Operator hamiltonian

Un operator hamiltonian , în mecanica cuantică , este un operator matematic care, atunci când este aplicat funcției de stare a sistemului, dă ca rezultat hamiltonianul sistemului (adică o valoare scalară simplă). ^[1] Ca generator de evoluție a timpului, joacă un rol central în dezvoltarea mecanicii și utilizarea acesteia.

Definiția Newtonian

Într-un sistem newtonian , ca și pentru valorile asociate, de asemenea, pentru operatorul hamiltonian ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ este suma operatorului de energie cinetică ${\hat {T}}$ ${\ displaystyle {\ hat {T}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {T}}}$ și potențialul operator de energie ${\hat {V}}=V(\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle {\ hat {V}} = V (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {V}} = V (\ mathbf {r}, t)}$ :

{\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {T}} + {\ hat {V}}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {T}} + {\ hat {V}}}

unde în cazul unei particule de masă m :

{\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}

{\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} = {\ frac {{\ hat {p }} ^ {2}} {2m}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} = {\ frac {{\ hat {p }} ^ {2}} {2m}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}}

cu ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ hat p}$ operatorul de impuls asociat cu ecuația de stare . În cazul ecuației Schroedinger :

{\hat {p}}=-i\hbar \nabla

{\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar \ nabla}

{\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar \ nabla}

Operatorul nabla cadrul $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ este laplacianul .

Prin urmare, Hamiltonianul Schrödinger este:

{\begin{aligned}{\hat {H}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {H}} & = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} + V ( \ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {H}} & = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} + V ( \ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t) \ end {align}}}

Ca orice operator asociat cu un observabil (în acest caz cu energie), hamiltonienul este un operator liniar autoadjunct . Ei eigenstates sunt stările staționare ale sistemului considerat și sale valori proprii sunt nivelurile de energie corespunzătoare.

Din punctul de vedere al algebrei liniare putem considera hamiltonienul ca o matrice hermitiană în general de dimensiune infinită.

Sisteme de mai multe particule

Formalismul poate fi extins la un sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particule:

{\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+V

{\ displaystyle {\ hat {H}} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ hat {T}} _ {n} + V}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ hat {T}} _ {n} + V}

unde este:

V=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)

{\ displaystyle V = V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2} \ cdots \ mathbf {r} _ {N}, t)}

{\ displaystyle V = V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2} \ cdots \ mathbf {r} _ {N}, t)}

este energia potențială, în timp ce:

{\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} _ {n} = {\ frac {\ mathbf {p} _ {n} \ cdot \ mathbf {p} _ {n}} {2m_ {n}}}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} _ {n} = {\ frac {\ mathbf {p} _ {n} \ cdot \ mathbf {p} _ {n}} {2m_ {n}}}}

este energia cinetică a particulei a n-a , pentru care Laplacianul are forma:

\nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla _ {n} ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y_ {n} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z_ {n} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ nabla _ {n} ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y_ {n} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z_ {n} ^ {2}}}}

În acest fel obținem forma ecuației Schrödinger pentru un sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particule:

{\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+V\\&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {H}} & = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ hat {T}} _ {n} + V \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} _ {n} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}} _ {n}} {2m_ {n}}} + V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2} \ cdots \ mathbf {r} _ {N}, t) \\ & = - {\ frac {\ hbar ^ {2} } {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {1} {m_ {n}}} \ nabla _ {n} ^ {2} + V (\ mathbf {r} _ { 1}, \ mathbf {r} _ {2} \ cdots \ mathbf {r} _ {N}, t) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {H}} & = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ hat {T}} _ {n} + V \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} _ {n} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}} _ {n}} {2m_ {n}}} + V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2} \ cdots \ mathbf {r} _ {N}, t) \\ & = - {\ frac {\ hbar ^ {2} } {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {1} {m_ {n}}} \ nabla _ {n} ^ {2} + V (\ mathbf {r} _ { 1}, \ mathbf {r} _ {2} \ cdots \ mathbf {r} _ {N}, t) \ end {align}}}

În problemele cu mai multe corpuri, mișcarea unei particule depinde, în general, de configurația generală a sistemului. De fapt, potențialul caracteristic al sistemului depinde de configurația corpurilor și, prin urmare, energia cinetică depinde de această configurație pentru a conserva energia totală. Acest lucru poate genera prezența gradienților „mixți”, cum ar fi:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2M}} \ nabla _ {i} \ cdot \ nabla _ {j}}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2M}} \ nabla _ {i} \ cdot \ nabla _ {j}}

unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este masa setului de particule. Aceste expresii se numesc termeni de polarizare a masei .

Dacă $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particulele care alcătuiesc sistemul nu interacționează reciproc, energia potențială a sistemului poate fi scrisă ca suma energiilor deținute de componentele individuale: ^[2]

V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)

{\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {N} V (\ mathbf {r} _ {i}, t) = V (\ mathbf {r} _ {1}, t) + V (\ mathbf {r} _ {2}, t) + \ cdots + V (\ mathbf {r} _ {N}, t)}

{\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {N} V (\ mathbf {r} _ {i}, t) = V (\ mathbf {r} _ {1}, t) + V (\ mathbf {r} _ {2}, t) + \ cdots + V (\ mathbf {r} _ {N}, t)}

iar forma generală a hamiltonianului este:

{\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {H}} & = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac { 1} {m_ {i}}} \ nabla _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ { N} \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {i}}} \ nabla _ {i} ^ {2} + V_ {i} \ right) \\ & = \ sum _ { i = 1} ^ {N} {\ hat {H}} _ {i} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {H}} & = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac { 1} {m_ {i}}} \ nabla _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ { N} \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {i}}} \ nabla _ {i} ^ {2} + V_ {i} \ right) \\ & = \ sum _ { i = 1} ^ {N} {\ hat {H}} _ {i} \\\ end {align}}}

unde suma este luată asupra tuturor particulelor.

Ecuația Schrödinger

Același subiect în detaliu: ecuația Schrödinger .

Caz staționar

Ecuația omogenă a lui Schrödinger:

H\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle

{\ displaystyle H \ left | \ psi \ right \ rangle = E \ left | \ psi \ right \ rangle}

{\ displaystyle H \ left | \ psi \ right \ rangle = E \ left | \ psi \ right \ rangle}

exprimat în formalismul Dirac trebuie interpretat ca o ecuație a valorii proprii. $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este o matrice ale cărei vectori proprii și valori proprii trebuie găsite. În reprezentarea coordonatelor, acesta ia forma:

H\psi (x)=E\psi (x)

{\ displaystyle H \ psi (x) = E \ psi (x)}

{\ displaystyle H \ psi (x) = E \ psi (x)}

și generează o ecuație diferențială ale cărei soluții corespund statelor proprii ale $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

De exemplu, pentru particula liberă în care apare doar energia cinetică:

-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi (x)=E\psi (x)

{\ displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ psi (x) = E \ psi (x)}

{\ displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ psi (x) = E \ psi (x)}

Soluțiile cărora sunt undele de impuls plane $\hbar k$ ${\ displaystyle \ hbar k}$ ${\ displaystyle \ hbar k}$ , dat de:

\psi _{k}(x)=e^{i{\vec {k}}{\vec {x}}}\qquad E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

{\ displaystyle \ psi _ {k} (x) = e ^ {i {\ vec {k}} {\ vec {x}}} \ qquad E_ {k} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}}}

{\ displaystyle \ psi _ {k} (x) = e ^ {i {\ vec {k}} {\ vec {x}}} \ qquad E_ {k} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}}}

Ecuația Schrödinger dependentă de timp

Ecuația Schrödinger dependentă de timp are forma:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {x} ,\,t)={\hat {H}}(t)\Psi (\mathbf {x} ,\,t)

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {x}, \, t) = {\ hat {H}} (t) \ Psi (\ mathbf {x }, \, t)}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {x}, \, t) = {\ hat {H}} (t) \ Psi (\ mathbf {x }, \, t)}

Evoluția temporală , fiind o transformare canonică , este reprezentată de un operator unitar $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este generatorul, prin urmare:

i\hbar {\frac {\partial U}{\partial t}}=HU

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = HU}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = HU}

Aplicând această relație la o stare generică deducem reprezentarea lui $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ :

H\to i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}

{\ displaystyle H \ to i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}

{\ displaystyle H \ to i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}

Evoluția timpului

Legea evoluției timpului este următoarea:

i\hbar {\frac {\partial U}{\partial t}}=HU

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = HU}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = HU}

În cazul unui hamiltonian independent de timp, operatorul de evoluție a timpului între timp poate fi, de asemenea, ușor scris $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ si timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}

{\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H (t-t_ {0})}}

{\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H (t-t_ {0})}}

Prin urmare, statele, în reprezentarea lui Schrödinger , evoluează conform legii:

\left|\psi (x,t)\right\rangle =U(t,t_{0})\left|\psi (x,t_{0})\right\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\psi (x,t_{0})

{\ displaystyle \ left | \ psi (x, t) \ right \ rangle = U (t, t_ {0}) \ left | \ psi (x, t_ {0}) \ right \ rangle = e ^ {- { \ frac {i} {\ hbar}} H (t-t_ {0})} \ psi (x, t_ {0})}

{\ displaystyle \ left | \ psi (x, t) \ right \ rangle = U (t, t_ {0}) \ left | \ psi (x, t_ {0}) \ right \ rangle = e ^ {- { \ frac {i} {\ hbar}} H (t-t_ {0})} \ psi (x, t_ {0})}

Stările staționare sunt, prin urmare, toate și numai propriile stări ale hamiltonianului.

În mod echivalent, putem scrie evoluția timpului în reprezentarea Heisenberg :

{\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {d}{dt}}U^{-1}(t)AU(t)={\frac {i}{\hbar }}U^{-1}(t)[H,A]U(t)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {d} {dt}} U ^ {- 1} (t) AU (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} U ^ {- 1} (t) [H, A] U (t)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {d} {dt}} U ^ {- 1} (t) AU (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} U ^ {- 1} (t) [H, A] U (t)}

unde parantezele pătrate indică comutarea între $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Acest lucru spune în special că constantele mișcării sunt observabile care fac naveta cu hamiltonienul.

Constantele mișcării și simetriile

Când este observabil $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ naveta cu hamiltonianul obținem o interpretare dublă. $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o constantă a mișcării deoarece este invariantă față de transformarea generată de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (evoluția temporală). În același timp însă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este invariant în ceea ce privește transformarea generată de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Aceste informații pot fi foarte utile pentru simplificarea rezolvării problemelor. De exemplu, în cazul atomului de hidrogen , impulsul total este o constantă de mișcare. Aceasta înseamnă, de asemenea, că hamiltonienul este invariant de traducere, în conformitate cu faptul că avem în vedere un sistem izolat . Prin urmare, este posibil, printr-o schimbare canonică de variabile, să se împartă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în partea sa legată de mișcarea centrului de masă și în partea relativă. Întrucât cele două părți fac naveta, le putem studia separat, cu economii considerabile în calcul. Moment unghiular și el $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ comută cu $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , și deoarece este generatorul de rotații, trecând în coordonate sferice putem studia partea radială din partea unghiulară separat.

Separabilitatea operatorului hamiltonian

Dacă este necesar să se descrie un sistem compus din mai multe subsisteme, în general nu este posibil să se considere subsistemele ca fiind independente unele de altele: energia cinetică totală este suma energiilor cinetice individuale, dar energia potențială include termeni de interacțiune reciprocă. .

De sine ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ erau separabile, atunci operatorul total hamiltonian ar fi suma aritmetică a operatorilor hamiltonieni ai fiecărui subsistem. În consecință, funcția de undă a sistemului total ar fi produttoria tuturor funcțiilor de undă și energia totală a sumei energiilor. Ca o primă aproximare, este posibil să se ia în considerare un hamiltonian compus din părți independente și, prin urmare, separabile, dar acest lucru nu se întâmplă în realitate, deoarece în marea majoritate a cazurilor termenii de interacțiune au o importanță fundamentală. Pe de altă parte, este posibil să se efectueze un tratament aproximativ, numit teoria perturbării .

Scopul este de a realiza:

{\hat {H}}=\sum _{i}^{n}{\hat {h}}_{i}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = \ sum _ {i} ^ {n} {\ hat {h}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = \ sum _ {i} ^ {n} {\ hat {h}} _ {i}}

adică la o sumă de termeni complet independenți.

Mai exact, într-un sistem compus din nuclee și electroni care orbitează în jurul lor, masa nucleelor este mult mai mare decât masa electronilor și, din acest motiv, cu același impuls , nucleii au o viteză aproape zero. electroni și pot fi considerați staționari.

Stabilind în mod convențional că masa electronului, impulsul unghiular și sarcina electronilor au o valoare egală cu 1, pe baza acestei ipoteze doar electronii au propria lor mișcare. În acest moment se calculează ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ :

{\hat {H}}={\hat {E}}_{cN}+{\hat {E}}_{cE}+{\hat {E}}_{p(N-N)}+{\hat {E}}_{p(N-E)}+{\hat {E}}_{p(E-E)}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {E}} _ {cN} + {\ hat {E}} _ {cE} + {\ hat {E}} _ {p (NN)} + {\ hat {E}} _ {p (NE)} + {\ hat {E}} _ {p (EE)}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {E}} _ {cN} + {\ hat {E}} _ {cE} + {\ hat {E}} _ {p (NN)} + {\ hat {E}} _ {p (NE)} + {\ hat {E}} _ {p (EE)}}

În primul rând, este posibil să se lase energia cinetică a nucleelor și energia potențială între perechi de nuclee. În rest avem:

{\hat {E}}_{cE}=\sum _{i}^{n}-{{\nabla _{i}^{2}} \over {2}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {cE} = \ sum _ {i} ^ {n} - {{\ nabla _ {i} ^ {2}} \ over {2}}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {cE} = \ sum _ {i} ^ {n} - {{\ nabla _ {i} ^ {2}} \ over {2}}}

{\hat {E}}_{p(N-E)}=\sum _{i,A}^{n}{{q_{A}} \over {r_{Ai}}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {p (NE)} = \ sum _ {i, A} ^ {n} {{q_ {A}} \ over {r_ {Ai}}}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {p (N-E)} = \ sum _ {i, A} ^ {n} {{q_ {A}} \ over {r_ {Ai}}}}

{\hat {E}}_{p(E-E)}=\sum _{i<j}^{n}{{1} \over {r_{ij}}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {p (EE)} = \ sum _ {i <j} ^ {n} {{1} \ over {r_ {ij}}}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {p (E-E)} = \ sum _ {i <j} ^ {n} {{1} \ over {r_ {ij}}}}

În cele din urmă obținem:

{\hat {H}}=\sum _{i}\left(-{{\nabla _{i}^{2}} \over {2}}-\sum _{A}{{q_{A}} \over {r_{Ai}}}\right)+\sum _{i<j}^{n}{{1} \over {r_{ij}}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = \ sum _ {i} \ left (- {{\ nabla _ {i} ^ {2}} \ over {2}} - \ sum _ {A} {{q_ {A}} \ over {r_ {Ai}}} \ right) + \ sum _ {i <j} ^ {n} {{1} \ over {r_ {ij}}}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = \ sum _ {i} \ left (- {{\ nabla _ {i} ^ {2}} \ over {2}} - \ sum _ {A} {{q_ {A}} \ over {r_ {Ai}}} \ right) + \ sum _ {i <j} ^ {n} {{1} \ over {r_ {ij}}}}

Operatorul hamiltonian (energia) este generatorul evoluției timpului, în sensul că dacă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o funcție a pozițiilor și a momentelor, o traducere infinitesimală în timp $\partial t$ ${\ displaystyle \ partial t}$ ${\ displaystyle \ partial t}$ generează o traducere proporțională infinitesimală $\partial F$ ${\ displaystyle \ partial F}$ ${\ displaystyle \ partial F}$ funcției, conform:

\partial F=[H,F]\cdot \partial t

{\ displaystyle \ partial F = [H, F] \ cdot \ partial t}

{\ displaystyle \ partial F = [H, F] \ cdot \ partial t}

unde parantezele sunt ale lui Poisson în cazul mecanicii hamiltoniene și sunt comutatoare (peste $i\hbar$ ${\ displaystyle i \ hbar}$ ${\ displaystyle i \ hbar}$ ) în mecanica cuantică.

În mod echivalent, evoluția infinitesimală înapoi în timp îl are ca generator pe Hamiltonian - ceea ce nu este același lucru cu inversarea ecuațiilor de mișcare. Deci avem inversiunea timpului ca o inversare a spectrului energetic. Dacă definim $t'=-t$ ${\ displaystyle t '= - t}$ ${\ displaystyle t '= - t}$ creșterea timpului, dinamica în direcția sa este generată de $-H$ ${\ displaystyle -H}$ ${\ displaystyle -H}$ :

\partial F=[-H,F]\partial (-t)

{\ displaystyle \ partial F = [- H, F] \ partial (-t)}

{\ displaystyle \ partial F = [- H, F] \ partial (-t)}

.

Notă

^(RO) IUPAC Gold Book, „Operatori hamiltonieni”
^ Fizica cuantică a atomilor, moleculelor, solidelor, nucleelor și particulelor (ediția a II-a), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85058562 · GND (DE) 4072278-8 · NDL (EN, JA) 00.56288 milioane

Portalul de fizică

Portal mecanic

Portal cuantic

[1] (RO) IUPAC Gold Book, „Operatori hamiltonieni”

[2] Fizica cuantică a atomilor, moleculelor, solidelor, nucleelor și particulelor (ediția a II-a), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

[1]

[2]

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notație Bra-KET · Hilbert Space · postulate ale mecanicii cuantice · utilizator comun · perturbațiilor (fizică)
Fundamente și principii	Heisenberg Principiul incertitudinii · Complementaritatea Principiul · Funcția de undă · colapsul funcției de undă · Copenhaga Interpretare · Spin · Teoria cuantică veche · Interpretarea Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica Wave · Mecanica matricelor · Integral pe căile
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Schroedinger Cat · EPR paradox · cuantice Suicide