s \ geq 0 \\ - {\ frac {im} {4 \ pi ^ {2} {\ sqrt {-s}}}} K_ {1} (m {\ sqrt {-s}}) & s <0. \ end {cases}}}

Aici

s:=(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2},

{\ displaystyle s: = (x ^ {0} -y ^ {0}) ^ {2} - ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) ^ {2},}

{\ displaystyle s: = (x ^ {0} -y ^ {0}) ^ {2} - ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) ^ {2},}

unde este $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ sunt două puncte în spațiu-timp, iar punctul la exponent este un produs scalar cu patru vectori. În plus $H_{1}^{(1)}$ ${\ displaystyle H_ {1} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle H_ {1} ^ {(1)}}$ sunt funcții ale lui Hankel și $K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ este o funcție Bessel modificată.

Această expresie poate fi derivată direct din teoria câmpurilor, deoarece valoarea așteptării în vid a produsului ordonat în timp al câmpului scalar liber, adică produsul este întotdeauna luat în așa fel încât ordonarea temporală a punctelor spațiu-timp este aceeași,

{\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} G_ {F} (xy) & = - i \ langle 0 | T (\ Phi (x) \ Phi (y)) | 0 \ rangle \\ [4pt] & = - i \ left \ langle 0 | \ left [\ Theta (x ^ {0} -y ^ {0}) \ Phi (x) \ Phi (y) + \ Theta (y ^ {0} -x ^ {0}) \ Phi (y) \ Phi (x) \ right] | 0 \ right \ rangle. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} G_ {F} (xy) & = - i \ langle 0 | T (\ Phi (x) \ Phi (y)) | 0 \ rangle \\ [4pt] & = - i \ left \ langle 0 | \ left [\ Theta (x ^ {0} -y ^ {0}) \ Phi (x) \ Phi (y) + \ Theta (y ^ {0} -x ^ {0}) \ Phi (y) \ Phi (x) \ right] | 0 \ right \ rangle. \ End {align}}}

Această expresie este invarianta Lorentz, atâta timp cât câmpurile comută între ele atunci când punctele $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ sunt separate printr-un interval de tip spațiu.

Propagatorii în spațiul impulsurilor

Transformata Fourier a propagatorilor în spațiul de poziție poate fi gândită ca acei propagatori în spațiul de impulsuri. În acest spațiu, ei iau o formă mai simplă.

Ele sunt adesea scrise cu termenul $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ explicită, dar este menită doar ca o reamintire a felului de garnitură de utilizat. Acest termen este inclus pentru a încorpora condiții limită și cauzalitate.

Pentru quadrimpulse $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , propagatorii întârziați, avansați și Feynman în spațiul pulsului sunt prezentate mai jos:

{\tilde {G}}_{\text{rit}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {rit}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} + i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {rit}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} + i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}

{\tilde {G}}_{\text{av}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {av}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} -i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {av}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} -i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}

{\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.

{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {F} (p) = {\ frac {1} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {F} (p) = {\ frac {1} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.}

Pentru a calcula diagramele Feynman este de obicei convenabil să adăugați un factor $-i$ ${\ displaystyle -i}$ $-la$ , dar există mai multe convenții.

Electrodinamica cuantică

Același subiect în detaliu: electrodinamica cuantică .

În electrodinamica cuantică este necesar să se distingă doi propagatori fundamentali, cel al câmpurilor Dirac și cel al fotonilor . Funcțiile verzi ale celor două câmpuri sunt după cum urmează:

iS_{F\alpha \beta }(x-y)=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)_{\alpha \beta }\int {\frac {{\text{d}}^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)_{\alpha \beta }i\Delta _{F}(x-y;m^{2})

{\ displaystyle iS_ {F \ alpha \ beta} (xy) = (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m) _ {\ alpha \ beta} \ int {\ frac {{\ text {d}} ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m) _ {\ alpha \ beta} i \ Delta _ {F} (xy; m ^ {2})}

{\ displaystyle iS_ {F \ alpha \ beta} (xy) = (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m) _ {\ alpha \ beta} \ int {\ frac {{\ text {d}} ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + m) _ {\ alpha \ beta} i \ Delta _ {F} (xy; m ^ {2})}

( fermioni )

iD_{F}^{\mu \nu }(x-y)=\int {\frac {{\text{d}}^{4}k}{(2\pi )^{4}}}e^{-ik(x-y)}{\frac {(-g^{\mu \nu }+(1-\xi ){\frac {k^{\mu }k^{\nu }}{k^{2}}})}{k^{2}+i\varepsilon }}=-g^{\mu \nu }i\Delta _{F}(x-y;0)+\dots

{\ displaystyle iD_ {F} ^ {\ mu \ nu} (xy) = \ int {\ frac {{\ text {d}} ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}}} și ^ {- ik (xy)} {\ frac {(-g ^ {\ mu \ nu} + (1- \ xi) {\ frac {k ^ {\ mu} k ^ {\ nu}} {k ^ { 2}}})} {k ^ {2} + i \ varepsilon}} = - g ^ {\ mu \ nu} i \ Delta _ {F} (xy; 0) + \ dots}

{\ displaystyle iD_ {F} ^ {\ mu \ nu} (xy) = \ int {\ frac {{\ text {d}} ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}}} și ^ {- ik (xy)} {\ frac {(-g ^ {\ mu \ nu} + (1- \ xi) {\ frac {k ^ {\ mu} k ^ {\ nu}} {k ^ { 2}}})} {k ^ {2} + i \ varepsilon}} = - g ^ {\ mu \ nu} i \ Delta _ {F} (xy; 0) + \ dots}

(fotoni)

unde m² este pătratul masei electronului, $i\Delta _{F}(x-y;m^{2})$ ${\ displaystyle i \ Delta _ {F} (xy; m ^ {2})}$ ${\ displaystyle i \ Delta _ {F} (x-y; m ^ {2})}$ este propagatorul liber al unui câmp scalar cu masa m² în spațiu direct, derivatele parțiale $\partial _{\mu }$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$ acționează pe coordonata x , $g_{00}=1$ ${\ displaystyle g_ {00} = 1}$ ${\ displaystyle g_ {00} = 1}$ , $g_{ii}=-1$ ${\ displaystyle g_ {ii} = - 1}$ ${\ displaystyle g_ {ii} = - 1}$ , $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ este un parametru gratuit care vă permite să setați ecartamentul (de exemplu $\xi =0$ ${\ displaystyle \ xi = 0}$ ${\ displaystyle \ xi = 0}$ , gabaritul Landau sau $\xi =1$ ${\ displaystyle \ xi = 1}$ $\ xi = 1$ , gabaritul Feynman), în timp ce punctele reprezintă exact termenii propagatorului care nu contribuie la amplitudinile fizice.

Propagatorii câmpurilor care interacționează sunt convenabil exprimate în termeni de reprezentare spectrală Källén-Lehmann a propagatorului:

\langle 0|T\{\psi _{\alpha }(x){\bar {\psi }}_{\beta }(y)\}|0\rangle =Z_{2}iS_{\alpha \beta }(x-y;m^{2})+\int {\text{d}}M^{2}\left[\sigma _{1}(M^{2})i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+\sigma _{2}(M^{2})M\right]_{\alpha \beta }i\Delta _{F}(x-y;M^{2})

{\ displaystyle \ langle 0 | T \ {\ psi _ {\ alpha} (x) {\ bar {\ psi}} _ {\ beta} (y) \} | 0 \ rangle = Z_ {2} iS _ { \ alpha \ beta} (xy; m ^ {2}) + \ int {\ text {d}} M ^ {2} \ left [\ sigma _ {1} (M ^ {2}) i \ gamma ^ { \ mu} \ partial _ {\ mu} + \ sigma _ {2} (M ^ {2}) M \ right] _ {\ alpha \ beta} i \ Delta _ {F} (xy; M ^ {2} )}}

{\ displaystyle \ langle 0 | T \ {\ psi _ {\ alpha} (x) {\ bar {\ psi}} _ {\ beta} (y) \} | 0 \ rangle = Z_ {2} iS _ { \ alpha \ beta} (xy; m ^ {2}) + \ int {\ text {d}} M ^ {2} \ left [\ sigma _ {1} (M ^ {2}) i \ gamma ^ { \ mu} \ partial _ {\ mu} + \ sigma _ {2} (M ^ {2}) M \ right] _ {\ alpha \ beta} i \ Delta _ {F} (xy; M ^ {2} )}}

\langle 0|T\{A^{\mu }(x)A^{\dagger \nu }(y)\}|0\rangle =Z_{3}iD_{F}^{\mu \nu }(x-y;0)+\int {\text{d}}M^{2}\sigma _{3}(M^{2})iD_{F}^{\mu \nu }(x-y;M^{2})+\dots

{\ displaystyle \ langle 0 | T \ {A ^ {\ mu} (x) A ^ {\ dagger \ nu} (y) \} | 0 \ rangle = Z_ {3} iD_ {F} ^ {\ mu \ nu} (xy; 0) + \ int {\ text {d}} M ^ {2} \ sigma _ {3} (M ^ {2}) iD_ {F} ^ {\ mu \ nu} (xy; M ^ {2}) + \ dots}

{\ displaystyle \ langle 0 | T \ {A ^ {\ mu} (x) A ^ {\ dagger \ nu} (y) \} | 0 \ rangle = Z_ {3} iD_ {F} ^ {\ mu \ nu} (xy; 0) + \ int {\ text {d}} M ^ {2} \ sigma _ {3} (M ^ {2}) iD_ {F} ^ {\ mu \ nu} (xy; M ^ {2}) + \ dots}

În aceste formule $iS(x-y;m^{2})$ ${\ displaystyle iS (xy; m ^ {2})}$ ${\ displaystyle iS (x-y; m ^ {2})}$ Și $iD^{\mu \nu }(x-y;0)$ ${\ displaystyle iD ^ {\ mu \ nu} (xy; 0)}$ ${\ displaystyle iD ^ {\ mu \ nu} (x-y; 0)}$ sunt propagatorii câmpurilor libere (la masa electronului, m² și la masa zero pentru foton), $Z_{2}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$ $Z_2$ Și $Z_{3}$ ${\ displaystyle Z_ {3}}$ $Z_ {3}$ sunt constantele de renormalizare a câmpului, în timp ce $\sigma _{1}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$ , $\sigma _{2}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {2}}$ Și $\sigma _{3}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {3}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {3}}$ sunt densitățile spectrale care „cântăresc” propagatorul la o masă invariantă mai mare decât cea a particulei libere. Punctele din propagatorul de fotoni sunt termeni care pot fi eliminați în virtutea conservării liniilor fermionice externe între care propagatorul de fotoni este întotdeauna închis în amplitudinile fizice. Propagatorul liber provine din câmpurile de intrare și ieșire, care pot crea stări cu o singură particulă din vid, în timp ce densitățile spectrale sunt legate de termenii de interacțiune și conectează vidul la stări cu mai multe particule.
Aceasta explică prezența constantelor de renormalizare: în timp ce câmpul de intrare sau ieșire are o probabilitate de a crea o stare la o particulă din vid, câmpul de interacțiune este mai puțin probabil să o facă, deoarece poate crea și un număr mai mare de particule ( prin interacțiunea cu câmpul electromagnetic).

Forma analitică pentru propagatorul unui foton , în spațiul de impuls și spațiul gol , este:

${\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i\varepsilon }};$ ${\ displaystyle {\ frac {-ig _ {\ mu \ nu}} {k ^ {2} + i \ varepsilon}};}$ ${\ displaystyle {\ frac {-ig _ {\ mu \ nu}} {k ^ {2} + i \ varepsilon}};}$

cu $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ( $g_{00}=1$ ${\ displaystyle g_ {00} = 1}$ ${\ displaystyle g_ {00} = 1}$ Și $g_{ii}=-1$ ${\ displaystyle g_ {ii} = - 1}$ ${\ displaystyle g_ {ii} = - 1}$ cu $i=1,2,3$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ ) care este tensorul metric .

Propagatorii (liberi) de fermioni sunt indicați prin linii solide drepte, de obicei cu o săgeată „înainte” pentru fermioni sau „înapoi” pentru antifermioni; propagatorii de fotoni din diagramele Feynman sunt indicați în mod tradițional printr-o linie ondulată. Figurile prezintă două exemple de diagrame Feynman : în prima, o diagramă de ordinul întâi care conține un propagator fotonic închis între două linii externe de fermion; în al doilea, o diagramă de ordinul doi conținând doi propagatori fotonici, două linii fermionice exterioare și o buclă fermionică (formată din doi propagatori).

Diagrama Feynman de ordinul întâi, conținând un propagator fotonic.
Diagrama Feynman de ordinul doi, conținând doi propagatori fotonici și linii externe fermionice.

Teoria Yang și Mills

Același subiect în detaliu: teoria cuantică Yang-Mills .

Pentru a oferi o formă analitică pentru propagatorii de bosoni vectoriali (valabili și pentru bosoni vectoriali axiali ), este important să ne amintim că spre deosebire de cazul electromagnetic, în care masa fotonului este zero, pentru un boson vector trebuie să avem un termen de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Se poate arăta că propagatorul, în spațiul impulsului și în spațiul gol, este dat de următoarea funcție:

$G_{\alpha \beta }(k)=i{\frac {(-g_{\alpha \beta }+{\frac {k_{\alpha }k_{\beta }}{m^{2}}})}{k^{2}-m^{2}}}.$ ${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (k) = i {\ frac {(-g _ {\ alpha \ beta} + {\ frac {k _ {\ alpha} k _ {\ beta}} {m ^ {2}}})} {k ^ {2} -m ^ {2}}}.}$ ${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (k) = i {\ frac {(-g _ {\ alpha \ beta} + {\ frac {k _ {\ alpha} k _ {\ beta}} {m ^ {2}}})} {k ^ {2} -m ^ {2}}}.}$

Functia $G_{\alpha \beta }(k)$ ${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (k)}$ ${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (k)}$ generează un boson vector la un moment dat $x'_{0}$ ${\ displaystyle x '_ {0}}$ ${\ displaystyle x '_ {0}}$ și în locație ${\textbf {x}}'$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} '}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} '}$ aceeași particulă este distrusă în acel moment $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ când este în ${\textbf {x}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$ și, prin urmare, bosonul nostru vector se propagă din ${\textbf {x}}'$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} '}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} '}$ la ${\textbf {x}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$ .

Teoria multor corpuri

Același subiect în detaliu: teoria multor corpuri .

În teoria multicorpului, propagatorul electronic al sistemului care nu interacționează într-un spațiu $\mathbf {r} \omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ omega}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ omega}$ este dat de expresia:

$G^{(0)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2};\omega )=\sum _{i}{\frac {\phi _{i}^{(0)}(\mathbf {r} _{1})\phi _{i}^{(0)*}(\mathbf {r} _{2})}{\omega -\varepsilon _{i}^{(0)}+i\eta \operatorname {sgn} \left(\varepsilon _{i}^{(0)}-\mu \right)}},$ ${\ displaystyle G ^ {(0)} (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}; \ omega) = \ sum _ {i} {\ frac {\ phi _ {i } ^ {(0)} (\ mathbf {r} _ {1}) \ phi _ {i} ^ {(0) *} (\ mathbf {r} _ {2})} {\ omega - \ varepsilon _ {i} ^ {(0)} + i \ eta \ operatorname {sgn} \ left (\ varepsilon _ {i} ^ {(0)} - \ mu \ right)}},}$ ${\ displaystyle G ^ {(0)} (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}; \ omega) = \ sum _ {i} {\ frac {\ phi _ {i } ^ {(0)} (\ mathbf {r} _ {1}) \ phi _ {i} ^ {(0) *} (\ mathbf {r} _ {2})} {\ omega - \ varepsilon _ {i} ^ {(0)} + i \ eta \ operatorname {sgn} \ left (\ varepsilon _ {i} ^ {(0)} - \ mu \ right)}},}$

unde este $\varepsilon _{i}^{(0)},\phi _{i}^{(0)}(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} ^ {(0)}, \ phi _ {i} ^ {(0)} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} ^ {(0)}, \ phi _ {i} ^ {(0)} (\ mathbf {r})}$ sunt valorile proprii și funcțiile proprii ale hamiltonianului $H^{(0)}$ ${\ displaystyle H ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle H ^ {(0)}}$ a sistemului care nu interacționează

$H^{(0)}\phi _{i}^{(0)}(\mathbf {r} )=\varepsilon ^{(0)}\phi _{i}^{(0)}(\mathbf {r} ),$ ${\ displaystyle H ^ {(0)} \ phi _ {i} ^ {(0)} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon ^ {(0)} \ phi _ {i} ^ {(0)} (\ mathbf {r}),}$ ${\ displaystyle H ^ {(0)} \ phi _ {i} ^ {(0)} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon ^ {(0)} \ phi _ {i} ^ {(0)} (\ mathbf {r}),}$

adică într-un solid cristalin ( $H^{(0)}$ ${\ displaystyle H ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle H ^ {(0)}}$ periodice) sunt benzile și funcțiile Bloch , într-un atom sunt nivelurile și funcțiile undei atomice ale unei singure particule etc.

Notă

^ Huang, p. 30

Bibliografie

Bjorken, JD , Drell, SD , Câmpuri cuantice relativiste (Anexa C.), New York: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0 .
Editat de DeWitt, Cécile și DeWitt, Bryce , Relativity, Groups and Topology , (Blackie and Son Ltd, Glasgow), în special p615-624, ISBN 0-444-86858-5
Griffiths, David J., Introducere în particulele elementare , New York: John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-60386-4
Kerson Huang , The Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals (New York: J. Wiley & Sons, 1998), ISBN 0-471-14120-8
Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory , New York: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
Pokorski, Stefan, Gauge Field Theories , Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-36846-4 (Are anexe utile ale regulilor diagramelor Feynman, inclusiv propagatorii, în spate.)
Schulman, Larry S., Tehnici și aplicații de integrare a căilor , John Wiley & Sons (New York-1981) ISBN 0-471-76450-7

Elemente conexe

linkuri externe

Halliwell, JJ, Orwitz, M. Sum-over-histories originea compoziției legilor mecanicii cuantice relativiste și cosmologiei cuantice , arXiv: gr-qc / 9211004v2

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Huang, p. 30

[1]